Ring on geomeetria põhikuju, mille omadustega arvestatakse koolis 8. klassis. Üks ringiga seotud tüüpilisi probleeme on leida selle osa pindala, mida nimetatakse ringikujuliseks sektoriks. Artiklis on toodud valemid sektori pindala ja selle kaare pikkuse kohta, samuti näide nende kasutamisest konkreetse ülesande lahendamisel.
Ringi ja ringi mõiste
Enne ringjoone sektori pindala valemi andmist mõelgem, milline on näidatud arv. Matemaatilise definitsiooni järgi mõistetakse ringi all sellist kujundit tasapinnal, mille kõik punktid on mingist ühest punktist (keskpunktist) võrdsel kaugusel.
Ringi käsitlemisel kasutatakse järgmist terminoloogiat:
- Raadius – segment, mis tõmmatakse keskpunktist ringi kõverani. Tavaliselt tähistatakse seda tähega R.
- Diameeter on segment, mis ühendab ringi kahte punkti, kuid läbib ka joonise keskpunkti. Tavaliselt tähistatakse seda tähega D.
- Kaar on osa kõverast ringist. Seda mõõdetakse kas pikkuseühikutes või nurkade abil.
Ring on veel üks oluline geomeetriakuju, see on punktide kogum, mis on piiratud kõvera ringiga.
Ringi pindala ja ümbermõõt
Üksuse pealkirjas märgitud väärtused arvutatakse kahe lihtsa valemi abil. Need on loetletud allpool:
- Ümbermõõt: L=2piR.
- Ringjoone pindala: S=piR2.
Nendes valemites on pi mingi konstant nimega Pi. See on irratsionaalne, st seda ei saa väljendada täpselt lihtmurruna. Pi on ligikaudu 3,1416.
Nagu ül altoodud avaldistest näha, piisab pindala ja pikkuse arvutamiseks ainult ringi raadiuse teadmisest.
Ringjoone sektori pindala ja selle kaare pikkus
Enne vastavate valemite käsitlemist tuletame meelde, et nurka väljendatakse geomeetrias tavaliselt kahel viisil:
- kuusagesimaalsetes kraadides ja täispööre ümber selle telje on 360o;
- radiaanides, väljendatuna pi osadena ja seotud kraadidega järgmise võrrandiga: 2pi=360o.
Ringjoone sektor on kujund, mis on piiratud kolme sirgega: ringi kaar ja kaks raadiust, mis asuvad selle kaare otstes. Ringikujulise sektori näide on näidatud alloleval fotol.
Ringi sektorist aimu saamine on lihtnemõista, kuidas arvutada selle pindala ja vastava kaare pikkus. Ül altoodud jooniselt on näha, et sektori kaar vastab nurgale θ. Teame, et täisring vastab 2pi radiaanile, seega on ringikujulise sektori pindala valem järgmine: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Siin väljendatakse nurka θ radiaanides. Sarnane valem sektori pindala jaoks, kui nurka θ mõõdetakse kraadides, näeb välja järgmine: S1=piθR2 /360.
Sektorit moodustava kaare pikkus arvutatakse valemiga: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Ja kui θ on teada kraadides, siis: L1=piθR/180.
Näide probleemi lahendamisest
Kasutame lihtsa ülesande näidet, et näidata, kuidas kasutada valemeid ringi sektori pindala ja selle kaare pikkuse jaoks.
On teada, et rattal on 12 kodarat. Kui ratas teeb ühe täispöörde, läbib see 1,5 meetrise vahemaa. Kui suur on ala, mis jääb ratta kahe kõrvuti asetseva kodara vahele ja kui pikk on nendevaheline kaare?
Nagu vastavatest valemitest näha, on nende kasutamiseks vaja teada kahte suurust: ringi raadiust ja kaare nurka. Raadiuse saab arvutada ratta ümbermõõdu teadmisest, kuna selle ühe pöördega läbitav vahemaa vastab täpselt sellele. Meil on: 2Rpi=1,5, kust: R=1,5/(2pi)=0,2387 meetrit. Lähimate kodarate vahelise nurga saab määrata nende arvu teades. Eeldades, et kõik 12 kodarat jagavad ringi ühtlaselt võrdseteks sektoriteks, saame 12 identset sektorit. Sellest lähtuv alt on kahe kodara vahelise kaare nurgamõõt: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiaani.
Leidsime kõik vajalikud väärtused, nüüd saab need asendada valemitega ja arvutada välja ülesande olukorrale vastavad väärtused. Saame: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, või 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m või 12,5 cm.
