Fourier' teisendus on teisendus, mis võrdleb mõne reaalse muutuja funktsioone. Seda toimingut tehakse iga kord, kui tajume erinevaid helisid. Kõrv teostab automaatset "arvutust", mida meie teadvus on võimeline tegema alles pärast kõrgema matemaatika vastava lõigu õppimist. Inimese kuulmisorgan ehitab üles transformatsiooni, mille tulemusena saadakse heli (tingimuslike osakeste võnkuv liikumine elastses keskkonnas, mis levivad laine kujul tahkes, vedelas või gaasilises keskkonnas) järjestikuste väärtuste spektri kujul. erineva kõrgusega toonide helitugevuse tasemest. Pärast seda muudab aju selle teabe kõigile tuttavaks heliks.
Matemaatiline Fourier' teisendus
Helilainete või muude võnkeprotsesside (valguskiirgusest ja ookeani tõusust tähtede või päikese aktiivsuse tsükliteks) teisendamist saab läbi viia ka matemaatilisi meetodeid kasutades. Seega on nende tehnikate abil võimalik funktsioone lagundada, esitades võnkeprotsesse sinusoidaalsete komponentide kogumina, st laineliste kõveratena, misminna madal alt kõrgele, siis tagasi madalale, nagu merelaine. Fourier' teisendus - teisendus, mille funktsioon kirjeldab iga sinusoidi faasi või amplituudi, mis vastab teatud sagedusele. Faas on kõvera alguspunkt ja amplituud on selle kõrgus.
Fourieri teisendus (näited on toodud fotol) on väga võimas tööriist, mida kasutatakse erinevates teadusvaldkondades. Mõnel juhul kasutatakse seda vahendina üsna keerukate võrrandite lahendamiseks, mis kirjeldavad valguse, soojus- või elektrienergia mõjul toimuvaid dünaamilisi protsesse. Muudel juhtudel võimaldab see määrata komplekssete võnkesignaalide regulaarseid komponente, tänu millele saate õigesti tõlgendada erinevaid keemia, meditsiini ja astronoomia eksperimentaalseid vaatlusi.
Ajalooline taust
Esimene inimene, kes seda meetodit rakendas, oli prantsuse matemaatik Jean Baptiste Fourier. Hiljem tema järgi nimetatud transformatsiooni kasutati algselt soojusjuhtivuse mehhanismi kirjeldamiseks. Fourier veetis kogu oma täiskasvanuea soojuse omadusi uurides. Ta andis tohutu panuse algebraliste võrrandite juurte määramise matemaatilisse teooriasse. Fourier oli polütehnikumi analüüsiprofessor, egüptoloogia instituudi sekretär, oli keiserlikus teenistuses, kus paistis silma Torinosse viiva tee ehitamisel (tema juhtimisel enam kui 80 tuhande ruutkilomeetril malaariat).sood). Kogu see hoogne tegevus aga ei takistanud teadlast matemaatilist analüüsi tegemast. 1802. aastal tuletas ta võrrandi, mis kirjeldab soojuse levikut tahketes ainetes. 1807. aastal avastas teadlane meetodi selle võrrandi lahendamiseks, mida nimetati "Fourier' teisenduseks".
Soojusjuhtivuse analüüs
Teadlane kasutas soojusjuhtivuse mehhanismi kirjeldamiseks matemaatilist meetodit. Mugav näide, mille puhul arvutamisel raskusi pole, on soojusenergia levik tulekahjus ühte ossa sukeldatud raudrõnga kaudu. Katsete tegemiseks kuumutas Fourier osa sellest rõngast kuumaks ja mattis peenrasse liiva. Pärast seda mõõtis ta selle vastasküljel temperatuuri. Esialgu on soojuse jaotus ebaühtlane: osa rõngast on külm ja teine kuum, nende tsoonide vahel võib täheldada teravat temperatuurigradienti. Kuid soojuse levimise protsessis kogu metalli pinnal muutub see ühtlasemaks. Niisiis, varsti võtab see protsess sinusoidi kuju. Algul graaf sujuv alt suureneb ja ka kahaneb sujuv alt, täpselt vastav alt koosinuse ehk siinusfunktsiooni muutumise seadustele. Laine tasandub järk-järgult ja selle tulemusena muutub temperatuur kogu rõnga pinnal samaks.
Selle meetodi autor pakkus välja, et esialgse ebakorrapärase jaotuse saab lagundada mitmeks elementaarsinusoidiks. Igal neist on oma faas (esialgne asend) ja oma temperatuurmaksimaalselt. Veelgi enam, iga selline komponent muutub miinimumist maksimumiks ja tagasi täieliku pöörde ümber rõnga täisarv kordi. Ühe perioodiga komponenti nimetati põhiharmoonikuks ja kahe või enama perioodiga väärtust teiseks jne. Seega nimetatakse temperatuuri maksimumi, faasi või positsiooni kirjeldavat matemaatilist funktsiooni jaotusfunktsiooni Fourier' teisenduseks. Teadlane taandas üksiku komponendi, mida on matemaatiliselt raske kirjeldada, hõlpsasti kasutatavaks tööriistaks – koosinus- ja siinusreaks, mis summeerivad esialgse jaotuse.
Analüüsi olemus
Rakendades seda analüüsi soojuse levimise transformatsioonile läbi rõngakujulise tahke objekti, põhjendas matemaatik, et sinusoidse komponendi perioodide suurendamine tooks kaasa selle kiire lagunemise. Seda on selgelt näha põhi- ja teises harmoonilises. Viimases saavutab temperatuur maksimum- ja miinimumväärtused kaks korda ühe läbimisega ning esimeses ainult üks kord. Selgub, et soojuse läbitav vahemaa teises harmoonilises on poole väiksem kui põhiharmoonikus. Lisaks on kalle teisel kalle kaks korda järsem kui esimesel. Seetõttu, kuna intensiivsem soojusvoog läbib kaks korda lühema vahemaa, laguneb see harmooniline aja funktsioonina neli korda kiiremini kui põhiline. Tulevikus on see protsess veelgi kiirem. Matemaatik uskus, et see meetod võimaldab teil arvutada esialgse temperatuurijaotuse protsessi ajas.
Väljakutse kaasaegsetele
Fourieri teisendusalgoritm vaidlustas tolleaegse matemaatika teoreetilised alused. 19. sajandi alguses ei aktsepteerinud enamik silmapaistvaid teadlasi, sealhulgas Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre ja Biot tema väidet, et algne temperatuurijaotus on jagatud komponentideks põhiharmooniku ja kõrgemate sageduste kujul. Teaduste Akadeemia ei saanud aga ignoreerida matemaatiku saadud tulemusi ja andis talle preemia soojusjuhtivuse seaduste teooria eest, aga ka võrdlemise eest füüsikaliste katsetega. Fourier’ käsitluses oli peamiseks vastuväiteks asjaolu, et katkendlikku funktsiooni esindab mitme pideva sinusoidaalse funktsiooni summa. Need ju kirjeldavad rebenenud sirgeid ja kõveraid jooni. Teadlase kaasaegsed ei kohanud kunagi sarnast olukorda, kus katkendlikke funktsioone kirjeldati pidevate funktsioonide kombinatsiooniga, nagu ruut-, lineaar-, sinusoid- või eksponentsiaalne. Juhul, kui matemaatikul oli oma väidetes õigus, tuleks trigonomeetrilise funktsiooni lõpmatu rea summa taandada täpseks astmeliseks. Toona tundus selline väide absurdne. Kuid vaatamata kahtlustele on mõned teadlased (nt Claude Navier, Sophie Germain) laiendanud uurimistöö ulatust ja viinud need soojusenergia jaotuse analüüsist kaugemale. Samal ajal võitlesid matemaatikud jätkuv alt küsimusega, kas mitme sinusoidaalse funktsiooni summat saab taandada katkendliku funktsiooni täpseks esituseks.
200 aastat vanaajalugu
See teooria on arenenud kahe sajandi jooksul, tänaseks on see lõpuks välja kujunenud. Tema abiga jagatakse ruumilised või ajalised funktsioonid sinusoidaalseteks komponentideks, millel on oma sagedus, faas ja amplituud. See teisendus saadakse kahe erineva matemaatilise meetodiga. Esimest neist kasutatakse siis, kui algne funktsioon on pidev, ja teist - kui seda esindab diskreetsete individuaalsete muudatuste komplekt. Kui avaldis saadakse väärtustest, mis on määratletud diskreetsete intervallidega, saab selle jagada mitmeks diskreetse sagedusega sinusoidaalseks avaldiseks - madalaimast ja seejärel kaks, kolm korda ja nii edasi peamisest kõrgemal. Sellist summat nimetatakse Fourier' seeriaks. Kui algsele avaldisele antakse iga reaalarvu jaoks väärtus, siis saab selle lagundada mitmeks kõigi võimalike sageduste siinuskujuliseks. Seda nimetatakse tavaliselt Fourier' integraaliks ja lahendus eeldab funktsiooni integra alteisendusi. Sõltumata sellest, kuidas teisendus saadakse, tuleb iga sageduse jaoks määrata kaks numbrit: amplituud ja sagedus. Need väärtused on väljendatud ühe kompleksarvuna. Keeruliste muutujate avaldiste teooria koos Fourier' teisendusega võimaldas teha arvutusi erinevate elektriahelate projekteerimisel, mehaaniliste vibratsioonide analüüsimisel, laine levimise mehhanismi uurimisel ja palju muud.
Fourier' teisendus täna
Tänapäeval on selle protsessi uurimine taandatud peamiselt tõhusa leidmiseleüleminekumeetodid funktsioonilt selle teisendatud kujule ja vastupidi. Seda lahendust nimetatakse otse- ja pöörd-Fourieri teisenduseks. Mida see tähendab? Integraali määramiseks ja Fourier' otsese teisenduse saamiseks võib kasutada matemaatilisi või analüütilisi meetodeid. Hoolimata asjaolust, et nende praktikas kasutamisel tekivad teatud raskused, on enamik integraale juba leitud ja matemaatika teatmeteostesse lisatud. Numbriliste meetodite abil saab arvutada avaldisi, mille vorm põhineb eksperimentaalsetel andmetel, või funktsioone, mille integraalid pole tabelites saadaval ja mida on raske analüütilisel kujul esitada.
Enne arvutite tulekut olid selliste teisenduste arvutamine väga tüütu, nõudis suure hulga aritmeetiliste tehtete käsitsi täitmist, mis sõltus lainefunktsiooni kirjeldavate punktide arvust. Arvutuste hõlbustamiseks on tänapäeval olemas spetsiaalsed programmid, mis on võimaldanud rakendada uusi analüüsimeetodeid. Nii lõid James Cooley ja John Tukey 1965. aastal tarkvara, mis sai tuntuks kui "Fast Fourier Transform". See võimaldab säästa aega arvutusteks, vähendades kõvera analüüsis korrutamiste arvu. Kiire Fourier' teisenduse meetod põhineb kõvera jagamisel suureks hulgaks ühtlasteks valimiväärtusteks. Vastav alt sellele väheneb korrutuste arv poole võrra, samaväärse punktide arvu vähenemisega.
Fourieri teisenduse rakendamine
Seeprotsessi kasutatakse erinevates teadusvaldkondades: arvuteoorias, füüsikas, signaalitöötluses, kombinatoorikas, tõenäosusteoorias, krüptograafias, statistikas, okeanoloogias, optikas, akustikas, geomeetrias jm. Selle rikkalikud kasutusvõimalused põhinevad mitmel kasulikul funktsioonil, mida nimetatakse "Fourier' teisenduse omadusteks". Kaaluge neid.
1. Funktsiooni teisendus on lineaarne operaator ja sobiva normaliseerimisega on unitaarne. Seda omadust tuntakse Parsevali teoreemina või üldiselt Planchereli teoreemina või Pontrjagini dualismina.
2. Teisendus on pöörduv. Pealegi on vastupidine tulemus peaaegu sama kujuga kui otselahenduses.
3. Sinusoidsed baasavaldised on enda diferentseeritud funktsioonid. See tähendab, et selline esitus muudab konstantse koefitsiendiga lineaarvõrrandid tavalisteks algebralisteks.
4. "Konvolutsiooni" teoreemi kohaselt muudab see protsess komplekstehte elementaarkorrutuseks.
5. Diskreetse Fourier' teisenduse saab arvutis kiiresti arvutada "kiire" meetodi abil.
Fourieri teisenduse variandid
1. Kõige sagedamini kasutatakse seda terminit pideva teisenduse tähistamiseks, mis annab mis tahes ruudukujuliselt integreeritava avaldise keerukate eksponentsiaalsete avaldiste summana, millel on spetsiifilised nurksagedused ja amplituudid. Sellel liigil on mitu erinevat vormi, mis võivaderinevad konstantsete koefitsientide võrra. Pidev meetod sisaldab teisendustabelit, mille leiate matemaatika teatmeteostest. Üldistatud juhtum on murdteisendus, mille abil saab antud protsessi tõsta vajaliku reaalvõimsuseni.
2. Pidev režiim on Fourier' jada varase tehnika üldistus, mis on defineeritud erinevate perioodiliste funktsioonide või avaldiste jaoks, mis eksisteerivad piiratud alal ja esindavad neid siinuste seeriatena.
3. Diskreetne Fourier' teisendus. Seda meetodit kasutatakse arvutitehnoloogias teaduslikeks arvutusteks ja digitaalseks signaalitöötluseks. Seda tüüpi arvutuste tegemiseks on vaja funktsioone, mis määratlevad pidevate Fourier' integraalide asemel üksikuid punkte, perioodilisi või piiratud alasid diskreetsel hulgal. Signaali teisendust esitatakse sel juhul sinusoidide summana. Samas võimaldab “kiire” meetodi kasutamine rakendada diskreetseid lahendusi mis tahes praktilistele probleemidele.
4. Aknaga Fourier' teisendus on klassikalise meetodi üldistatud vorm. Erinev alt standardlahendusest, kui kasutatakse signaali spektrit, mis on võetud antud muutuja olemasolu kogu ulatuses, pakub siin erilist huvi ainult lokaalne sagedusjaotus, eeldusel, et algne muutuja (aeg) säilib..
5. Kahemõõtmeline Fourier' teisendus. Seda meetodit kasutatakse kahemõõtmeliste andmemassiividega töötamiseks. Sel juhul tehakse esm alt teisendus ühes suunas ja seejärel sissepoolemuu.
Järeldus
Tänapäeval on Fourier' meetod erinevates teadusvaldkondades kindl alt juurdunud. Näiteks 1962. aastal avastati DNA topeltheeliksi kuju, kasutades Fourier' analüüsi kombineerituna röntgendifraktsiooniga. Viimased olid fokuseeritud DNA kiudude kristallidele, mille tulemusena jäädvustati kiirguse difraktsiooniga saadud pilt filmile. See pilt andis teavet amplituudi väärtuse kohta Fourier' teisenduse kasutamisel antud kristallstruktuurile. Faasiandmed saadi DNA difraktsioonikaardi võrdlemisel sarnaste keemiliste struktuuride analüüsil saadud kaartidega. Selle tulemusena on bioloogid taastanud kristallstruktuuri – algse funktsiooni.
Fourier' teisendustel on suur roll kosmose, pooljuhtide ja plasmafüüsika, mikrolaineakustika, okeanograafia, radari, seismoloogia ja meditsiiniliste uuringute uurimisel.
