Horisondi suhtes nurga all paisatud keha: trajektooride tüübid, valemid

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Igaüks meist viskas kive taevasse ja jälgis nende kukkumise trajektoori. See on kõige levinum näide jäiga keha liikumisest meie planeedi gravitatsioonijõudude väljas. Selles artiklis käsitleme valemeid, mis võivad olla kasulikud nurga all silmapiirile paisatud keha vaba liikumise probleemide lahendamisel.

Horisondi poole nurga all liikumise kontseptsioon

Kui mõnele tahkele objektile antakse algkiirus ja see hakkab tõusma kõrgust ja seejärel uuesti maapinnale kukkuma, on üldiselt aktsepteeritud, et keha liigub mööda paraboolset trajektoori. Tegelikult näitab seda tüüpi liikumise võrrandite lahendus, et keha poolt õhus kirjeldatud joon on osa ellipsist. Praktiliseks kasutamiseks osutub paraboolne lähendamine aga üsna mugavaks ja annab täpse tulemuse.

Horisondi suhtes nurga all paisatud keha liikumise näideteks on mürsu tulistamine kahuri koonust, palli löömine ja isegi veepinnale hüppavad kivikesed ("kärnkonnad"), mis on käeshoitavrahvusvahelised võistlused.

Nurga all liikumise tüüpi uuritakse ballistika abil.

Vaatatava liikumistüübi omadused

Kui arvestada keha trajektoori Maa gravitatsioonijõudude väljas, on järgmised väited tõesed:

• algkõrguse, kiiruse ja nurga teadmine horisondi suhtes võimaldab arvutada kogu trajektoori;
• lahkumisnurk on võrdne keha langemisnurgaga, eeldusel, et algkõrgus on null;
• vertikaalset liikumist võib vaadelda horisontaalsest liikumisest sõltumatult;

Pange tähele, et need omadused kehtivad, kui hõõrdejõud keha lennu ajal on tühine. Ballistikas võetakse mürskude lennu uurimisel arvesse palju erinevaid tegureid, sealhulgas hõõrdumist.

Paraboolse liikumise tüübid

Sõltuv alt kõrgusest, millest liikumine algab, millisel kõrgusel see lõpeb ja kuidas algkiirus on suunatud, eristatakse järgmisi paraboolse liikumise liike:

• Täielik parabool. Sel juhul visatakse keha maapinn alt maha ja see kukub sellele pinnale, kirjeldades täielikku parabooli.
• Pool paraboolist. Sellist keha liikumise graafikut vaadeldakse, kui see visatakse teatud kõrguselt h, suunates kiiruse v paralleelselt horisondiga, see tähendab nurga θ=0^o.
• Parabooli osa. Sellised trajektoorid tekivad siis, kui keha visatakse mingi nurga all θ≠0^o ja erinevusalguse ja lõpu kõrgused on samuti nullist erinevad (h-h₀≠0). Enamik objekti liikumise trajektoore on seda tüüpi. Näiteks lask mäe otsas seisvast kahurist või korvpallur, kes viskab palli korvi.

Täisparaboolile vastava keha liikumise graafik on näidatud ülal.

Arvutamiseks nõutavad valemid

Anname valemid horisondi suhtes nurga all paisatud keha liikumise kirjeldamiseks. Jättes tähelepanuta hõõrdejõu ja võttes arvesse ainult gravitatsioonijõudu, saame objekti kiiruse kohta kirjutada kaks võrrandit:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Kuna gravitatsioon on suunatud vertikaalselt alla, ei muuda see kiiruse horisontaalset komponenti v_x, seega ei ole esimeses võrrandis ajasõltuvust. Komponenti v_y mõjutab omakorda gravitatsioon, mis annab g-le maapinna poole suunatud kehale kiirenduse (sellest ka valemis miinusmärk).

Nüüd kirjutame valemid horisondi suhtes nurga all paisatud keha koordinaatide muutmiseks:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Alguskoordinaat x₀sageli eeldatakse, et see on null. Koordinaat y₀ pole midagi muud kui kõrgus h, millest keha visatakse (y₀=h).

Nüüd väljendame aja t esimesest avaldisest ja asendame selle teisega, saame:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

See avaldis geomeetrias vastab paraboolile, mille harud on suunatud allapoole.

Ül altoodud võrrandid on piisavad seda tüüpi liikumise tunnuste määramiseks. Seega viib nende lahendus selleni, et maksimaalne lennuulatus saavutatakse, kui θ=45^o, samas kui maksimaalne kõrgus, milleni visatud keha tõuseb, saavutatakse siis, kui θ=90o.