Tüvikoonuse pindala. Valemi ja probleemi näide

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Geomeetria revolutsioonikujudele pööratakse nende omaduste ja omaduste uurimisel erilist tähelepanu. Üks neist on kärbitud koonus. Selle artikli eesmärk on vastata küsimusele, millist valemit saab kasutada kärbikoonuse pindala arvutamiseks.

Millisest figuurist me räägime?

Enne kärbikoonuse pindala kirjeldamist on vaja anda selle joonise täpne geomeetriline määratlus. Kärbitud on selline koonus, mis saadakse tavalise koonuse tipu tasapinnaga mahalõikamise tulemusena. Selles määratluses tuleks rõhutada mitmeid nüansse. Esiteks peab lõiketasapind olema paralleelne koonuse aluse tasapinnaga. Teiseks peab esialgne kujund olema ringikujuline koonus. Muidugi võib see olla elliptiline, hüperboolne ja muud tüüpi figuurid, kuid selles artiklis piirdume ainult ringikujulise koonusega. Viimane on näidatud alloleval joonisel.

Lihtne on arvata, et seda ei saa mitte ainult tasapinna lõike, vaid ka pööramisoperatsiooni abil. SestSelleks peate võtma trapetsi, millel on kaks täisnurka, ja pöörama seda ümber külje, mis on nende täisnurkade kõrval. Selle tulemusena muutuvad trapetsi alused tüvikoonuse aluste raadiused ja trapetsi külgne kaldkülg kirjeldab koonusekujulist pinda.

Kuju arendamine

Arvestades kärbikoonuse pindala, on kasulik tuua selle areng, see tähendab ruumilise kujundi pinna kujutis tasapinnal. Allpool on skaneeritud uuritud joonis suvaliste parameetritega.

On näha, et joonise pindala moodustavad kolm komponenti: kaks ringi ja üks kärbitud ringikujuline segment. Ilmselgelt on vajaliku pindala määramiseks vaja kõigi nimetatud kujundite pindalad kokku liita. Lahendame selle probleemi järgmises lõigus.

Tühikoonuse piirkond

Järgmise põhjenduse mõistmise hõlbustamiseks kasutame järgmist tähistust:

• r1, r2 - vastav alt suure ja väikese aluse raadiused;
• h - figuuri kõrgus;
• g - koonuse generatriks (trapetsi kaldus külje pikkus).

Tühikoonuse aluste pindala on lihtne arvutada. Kirjutame vastavad avaldised:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Ringikujulise segmendi osa pindala on mõnevõrra keerulisem määrata. Kui kujutame ette, et selle ringikujulise sektori keskpunkt pole välja lõigatud, võrdub selle raadius väärtusega G. Seda pole keeruline arvutada, kui arvestada vastavatsarnased täisnurksed koonuskolmnurgad. See on võrdne:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Siis võrdub kogu ringikujulise sektori pindala, mis on ehitatud raadiusele G ja mis toetub kaarele pikkusega 2pir₁ kellele:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Nüüd määrame väikese ringikujulise sektori S₂ pindala, mis tuleb S₁-st lahutada. See on võrdne:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Konilise kärbitud pinna pindala S_b võrdub S₁ ja S _{vahega 2}. Saame:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Vaatamata mõningatele tülikatele arvutustele saime joonise külgpinna pindala kohta üsna lihtsa avaldise.

Liides aluste pindalad ja S_b, saame kärbitud koonuse pindala valemi:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Seega, uuritava kujundi S väärtuse arvutamiseks peate teadma selle kolme lineaarset parameetrit.

Näidisprobleem

Ringikujuline sirge koonusraadiusega 10 cm ja kõrgusega 15 cm lõigati tasapinnaga maha nii, et saadi korrapärane tüvikoonus. Teades, et kärbitud kujundi aluste vaheline kaugus on 10 cm, on vaja leida selle pindala.

Tühikoonuse pindala valemi kasutamiseks peate leidma kolm selle parameetrit. Üks, mida me teame:

r₁=10 cm.

Ülejäänud kahte on lihtne arvutada, kui arvestada sarnaseid täisnurkseid kolmnurki, mis saadakse koonuse telglõike tulemusena. Võttes arvesse probleemi seisukorda, saame:

r₂=105/15=3,33 cm.

Lõpuks on kärbikoonuse g juhis järgmine:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Nüüd saate asendada väärtused r₁, r₂ ja g valemis S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Figuuri soovitud pindala on ligikaudu 852 cm².