Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid tekitavad koolilastele traditsiooniliselt raskusi. Arvu arktangensi arvutamise oskus võib olla vajalik planimeetria ja stereomeetria USE ülesannete puhul. Võrrandi ja parameetriga ülesande edukaks lahendamiseks peate mõistma arctangensi funktsiooni omadusi.
Definitsioon
Arvu x kaartangens on arv y, mille puutuja on x. See on matemaatiline määratlus.
Arktangensi funktsioon on kirjutatud kujul y=arctg x.
Üldisem alt: y=Carctg (kx + a).
Arvutamine
Arktangensi pöördtrigonomeetrilise funktsiooni toimimise mõistmiseks peate esm alt meeles pidama, kuidas arvu puutuja väärtus määratakse. Vaatame lähem alt.
X puutuja on x siinuse ja x koosinuse suhe. Kui vähem alt üks neist kahest suurusest on teada, saab teise mooduli saada trigonomeetrilisest põhiidentiteedist:
sin2 x + cos2 x=1.
Muidugi, mooduli avamiseks on vaja hindamist.
Kuiarv ise on teada, mitte selle trigonomeetrilised omadused, siis on enamikul juhtudel vaja ligikaudselt hinnata arvu puutujat, viidates Bradise tabelile.
Erandiks on nn standardväärtused.
Need on esitatud järgmises tabelis:
Lisaks ül altoodule võib standardseks lugeda kõiki väärtusi, mis on saadud andmetest, lisades numbri kujul ½πк (к - mis tahes täisarv, π=3, 14).
Täpselt sama kehtib ka kaartangensi kohta: enamasti on ligikaudne väärtus näha tabelist, kuid kindlad on vaid mõned väärtused:
Praktikas on koolimatemaatika ülesannete lahendamisel tavaks anda vastus arktangensi sisaldava avaldise, mitte selle ligikaudse hinnangu kujul. Näiteks arctg 6, arctg (-¼).
Graafiku koostamine
Kuna puutuja võib võtta mis tahes väärtuse, on arktangensi funktsiooni domeeniks terve arvurida. Selgitame üksikasjalikum alt.
Sama puutuja vastab lõpmatule arvule argumentidele. Näiteks nulliga ei võrdu mitte ainult nulli puutuja, vaid ka mistahes arvu puutuja kujul π k, kus k on täisarv. Seetõttu nõustusid matemaatikud valima kaartangensi väärtused vahemikust -½ π kuni ½ π. Seda tuleb nii mõista. Arktangensi funktsiooni vahemik on intervall (-½ π; ½ π). Pilu otsad ei ole kaasatud, kuna puutujaid -½p ja ½p ei eksisteeri.
Määratud intervallil on puutuja pidevsuureneb. See tähendab, et kaartangensi pöördfunktsioon kasvab pidev alt ka kogu arvteljel, kuid on piiratud ül alt ja alt. Selle tulemusena on sellel kaks horisontaalset asümptooti: y=-½ π ja y=½ π.
Sel juhul tg 0=0, muud abstsisstelje lõikepunktid, välja arvatud (0;0), ei saa graafikul suurenemise tõttu olla.
Nagu puutujafunktsiooni paarsusest tuleneb, on arktangensil sarnane omadus.
Graafiku koostamiseks võtke standardväärtuste hulgast mitu punkti:
Funktsiooni y=arctg x tuletis mis tahes punktis arvutatakse järgmise valemiga:
Pange tähele, et selle tuletis on kõikjal positiivne. See on kooskõlas funktsiooni pideva suurendamise kohta varem tehtud järeldusega.
Arktangensi teine tuletis kaob punktis 0, on argumendi positiivsete väärtuste puhul negatiivne ja vastupidi.
See tähendab, et arktangensi funktsiooni graafikul on käändepunkt nullis ja see on intervallil allapoole kumer (-∞; 0] ja ülespoole kumer intervallil [0; +∞).
