Ruumikujundite mahu määramise oskus on oluline geomeetriliste ja praktiliste ülesannete lahendamisel. Üks neist kujunditest on prisma. Vaatleme artiklis, mis see on, ja näitame, kuidas arvutada kaldprisma ruumala.
Mida tähendab geomeetrias prisma?
See on korrapärane hulktahukas (polühedron), mille moodustavad kaks identset paralleeltasandil paiknevat alust ja mitu rööpkülikut, mis ühendavad märgitud aluseid.
Prisma alused võivad olla suvalised hulknurgad, nagu kolmnurk, nelinurk, seitsenurk jne. Veelgi enam, hulknurga nurkade (külgede) arv määrab kujundi nime.
Iga n-nurkse alusega prisma (n on külgede arv) koosneb n+2 tahkest, 2 × n tipust ja 3 × n servast. Antud arvudest on näha, et prisma elementide arv vastab Euleri teoreemile:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Alloleval pildil on näha, millised näevad välja klaasist kolm- ja nelinurksed prismad.
Figuuri tüübid. Kallutatud prisma
Eespool on juba öeldud, et prisma nime määrab hulknurga külgede arv aluses. Selle struktuuris on aga ka muid tunnuseid, mis määravad figuuri omadused. Seega, kui kõik rööpkülikud, mis moodustavad prisma külgpinna, on kujutatud ristkülikute või ruutudega, nimetatakse sellist joonist sirgeks. Sirge prisma korral võrdub aluste vaheline kaugus mis tahes ristküliku külgserva pikkusega.
Kui osa või kõik küljed on rööpkülikukujulised, siis räägime kaldprismast. Selle kõrgus on juba väiksem kui külgribi pikkus.
Teine kriteerium, mille alusel vaadeldavaid kujundeid klassifitseeritakse, on hulknurga külgede pikkused ja nurgad põhjas. Kui need on üksteisega võrdsed, on hulknurk õige. Sirget kujundit, mille põhjades on korrapärane hulknurk, nimetatakse regulaarseks. Sellega on mugav töötada pinna ja mahu määramisel. Kaldprisma tekitab selles osas mõningaid raskusi.
Altoodud joonisel on kaks ruudukujulise alusega prismat. 90° nurk näitab põhimõttelist erinevust sirge ja kaldprisma vahel.
Figuuri helitugevuse määramise valem
Prisma tahkudega piiratud ruumiosa nimetatakse selle ruumalaks. Mis tahes tüüpi vaadeldavate arvude puhul saab selle väärtuse määrata järgmise valemiga:
V=h × So
Sümbol h tähistab siin prisma kõrgust,mis on kahe aluse vahelise kauguse mõõt. Sümbol So- üks alusruut.
Aluspinda on lihtne leida. Arvestades asjaolu, kas hulknurk on korrapärane või mitte, ja teades selle külgede arvu, peaksite rakendama vastavat valemit ja saama So. Näiteks tavalise n-nurga puhul, mille külje pikkus on a, on pindala:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Nüüd liigume kõrguse h juurde. Sirge prisma puhul pole kõrguse määramine keeruline, kuid kaldus prisma puhul pole see lihtne ülesanne. Seda saab lahendada erinevate geomeetriliste meetoditega, alustades konkreetsetest algtingimustest. Siiski on olemas universaalne viis figuuri kõrguse määramiseks. Kirjeldame seda lühid alt.
Idee on leida kaugus ruumipunktist tasapinnani. Oletame, et tasapind on antud võrrandiga:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Siis on lennuk kaugusel:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Kui koordinaatteljed on paigutatud nii, et punkt (0; 0; 0) asub prisma alumise aluse tasapinnal, saab alustasandi võrrandi kirjutada järgmiselt:
z=0
See tähendab, et kõrguse valem kirjutataksenii:
h=z1
Figuuri kõrguse määramiseks piisab ülemise aluse mis tahes punkti z-koordinaadi leidmisest.
Näide probleemi lahendamisest
Allpool olev joonis kujutab nelinurkset prismat. Kaldprisma alus on ruut, mille külg on 10 cm, selle ruumala on vaja arvutada, kui on teada, et külgserva pikkus on 15 cm ja esirööpküliku teravnurk on 70 °.
Kuna joonise kõrgus h on ühtlasi rööpküliku kõrgus, kasutame h leidmiseks selle pindala määramiseks valemeid. Tähistame rööpküliku küljed järgmiselt:
a=10 cm;
b=15 cm
Seejärel saate kirjutada selle jaoks järgmised valemid, et määrata ala Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Kust saame:
h=b × sin (α)
Siin α on rööpküliku teravnurk. Kuna alus on ruut, on kaldprisma ruumala valem järgmine:
V=a2 × b × sin (α)
Asendame tingimuse andmed valemisse ja saame vastuse: V ≈ 1410 cm3.
