Tihti tuleb füüsikas lahendada ülesandeid tasakaalu arvutamiseks keerulistes süsteemides, millel on palju mõjuvaid jõude, hoobasid ja pöörlemistelge. Sel juhul on kõige lihtsam kasutada jõumomendi mõistet. See artikkel sisaldab kõiki vajalikke valemeid koos üksikasjalike selgitustega, mida tuleks kasutada nimetatud tüüpi probleemide lahendamiseks.
Millest me räägime?
Tõenäoliselt märkasid paljud, et kui teatud punktis fikseeritud objektile mis tahes jõuga mõjuda, hakkab see pöörlema. Ilmekas näide on uks majja või tuppa. Kui võtate selle käepidemest kinni ja lükkate (rakendada jõudu), hakkab see avanema (keerake hinged sisse). See protsess on igapäevaelus füüsilise suuruse toime avaldumine, mida nimetatakse jõumomendiks.
Kirjeldatud näitest koos uksega järeldub, et kõnealune väärtus näitab jõu võimet pöörata, mis on selle füüsiline tähendus. Ka see väärtusnimetatakse väändemomendiks.
Jõumomendi määramine
Enne vaadeldava koguse määratlemist teeme lihtsa pildi.
Niisiis on joonisel hoob (sinine), mis on kinnitatud teljele (roheline). Selle hoova pikkus on d ja selle otsa rakendub jõud F. Mis saab sel juhul süsteemist? See on õige, ül alt vaadates hakkab kang pöörlema vastupäeva (pange tähele, et kui oma kujutlusvõimet veidi venitada ja kujutada ette, et vaade on suunatud altpoolt kangile, siis see pöörleb päripäeva).
Olgu telje kinnituspunkt O ja jõu rakenduspunkt P. Seejärel võime kirjutada järgmise matemaatilise avaldise:
OP¯ F¯=M¯FO.
Kui OP¯ on vektor, mis on suunatud teljest kangi otsa, nimetatakse seda ka jõuhoovaks, F¯on punktile P rakendatud jõu vektor ja M¯FO on punkti O (telje) suhtes rakendatav jõumoment. See valem on kõnealuse füüsikalise suuruse matemaatiline määratlus.
Hetke suund ja parema käe reegel
Ül altoodud avaldis on ristkorrutis. Teatavasti on selle tulemuseks ka vektor, mis on risti vastavaid kordaja vektoreid läbiva tasapinnaga. See tingimus on täidetud väärtuse M¯FO kahe suunaga (alla ja üles).
Unikaalseksmääramiseks tuleks kasutada nn parema käe reeglit. Selle saab sõnastada järgmiselt: kui painutada oma parema käe neli sõrme poolkaareks ja suunata see poolkaare nii, et see läheb mööda esimest vektorit (esimene tegur valemis) ja läheb selle lõppu. teine, siis ülespoole ulatuv pöial näitab väändemomendi suunda. Pange tähele ka seda, et enne selle reegli kasutamist peate korrutatud vektorid määrama nii, et need väljuksid samast punktist (nende alguspunktid peavad ühtima).
Eelmise lõigu joonise puhul saame parema käe reeglit rakendades öelda, et jõumoment telje suhtes on suunatud ülespoole ehk meie poole.
Peale vektori suuna M¯FO märgistatud meetodi on veel kaks. Siin on need:
- Väändemoment suunatakse nii, et kui vaadata pöörlevat hooba selle vektori otsast, siis viimane liigub vastu kella. Üldtunnustatud on seda hetke suunda pidada positiivseks erinevate probleemide lahendamisel.
- Kui keerate karkassi päripäeva, suunatakse pöördemoment karkassi liikumisele (süvenemisele).
Kõik ül altoodud määratlused on samaväärsed, nii et igaüks saab valida endale sobiva.
Seega leiti, et jõumomendi suund on paralleelne teljega, mille ümber vastav hoob pöörleb.
Nurga jõud
Kaaluge allolevat pilti.
Siin näeme ka punktis fikseeritud kangi pikkusega L (tähistatud noolega). Sellele mõjub jõud F, mis aga on suunatud horisontaalse hoova suhtes teatud nurga Φ (phi) all. Momendi M¯FO suund on sel juhul sama, mis eelmisel joonisel (meil). Selle suuruse absoluutväärtuse või mooduli arvutamiseks peate kasutama ristkorrutise omadust. Tema sõnul saab vaadeldava näite jaoks kirjutada avaldise: MFO=LFsin(180 o -Φ) või siinusomadust kasutades kirjutame ümber:
MFO=LFsin(Φ).
Joonisel on ka valminud täisnurkne kolmnurk, mille külgedeks on kang ise (hüpotenuus), jõu toimejoon (jalg) ja d pikkuse külg (teine jalg). Arvestades, et sin(Φ)=d/L, on see valem järgmine: MFO=dF. On näha, et kaugus d on kaugus kangi kinnituspunktist jõu mõjujooneni, see tähendab, et d on jõu hoob.
Mõlemad selles lõigus käsitletud valemid, mis tulenevad otseselt väändemomendi definitsioonist, on kasulikud praktiliste ülesannete lahendamisel.
Pöördemomendi ühikud
Definitsiooni kasutades saab kindlaks teha, et väärtust MFOtuleks mõõta njuutonites meetri kohta (Nm). Tõepoolest, nende ühikute kujul kasutatakse seda SI-s.
Pange tähele, et Nm on tööühik, mida väljendatakse džaulides, nagu energia. Sellegipoolest ei kasutata jõumomendi mõiste jaoks džaule, kuna see väärtus peegeldab täpselt viimase rakendamise võimalust. Siiski on seos tööühikuga: kui jõu F mõjul pööratakse kang täielikult ümber oma pöördepunkti O, siis on tehtud töö võrdne A=MF O 2pi (2pi on nurk radiaanides, mis vastab 360o). Sel juhul saab pöördemomendi ühikut MFO väljendada džaulides radiaani kohta (J/rad.). Viimast koos Hm-ga kasutatakse ka SI-süsteemis.
Varignoni teoreem
17. sajandi lõpus sõnastas prantsuse matemaatik Pierre Varignon, uurides hoobadega süsteemide tasakaalu, esm alt teoreemi, mis nüüd kannab tema perekonnanime. See on sõnastatud järgmiselt: mitme jõu summaarne moment on võrdne tekkiva ühe jõu momendiga, mis rakendub teatud punktile sama pöörlemistelje suhtes. Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Seda teoreemi on mugav kasutada väändemomentide arvutamiseks mitme mõjuva jõuga süsteemides.
Järgmisena anname näite ül altoodud valemite kasutamisest füüsikaülesannete lahendamiseks.
Mutrivõtme probleem
ÜksIlmekas näide jõumomendi arvestamise olulisuse demonstreerimisest on mutrivõtmega lahtikeeramise protsess. Mutri lahti keeramiseks peate rakendama teatud pöördemomenti. Tuleb välja arvutada, kui suurt jõudu tuleb rakendada punktis A, et alustada mutri lahtikeeramist, kui see jõud punktis B on 300 N (vt allolevat joonist).
Ül altoodud joonisest tuleneb kaks olulist asja: esiteks on kaugus OB kaks korda suurem kui OA; teiseks on jõud FA ja FBsuunatud risti vastava hoovaga, kusjuures pöörlemistelg langeb kokku mutri keskpunktiga (punkt O).
Pöördemomendi saab sel juhul kirjutada skalaarkujul järgmiselt: M=OBFB=OAFA. Kuna OB/OA=2, kehtib see võrdsus ainult siis, kui FA on 2 korda suurem kui FB. Ülesande tingimusest saame, et FA=2300=600 N. See tähendab, et mida pikem on võti, seda lihtsam on mutrit lahti keerata.
Probleem kahe erineva massiga kuuliga
Allpool olev joonis näitab süsteemi, mis on tasakaalus. Vajalik on leida tugipunkti asukoht, kui laua pikkus on 3 meetrit.
Kuna süsteem on tasakaalus, on kõigi jõudude momentide summa võrdne nulliga. Laual mõjub kolm jõudu (kahe palli raskused ja toe reaktsioonijõud). Kuna tugijõud ei tekita pöördemomenti (kangi pikkus on null), tekib kuulide raskusest ainult kaks momenti.
Olgu tasakaalupunkt kaugusel xserv, mis sisaldab 100 kg palli. Siis saame kirjutada võrdsuse: M1-M2=0. Kuna keha mass määratakse valemiga mg, siis on meil: m 1gx - m2g(3-x)=0. Vähendame g ja asendame andmed, saame: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m või 14,3 cm.
Seega, et süsteem oleks tasakaalus, on vaja luua võrdluspunkt 14,3 cm kaugusel servast, kus asub 100 kg kaaluv kuul.
