Kere liikumine horisondi suhtes nurga all: valemid, lennuulatuse ja maksimaalse stardikõrguse arvutamine

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Füüsikas mehaanilist liikumist uurides hakatakse pärast objektide ühtlase ja ühtlaselt kiirendatud liikumisega tutvumist käsitlema keha liikumist horisondi suhtes nurga all. Selles artiklis uurime seda probleemi üksikasjalikum alt.

Mis on keha liikumine horisondi suhtes nurga all?

Seda tüüpi objektide liikumine toimub siis, kui inimene viskab kivi õhku, kahur laseb kahurikuuli või väravavaht lööb jalgpallipalli väravast välja. Kõiki selliseid juhtumeid käsitleb ballistikateadus.

Objektide õhus liikumine toimub mööda paraboolset trajektoori. Üldjuhul ei ole vastavate arvutuste tegemine lihtne ülesanne, kuna tuleb arvestada õhutakistust, keha pöörlemist lennu ajal, Maa pöörlemist ümber oma telje ja veel mõningaid tegureid.

Selles artiklis me kõiki neid tegureid arvesse ei võta, vaid vaatleme probleemi puht alt teoreetilisest vaatenurgast. Samas on saadud valemid üsna headkirjeldage lühikestel vahemaadel liikuvate kehade trajektoore.

Valemite hankimine vaadeldava liikumistüübi jaoks

Tuletame keha nurga all horisondile liikumise valemid. Sel juhul võtame arvesse ainult ühte lendavale objektile mõjuvat jõudu - gravitatsiooni. Kuna see toimib vertikaalselt allapoole (paralleelselt y-teljega ja selle vastu), siis võib liikumise horisontaalseid ja vertikaalseid komponente arvestades öelda, et esimene on ühtlase sirgjoonelise liikumise iseloomuga. Ja teine - võrdselt aeglane (ühtlaselt kiirendatud) sirgjooneline liikumine kiirendusega g. See tähendab, et kiiruse komponendid väärtuse v₀ (algkiirus) ja θ (keha liikumise suuna nurk) kaudu kirjutatakse järgmiselt:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

Esimene valem (v_x jaoks) kehtib alati. Teise puhul tuleb siinkohal tähele panna üht nüanssi: miinusmärk korrutisele gt pannakse ainult siis, kui vertikaalkomponent v₀sin(θ) on suunatud ülespoole. Enamasti juhtub see aga kui viskate keha kõrguselt, suunates selle alla, siis avaldises v_y tuleks g ette panna "+" märk. t.

Integreerides aja jooksul kiiruse komponentide valemeid ja võttes arvesse keha lennu algkõrgust h, saame koordinaatide võrrandid:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Arvuta lennuulatus

Kui võtta arvesse füüsikas keha liikumist horisondi poole praktiliseks kasutamiseks kasuliku nurga all, siis tuleb välja lennukauguse arvutamine. Määratleme selle.

Kuna see liigutus on ühtlane liikumine ilma kiirenduseta, piisab, kui asendada sellega lennuaeg ja saada soovitud tulemus. Lennuulatuse määrab ainult liikumine piki x-telge (paralleelselt horisondiga).

Keha õhus viibimise aja saab arvutada, võrdsustades y-koordinaadi nulliga. Meil on:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

See ruutvõrrand lahendatakse diskriminandi abil, saame:

D=b²- 4ac=v₀²patt ²(θ) – 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

Viimases avaldises jäetakse üks miinusmärgiga juur kõrvale selle ebaolulise füüsilise väärtuse tõttu. Asendades avaldises x lennuaja t, saame lennuulatuse l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

Lihtsaim viis selle avaldise analüüsimiseks on algkõrguson võrdne nulliga (h=0), siis saame lihtsa valemi:

l=v ₀²sin(2θ)/g

See avaldis näitab, et maksimaalne lennukaugus on saavutatav, kui keha visatakse 45° nurga all ^o(sin(245^o )=m1).

Maksimaalne kehapikkus

Lisaks lennukaugusele on kasulik leida ka kõrgus maapinnast, milleni keha võib tõusta. Kuna seda tüüpi liikumist kirjeldab parabool, mille oksad on suunatud allapoole, on maksimaalne tõstekõrgus selle äärmus. Viimane arvutatakse, lahendades y tuletise võrrandi t suhtes:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Asendage see aeg võrrandis y-ga, saame:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

See väljend näitab, et keha tõuseb maksimaalsele kõrgusele, kui see visatakse vertikaalselt üles (sin²(90^o)=1).