Maatrikse (numbriliste elementidega tabeleid) saab kasutada mitmesugusteks arvutusteks. Mõned neist on korrutamine arvuga, vektoriga, teise maatriksiga, mitme maatriksiga. Toode on mõnikord vale. Ekslik tulemus tuleneb arvutustoimingute sooritamise reeglite mittetundmisest. Mõelgem välja, kuidas korrutada.
Maatriks ja arv
Alustame kõige lihtsamast – arvudega tabeli korrutamisest kindla väärtusega. Näiteks on meil maatriks A, mille elemendid on aij (i on ridade numbrid ja j on veergude numbrid) ja arv e. Maatriksi korrutis arvuga e on maatriks B elementidega bij, mis leitakse valemiga:
bij=e × aij.
T. e. elemendi b11 saamiseks peate võtma elemendi a11 ja korrutama selle soovitud arvuga, et saada b12 on vaja leida elemendi a12 ja arvu e korrutis jne.
Lahendame pildil toodud ülesande number 1. Maatriksi B saamiseks korrutage lihts alt A elemendid 3-ga:
- a11 × 3=18. Kirjutame selle väärtuse maatriksisse B kohta, kus veerg nr 1 ja rida nr 1 ristuvad.
- a21 × 3=15. Saime elemendi b21.
- a12 × 3=-6. Saime elemendi b12. Kirjutame selle maatriksisse B kohta, kus veerg 2 ja rida 1 ristuvad.
- a22 × 3=9. Tulemuseks on element b22.
- a13 × 3=12. Sisestage see arv maatriksisse elemendi b13.
- a23 × 3=-3. Viimane saadud number on element b23.
asemel
Seega saime ristkülikukujulise arvuliste elementidega massiivi.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektorid ja maatriksite korrutise olemasolu tingimus
Matemaatikateadustes on selline asi nagu "vektor". See termin viitab järjestatud väärtuste komplektile vahemikus a1 kuni . Neid nimetatakse vektorruumi koordinaatideks ja need on kirjutatud veeruna. Samuti on olemas termin "transponeeritud vektor". Selle komponendid on järjestatud stringina.
Vektoreid võib nimetada maatriksiteks:
- veeruvektor on ühest veerust koostatud maatriks;
- reavektor on maatriks, mis sisaldab ainult ühte rida.
Kui tehtudkorrutustehte maatriksite puhul on oluline meeles pidada, et korrutise olemasolul on tingimus. Arvutustoimingut A × B saab teha ainult siis, kui tabeli A veergude arv on võrdne tabelis B olevate ridade arvuga. Arvutuse tulemusel saadud maatriksis on alati tabelis A ridade arv ja veergude arv tabelis B.
Korrutamisel ei ole soovitatav maatrikseid (kordajaid) ümber paigutada. Nende korrutis ei vasta tavaliselt korrutamise kommutatiivsele (nihke)seadusele, st tehte A × B tulemus ei võrdu tehte B × A tulemusega. Seda tunnust nimetatakse korrutise mittekommutatiivsuseks. maatriksid. Mõnel juhul on korrutise A × B tulemus võrdne korrutamise B × A tulemusega, st korrutis on kommutatiivne. Maatrikse, mille puhul kehtib võrdus A × B=B × A, nimetatakse permutatsioonimaatriksiteks. Vaadake selliste tabelite näiteid allpool.
Korrutamine veeruvektoriga
Maatriksi korrutamisel veeruvektoriga peame arvestama korrutise olemasolu tingimusega. Tabeli veergude arv (n) peab ühtima vektori moodustavate koordinaatide arvuga. Arvutuse tulemuseks on teisendatud vektor. Selle koordinaatide arv on võrdne tabelis olevate ridade arvuga (m).
Kuidas arvutatakse vektori y koordinaadid, kui on olemas maatriks A ja vektor x? Arvutuste jaoks loodud valemid:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
kus x1, …, x on koordinaadid x-vektorist, m on ridade arv maatriksis ja arv koordinaatidest uues y-vektoris, n on veergude arv maatriksis ja koordinaatide arv x-vektoris, a11, a12, …, amn– maatriksi A elemendid.
Seega, uue vektori i-nda komponendi saamiseks teostatakse skalaarkorrutis. I-nda rea vektor võetakse maatriksist A ja see korrutatakse saadaoleva vektoriga x.
Lahendame ülesande nr 2. Leiate maatriksi ja vektori korrutise, kuna A-l on 3 veergu ja x koosneb 3 koordinaadist. Selle tulemusena peaksime saama 4 koordinaadiga veeruvektori. Kasutame ül altoodud valemeid:
- Arvuta y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Lõplik väärtus on 2.
- Arvuta y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Arvutamisel saame 0.
- Arvuta y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Näidatud tegurite korrutiste summa on 6.
- Arvuta y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinaat on -8.
Rea vektormaatriksi korrutamine
Te ei saa mitme veeruga maatriksit reavektoriga korrutada. Sellistel juhtudel ei ole teose olemasolu tingimus täidetud. Kuid reavektori korrutamine maatriksiga on võimalik. Seearvutusoperatsioon sooritatakse siis, kui vektori koordinaatide arv ja tabeli ridade arv ühtivad. Vektori ja maatriksi korrutise tulemuseks on uus reavektor. Selle koordinaatide arv peab võrduma maatriksi veergude arvuga.
Uue vektori esimese koordinaadi arvutamine hõlmab reavektori ja esimese veeru vektori korrutamist tabelist. Teine koordinaat arvutatakse sarnaselt, kuid esimese veeru vektori asemel võetakse teine veeru vektor. Siin on koordinaatide arvutamise üldvalem:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, kus yk on koordinaat y-vektorist (k on vahemikus 1 kuni n), m on ridade arv maatriksis ja koordinaatide arv x-vektoris n on veergude arv maatriksis ja koordinaatide arv y-vektoris, a tähtnumbriliste indeksitega on maatriksi A elemendid.
Ristkülikukujuliste maatriksite toode
See arvutus võib tunduda keeruline. Korrutamist on aga lihtne teha. Alustame määratlusega. M rea ja n veeruga maatriksi A ning n rea ja p veeruga maatriksi B korrutis on m rea ja p veeruga maatriks C, milles element cij on tabeli A i-nda rea ja tabeli B j-nda veeru korrutiste summa. Lihtsam alt öeldes on element cij i-nda rea skalaarkorrutis vektor tabelist A ja j-nda veeru vektor tabelist B.
Nüüd mõtleme praktikas välja, kuidas leida ristkülikukujuliste maatriksite korrutist. Lahendame selleks ülesande nr 3. Toote olemasolu tingimus on täidetud. Alustame elementide cij:
arvutamist
- Matrix C-l on 2 rida ja 3 veergu.
- Arvuta element c11. Selleks teostame maatriksist A rea nr 1 ja maatriksi B veeru nr 1 skalaarkorrutise. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Seejärel jätkame sarnaselt, muutes ainult ridu, veerge (olenev alt elemendiindeksist).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elemendid on arvutatud. Nüüd jääb üle vaid saadud numbritest ristkülikukujuline plokk teha.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Kolme maatriksi korrutamine: teoreetiline osa
Kas leiate kolme maatriksi korrutise? See arvutusoperatsioon on teostatav. Tulemust on võimalik saada mitmel viisil. Näiteks on 3 ruudukujulist tabelit (samas järjekorras) - A, B ja C. Korrutise arvutamiseks saate:
- Korrutage kõigepe alt A ja B. Seejärel korrutage tulemus C-ga.
- Esm alt leidke B ja C korrutis. Seejärel korrutage maatriks A tulemusega.
Kui teil on vaja ristkülikukujulisi maatrikseid korrutada, peate esm alt veenduma, et see arvutustehte on võimalik. Peakstooted A × B ja B × C on olemas.
Kasvav korrutamine ei ole viga. On olemas selline asi nagu "maatriksi korrutamise assotsiatiivsus". See termin viitab võrdusele (A × B) × C=A × (B × C).
Kolme maatriksi korrutamise praktika
Ruutmaatriksid
Alustage väikeste ruutmaatriksite korrutamisega. Alloleval joonisel on kujutatud ülesanne number 4, mille peame lahendama.
Kasutame assotsiatiivsuse atribuuti. Kõigepe alt korrutame kas A ja B või B ja C. Me mäletame ainult üht: tegureid ei saa vahetada, see tähendab, et ei saa korrutada B × A või C × B. Selle korrutamisega saame vigane tulemus.
Otsuse edenemine.
Esimene samm. Ühise korrutise leidmiseks korrutame A esm alt B-ga. Kahe maatriksi korrutamisel juhindume ül altoodud reeglitest. Seega saadakse A ja B korrutamise tulemuseks maatriks D, millel on 2 rida ja 2 veergu, st ristkülikukujuline massiiv sisaldab 4 elementi. Leiame need, tehes arvutuse:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Vahetulemus valmis.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Teine samm. Nüüd korrutame maatriksi D maatriksiga C. Tulemuseks peaks olema ruutmaatriks G, millel on 2 rida ja 2 veergu. Arvutage elemendid:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Seega on ruutmaatriksite korrutise tulemuseks arvutatud elementidega tabel G.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Ristkülikukujulised maatriksid
Allpool olev joonis näitab ülesannet number 5. Vajalik on ristkülikukujuliste maatriksite korrutamine ja lahenduse leidmine.
Kontrollime, kas korrutiste A × B ja B × C olemasolu tingimus on täidetud. Näidatud maatriksite järjestused võimaldavad sooritada korrutamist. Alustame probleemi lahendamisega.
Otsuse edenemine.
Esimene samm. Korrutage B C-ga, et saada D. Maatriksis B on 3 rida ja 4 veergu ning maatriksis C on 4 rida ja 2 veergu. See tähendab, et saame maatriksi D, millel on 3 rida ja 2 veergu. Arvutame elemendid. Siin on 2 arvutusnäidet:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Jätkame probleemi lahendamist. Edasiste arvutuste tulemusena leiame väärtused d21, d2 2, d31 ja d32. Need elemendid on vastav alt 0, 19, 1 ja 11. Kirjutame leitud väärtused ristkülikukujulisse massiivi.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Teine samm. Korrutage A D-ga, et saada lõplik maatriks F. Sellel on 2 rida ja 2 veergu. Arvutage elemendid:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Koostage ristkülikukujuline massiiv, mis on kolme maatriksi korrutamise lõpptulemus.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Sissejuhatus otsesesse töösse
Üsna raskesti mõistetav materjal on maatriksite Kroneckeri korrutis. Sellel on ka lisanimi – otseteos. Mida selle mõiste all mõeldakse? Oletame, et meil on tabel A järku m × n ja tabel B järguga p × q. Maatriksi A ja maatriksi B otsekorrutis on maatriks järku mp × nq.
Meil on 2 ruutmaatriksit A, B, mis on näidatud pildil. Esimeses on 2 veergu ja 2 rida ning teises 3 veergu ja 3 rida. Näeme, et otsekorrutisest tulenev maatriks koosneb 6 reast ja täpselt samast arvust veergudest.
Kuidas arvutatakse otsekorrutis uue maatriksi elemente? Sellele küsimusele vastuse leidmine on pilti analüüsides väga lihtne. Esm alt täitke esimene rida. Võtke tabeli A ülemisest reast esimene element ja korrutage see järjestikku esimese rea elementidegatabelist B. Järgmiseks võtke tabeli A esimese rea teine element ja korrutage see järjestikku tabeli B esimese rea elementidega. Teise rea täitmiseks võtke uuesti tabeli A esimese rea esimene element ja korrutage see tabeli B teise rea elementidega.
Otsekorrutise abil saadud lõplikku maatriksit nimetatakse plokkmaatriksiks. Kui analüüsime joonist uuesti, näeme, et meie tulemus koosneb 4 plokist. Kõik need sisaldavad maatriksi B elemente. Lisaks korrutatakse iga ploki element maatriksi A konkreetse elemendiga. Esimeses plokis korrutatakse kõik elemendid a11, teine - a12, kolmandas - a21, neljandas - a22.
Toote määraja
Maatriksikorrutamise teemat käsitledes tasub arvestada sellise terminiga nagu “maatriksite korrutise determinant”. Mis on determinant? See on ruutmaatriksi oluline omadus, teatud väärtus, mis sellele maatriksile omistatakse. Determinandi sõnasõnaline tähis on det.
Kahest veerust ja kahest reast koosneva maatriksi A puhul on determinanti lihtne leida. On väike valem, mis eristab konkreetsete elementide korrutiste vahel:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Vaatleme teist järku tabeli determinandi arvutamise näidet. On maatriks A, milles a11=2, a12=3, a21=5 ja a22=1. Determinandi arvutamiseks kasutage valemit:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2–15=–13.
3 × 3 maatriksite puhul arvutatakse determinant keerukama valemi abil. See on esitatud allpool maatriksi A jaoks:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Valemi meeldejätmiseks mõtlesime välja kolmnurga reegli, mis on kujutatud pildil. Esiteks korrutatakse põhidiagonaali elemendid. Saadud väärtusele lisatakse nende elementide korrutised, mida tähistavad punaste külgedega kolmnurkade nurgad. Järgmisena lahutatakse sekundaarse diagonaali elementide korrutis ja nende elementide korrutised, mida tähistavad sinise küljega kolmnurga nurgad.
Räägime nüüd maatriksite korrutise determinandist. On olemas teoreem, mis ütleb, et see näitaja on võrdne kordajatabelite determinantide korrutisega. Kontrollime seda näitega. Meil on maatriks A kirjetega a11=2, a12=3, a21=1 ja a22=1 ja maatriks B kirjetega b11=4, b12=5, b 21 =1 ja b22=2. Leidke maatriksite A ja B determinandid, korrutis A × B ja selle korrutise determinant.
Otsuse edenemine.
Esimene samm. Arvutage A determinant: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Järgmisena arvutage B determinant: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Teine samm. Otsime üleskorrutis A × B. Tähistage uut maatriksit tähega C. Arvutage selle elemendid:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Kolmas samm. Arvutage C determinant: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Võrrelge väärtusega, mille võiks saada algmaatriksite determinantide korrutamisel. Numbrid on samad. Ül altoodud teoreem on tõene.
Tooteasetus
Maatriksi järjestus on tunnus, mis peegeldab lineaarselt sõltumatute ridade või veergude maksimaalset arvu. Auastme arvutamiseks tehakse maatriksi elementaarsed teisendused:
- kahe paralleelse rea ümberpaigutamine;
- teatud tabeli rea kõigi elementide korrutamine nullist erineva arvuga;
- ühe rea elementide lisamine teisest reast, korrutatuna kindla arvuga.
Pärast elementaarseid teisendusi vaadake nullist erinevate stringide arvu. Nende arv on maatriksi auaste. Mõelge eelmisele näitele. See esitas 2 maatriksit: A elementidega a11=2, a12=3, a21=1 ja a22 =1 ja B elementidega b11=4, b12=5, b21=1 ja b22=2. Kasutame ka korrutamise tulemusel saadud maatriksit C. Kui teostame elementaarteisendusi, siis lihtsustatud maatriksites nullridu ei ole. See tähendab, et nii tabeli A, kui ka tabeli B auaste ja auastetabel C on 2.
Nüüd pöörame erilist tähelepanu maatriksite korrutisele. On olemas teoreem, mis ütleb, et arvelemente sisaldavate tabelite korrutis ei ületa ühegi teguri auastet. Seda saab tõestada. Olgu A maatriks k × s ja B maatriks s × m. A ja B korrutis on võrdne C.
Uurime ül altoodud pilti. See näitab maatriksi C esimest veergu ja selle lihtsustatud tähistust. See veerg on lineaarne kombinatsioon maatriksis A sisalduvatest veergudest. Samamoodi võib öelda mis tahes teise veeru kohta ristkülikukujulisest massiivist C. Seega on tabeli C veeruvektoritest moodustatud alamruum alamruumis, mille moodustab tabeli A veeruvektorid. Seetõttu ei ületa alamruumi nr 1 mõõde alamruumi nr 2 dimensiooni. See tähendab, et järjestus tabeli C veergudes ei ületa tabeli A veergude järjestust, st r(C) ≦ r(A). Kui argumenteerida sarnasel viisil, siis saame veenduda, et maatriksi C read on maatriksi B ridade lineaarsed kombinatsioonid. See tähendab ebavõrdsust r(C) ≦ r(B).
Maatriksite korrutise leidmine on üsna keeruline teema. Seda saab hõlpsasti omandada, kuid sellise tulemuse saavutamiseks peate kulutama palju aega kõigi olemasolevate reeglite ja teoreemide päheõppimisele.
