Püramiid on geomeetriline ruumikuju, mille tunnuseid uuritakse keskkoolis tahke geomeetria kursusel. Selles artiklis käsitleme kolmnurkset püramiidi, selle tüüpe ja selle pindala arvutamise valemeid.
Millisest püramiidist me räägime?
Kolmnurkne püramiid on kujund, mille saab saada, ühendades kõik suvalise kolmnurga tipud ühe punktiga, mis ei asu selle kolmnurga tasapinnal. Selle definitsiooni järgi peaks vaadeldav püramiid koosnema algkolmnurgast, mida nimetatakse joonise aluseks, ja kolmest külgkolmnurgast, millel on alusega üks ühine külg ja mis on punktis omavahel ühendatud. Viimast nimetatakse püramiidi tipuks.
Ülaloleval pildil on suvaline kolmnurkne püramiid.
Vaatatav joonis võib olla kaldu või sirge. Viimasel juhul peab püramiidi ülaosast selle alusele langenud ristnurk seda geomeetrilises keskpunktis lõikuma. mis tahes geomeetriline keskpunktkolmnurk on selle mediaanide lõikepunkt. Geomeetriline kese langeb kokku figuuri massikeskmega füüsikas.
Kui sirge püramiidi põhjas asub korrapärane (võrdkülgne) kolmnurk, nimetatakse seda korrapäraseks kolmnurkseks. Tavalises püramiidis on kõik küljed üksteisega võrdsed ja on võrdkülgsed kolmnurgad.
Kui korrapärase püramiidi kõrgus on selline, et selle külgmised kolmnurgad muutuvad võrdkülgseks, nimetatakse seda tetraeedriks. Tetraeedris on kõik neli tahku üksteisega võrdsed, seega võib neid kõiki pidada alusteks.
Püramiidielemendid
Need elemendid hõlmavad kujundi nägusid või külgi, selle servi, tippe, kõrgust ja apoteeme.
Nagu näidatud, on kolmnurkse püramiidi kõik küljed kolmnurgad. Nende arv on 4 (3 külgedel ja üks allosas).
Tipud on kolme kolmnurga külje lõikepunktid. Pole raske arvata, et vaadeldava püramiidi jaoks on neid 4 (3 kuuluvad püramiidi alusele ja 1 tippu).
Servad saab defineerida kui sirgeid, mis lõikuvad kahte kolmnurkset külge, või joontena, mis ühendavad iga kahte tippu. Servade arv vastab kahekordsele põhitippude arvule, st kolmnurkse püramiidi puhul on see 6 (3 serva kuuluvad alusele ja 3 serva moodustavad külgpinnad).
Kõrgus, nagu ülalpool märgitud, on püramiidi tipust aluse külge tõmmatud risti pikkus. Kui me tõmbame kõrgused sellest tipust kolmnurkse aluse mõlemale küljele,siis hakatakse neid nimetama apoteemideks (või apoteemideks). Seega on kolmnurksel püramiidil üks kõrgus ja kolm apoteemi. Viimased on tavalise püramiidi korral üksteisega võrdsed.
Püramiidi alus ja selle ala
Kuna vaadeldava joonise aluseks on üldjuhul kolmnurk, piisab selle pindala arvutamiseks selle kõrguse ho ja aluse külje pikkuse leidmisest a, millele see on langetatud. Aluse ala So valem on:
So=1/2hoa
Kui aluse kolmnurk on võrdkülgne, arvutatakse kolmnurkpüramiidi aluse pindala järgmise valemi abil:
So=√3/4a2
See tähendab, et ala So on üheselt määratud kolmnurkse aluse külje a pikkusega.
Figuuri külg ja kogupindala
Enne kolmnurkse püramiidi pindala arvestamist on kasulik näidata selle arengut. Ta on pildil allpool.
Selle neljast kolmnurgast moodustatud pühkimisala on püramiidi kogupindala. Üks kolmnurkadest vastab alusele, mille vaadeldava väärtuse valem on ülalpool kirjutatud. Kolm külgmist kolmnurkset külge moodustavad koos figuuri külgmise ala. Seetõttu piisab selle väärtuse määramiseks, kui rakendada ül altoodud valemit suvalise kolmnurga jaoks ja seejärel lisada kolm tulemust.
Kui püramiid on õige, siis arvutuskülgpindala on hõlbustatud, kuna kõik külgpinnad on identsed võrdkülgsed kolmnurgad. Tähistage hbapoteemi pikkust, siis saab külgpinna pindala Sb määrata järgmiselt:
Sb=3/2ahb
See valem tuleneb kolmnurga pindala üldavaldisest. Number 3 ilmus lugejatesse seetõttu, et püramiidil on kolm külgtahta.
Apoteema hb tavapüramiidis saab arvutada, kui on teada kujundi h kõrgus. Rakendades Pythagorase teoreemi, saame:
hb=√(h2+ a2/12)
Ilmselt on joonise pinna kogupindala S võrdne selle külg- ja aluspindade summaga:
S=So+ Sb
Tavalise püramiidi jaoks, asendades kõik teadaolevad väärtused, saame järgmise valemi:
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
Kolmnurkse püramiidi pindala sõltub ainult selle aluse külje pikkusest ja kõrgusest.
Näidisprobleem
On teada, et kolmnurkse püramiidi külgserv on 7 cm ja aluse külg 5 cm. Peate leidma kujundi pindala, kui teate, et püramiid on regulaarne.
Kasutage üldist võrdsust:
S=So+ Sb
Piirkond So võrdub:
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825 cm2.
Külgpinna määramiseks peate leidma apoteemi. Pole raske näidata, et läbi külgserva pikkuse ab määratakse see valemiga:
hb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6,538 cm.
Siis on Sb pindala:
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49,035 cm2.
Püramiidi kogupindala on:
S=So+ Sb=10,825 + 49,035=59,86 cm2.
Pange tähele, et ülesande lahendamisel ei kasutanud me arvutustes püramiidi kõrguse väärtust.
