Koonuse pindala valemi tuletamine. Probleemilahenduse näide

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Ruumikujude omaduste uurimine mängib olulist rolli praktiliste ülesannete lahendamisel. Teadust, mis tegeleb figuuridega ruumis, nimetatakse stereomeetriaks. Selles artiklis vaatleme tahke geomeetria seisukohast koonust ja näitame, kuidas leida koonuse pindala.

Ümara põhjaga koonus

Koonus on üldjuhul mingile tasapinnalisele kõverale ehitatud pind, mille kõik punktid on ühendatud ühe ruumipunktiga segmentidega. Viimast nimetatakse koonuse tipuks.

Ül altoodud definitsiooni põhjal on selge, et kõveral võib olla suvaline kuju, näiteks paraboolne, hüperboolne, elliptiline jne. Sellegipoolest tuleb praktikas ja geomeetriaprobleemides sageli kokku ümmargune koonus. See on näidatud alloleval pildil.

Siin tähistab sümbol r joonise põhjas asuva ringi raadiust, h on risti ringi tasapinnaga, mis on tõmmatud joonise ülaosast. Seda nimetatakse kõrguseks. Väärtus s on koonuse generatriks või selle generatriks.

On näha, et segmendid r, h ja smoodustada täisnurkne kolmnurk. Kui seda pöörata ümber jala h, siis hüpotenuus s kirjeldab koonusekujulist pinda ja jalg r moodustab joonise ümara aluse. Sel põhjusel peetakse koonust revolutsiooni kujuks. Kolm nimetatud lineaarset parameetrit on omavahel seotud võrdsusega:

s²=r²+ h²

Pange tähele, et antud võrdsus kehtib ainult ümara sirge koonuse puhul. Sirge kujund on ainult siis, kui selle kõrgus langeb täpselt põhiringi keskele. Kui see tingimus ei ole täidetud, nimetatakse figuuri kalduks. Erinevus sirgete ja kaldus koonuste vahel on näidatud alloleval joonisel.

Kuju arendamine

Koonuse pindala uurimist on mugav läbi viia, arvestades seda tasapinnal. Sellist kujundite pinna kujutamise viisi ruumis nimetatakse nende arendamiseks. Koonuse jaoks saab selle arenduse saada järgmiselt: peate võtma näiteks paberist tehtud kujundi. Seejärel lõigake kääridega ümmargune alus ümbermõõdult ära. Pärast seda tehke mööda generatrixit koonilise pinna lõige ja keerake see tasapinnaks. Nende lihtsate toimingute tulemuseks on koonuse arendamine, mis on näidatud alloleval joonisel.

Nagu näete, saab koonuse pinda tõepoolest kujutada tasapinnal. See koosneb kahest järgmisest osast:

• ring raadiusega r, mis tähistab joonise alust;
• ringikujuline sektor raadiusega g, mis on kooniline pind.

Koonuse pindala valem hõlmab mõlema voldimata pinna pindalade leidmist.

Arvutage joonise pindala

Jagame ülesande kaheks etapiks. Kõigepe alt leiame koonuse aluse pindala, seejärel koonilise pinna pindala.

Probleemi esimest osa on lihtne lahendada. Kuna raadius r on antud, piisab aluse pindala arvutamiseks vastava ringi pindala avaldise meenutamisest. Paneme selle kirja:

S_o=pi × r²

Kui raadius pole teada, peaksite selle esm alt leidma selle, kõrguse ja generaatori vahelise seose valemi abil.

Koonuse pindala leidmise probleemi teine osa on mõnevõrra keerulisem. Pange tähele, et ringikujuline sektor on ehitatud generatriksi raadiusele g ja seda piirab kaar, mille pikkus on võrdne ringi ümbermõõduga. See asjaolu võimaldab teil proportsiooni üles kirjutada ja vaadeldava sektori nurga leida. Tähistame seda kreeka tähega φ. See nurk on võrdne:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Teades ringikujulise sektori kesknurka φ, saate selle pindala leidmiseks kasutada sobivat proportsiooni. Tähistame seda sümboliga S_b. See on võrdne:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

See tähendab, et koonilise pinna pindala vastab generatriksi g, aluse r raadiuse ja arvu Pi korrutisele.

Teades, millised on mõlema valdkonnadvaadeldavaid pindu, saame kirjutada koonuse pindala lõpliku valemi:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Kirjutatud avaldis eeldab S arvutamiseks koonuse kahe lineaarse parameetri tundmist. Kui g või r on teadmata, saab need leida kõrguse h kaudu.

Koonuse pindala arvutamise probleem

On teada, et ümmarguse sirge koonuse kõrgus võrdub selle läbimõõduga. On vaja arvutada joonise pindala, teades, et selle aluse pindala on 50 cm².

Teades ringi pindala, saate leida kujundi raadiuse. Meil on:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Nüüd leiame generaatori g h ja r järgi. Vastav alt tingimusele on joonise kõrgus h võrdne kahe raadiusega r, siis:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Leitud valemid g ja r jaoks tuleks asendada avaldisega kogu koonuse ala kohta. Saame:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Saadud avaldisesse asendame aluse pindala S_o ja kirjutame vastuse: S ≈ 161,8 cm².