Tasapindade paralleelsuse ja perpendikulaarsuse määramiseks, samuti nende geomeetriliste objektide vahekauguste arvutamiseks on mugav kasutada üht või teist tüüpi arvfunktsioone. Milliste ülesannete puhul on mugav kasutada tasandi võrrandit segmentides? Selles artiklis vaatleme, mis see on ja kuidas seda praktilistes ülesannetes kasutada.
Mis on võrrand sirglõikudes?
Tasapinda saab 3D-ruumis määratleda mitmel viisil. Selles artiklis käsitletakse mõnda neist erinevat tüüpi probleemide lahendamisel. Siin anname võrrandi üksikasjaliku kirjelduse tasapinna segmentides. Tavaliselt on sellel järgmine vorm:
x/p + y/q + z/r=1.
Kus sümbolid p, q, r tähistavad teatud numbreid. Seda võrrandit saab hõlpsasti tõlkida üldavaldisteks ja muudeks tasandi numbriliste funktsioonide vormideks.
Võrrandi lõikudes kirjutamise mugavus seisneb selles, et see sisaldab tasapinna ja risti koordinaattelgede lõikepunkti selgeid koordinaate. X-teljellähtepunkti suhtes lõikab tasapind ära lõigu pikkusega p, y-teljel - võrdub q-ga, z-l - pikkusega r.
Kui võrrandis ei sisaldu ühtki kolmest muutujast, siis see tähendab, et tasapind ei läbi vastavat telge (matemaatikute sõnul ristub see lõpmatuses).
Järgmiseks on siin mõned probleemid, milles näitame, kuidas selle võrrandiga töötada.
Üldiste ja võrrandite segmentide edastamine
On teada, et tasapind on antud järgmise võrrandiga:
2x - 3y + z - 6=0.
See tasandi üldvõrrand on vaja segmentide kaupa üles kirjutada.
Sarnase probleemi ilmnemisel peate järgima seda tehnikat: me kanname vaba termini võrdsuse paremale poolele. Seejärel jagame kogu võrrandi selle liikmega, püüdes seda väljendada eelmises lõigus antud kujul. Meil on:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 – 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Oleme lõikudes saanud tasandi võrrandi, mis on antud esialgu üldkujul. On märgata, et tasapind lõikab vastav alt x-, y- ja z-telgede lõiked pikkusega 3, 2 ja 6. Y-telg lõikub tasapinnaga negatiivses koordinaatide piirkonnas.
Segmentides võrrandi koostamisel on oluline, et kõikidele muutujatele eelneks "+" märk. Ainult sel juhul näitab arv, millega see muutuja jagatakse, koordinaatide telje lõikes.
Normaalvektor ja punkt tasapinnal
On teada, et mõnel tasapinnal on suunavektor (3; 0; -1). Samuti on teada, et see läbib punkti (1; 1; 1). Kirjutage selle tasapinna jaoks võrrand segmentidena.
Selle probleemi lahendamiseks peaksite esm alt kasutama selle kahemõõtmelise geomeetrilise objekti üldkuju. Üldvorm on kirjutatud järgmiselt:
Ax + By + Cz + D=0.
Esimesed kolm koefitsienti siin on juhtvektori koordinaadid, mis on määratud ülesande avalduses, see tähendab:
A=3;
B=0;
C=-1.
Jääb üle leida vaba termin D. Selle saab määrata järgmise valemiga:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Kus koordinaatide väärtused indeksiga 1 vastavad tasapinnale kuuluva punkti koordinaatidele. Asendame nende väärtused probleemi olukorrast, saame:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Nüüd saate kirjutada täisvõrrandi:
3x - z - 2=0.
Selle avaldise teisendamiseks võrrandiks tasapinna segmentides on juba eespool näidatud. Rakenda see:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Vastus probleemile on saadud. Pange tähele, et see tasapind lõikub ainult x- ja z-telgedega. y puhul on see paralleelne.
Kaks sirget, mis määratlevad tasapinna
Ruumigeomeetria kursuse põhjal teab iga õpilane, et kaks suvalist joont määravad unikaalselt tasapinnakolmemõõtmeline ruum. Lahendame sarnase ülesande.
Teada on kaks sirge võrrandit:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Tasapinna võrrand on vaja üles kirjutada lõikude kaupa, läbides neid sirgeid.
Kuna mõlemad sirged peavad asuma tasapinnal, tähendab see, et nende vektorid (juhikud) peavad olema tasandi vektoriga (juhikuga) risti. Samal ajal on teada, et suvalise kahe suunatud segmendi vektorkorrutis annab tulemuse kolmanda koordinaatide kujul, mis on risti kahe algse lõiguga. Arvestades seda omadust, saame soovitud tasapinnaga normaalse vektori koordinaadid:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Kuna seda saab korrutada suvalise arvuga, moodustab see uue, esialgsega paralleelse suunatud lõigu, saame saadud koordinaatide märgi asendada vastupidisega (korrutada -1-ga), saame:
(1; 2; 1).
Me teame suunavektorit. Jääb üle võtta ühe sirgjoone suvaline punkt ja koostada tasapinna üldvõrrand:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Tõlgides selle võrdsuse segmentides avaldisesse, saame:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Seega lõikub tasapind kõik kolm telge koordinaatsüsteemi positiivses piirkonnas.
Kolm punkti ja lennuk
Täpselt nagu kaks sirget, määratlevad kolm punkti tasandit kolmemõõtmelises ruumis ainulaadselt. Vastava võrrandi kirjutame segmentideks, kui on teada järgmised tasapinnal asuvate punktide koordinaadid:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Teeme järgmiselt: arvutame neid punkte ühendava kahe suvalise vektori koordinaadid, seejärel leiame tasandiga normaalse vektori n¯, arvutades leitud suunatud segmentide korrutise. Saame:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Võtke näiteks punkt P, koostage tasandi võrrand:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 või z=0.
Saime lihtsa avaldise, mis vastab xy tasapinnale antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Seda ei saa kirjutada segmentideks, kuna x- ja y-teljed kuuluvad tasapinnale ning z-teljel äralõigatud lõigu pikkus on null (punkt (0; 0; 0) kuulub tasapinnale).
