Ülikooli matemaatika üks raskemaid ja arusaamatumaid teemasid on lõiming ja diferentsiaalarvutus. Peate neid mõisteid teadma ja mõistma, samuti oskama neid rakendada. Paljud ülikooli tehnilised erialad on seotud diferentsiaalide ja integraalidega.
Lühike teave võrrandite kohta
Need võrrandid on haridussüsteemis üks olulisemaid matemaatilisi mõisteid. Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatud muutujad, leitava funktsiooni ja selle funktsiooni tuletised muutujatega, mida peetakse sõltumatuks. Diferentsiaalarvutust ühe muutuja funktsiooni leidmiseks nimetatakse tavaliseks. Kui soovitud funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis räägitakse osadiferentsiaalvõrrandist.
Tegelikult taandub võrrandile kindla vastuse leidmine integreerimisele ja lahendusmeetodi määrab võrrandi tüüp.
Esimest järku võrrandid
Esimest järku diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis suudab kirjeldada muutujat, soovitud funktsiooni ja selle esimest tuletist. Selliseid võrrandeid saab esitada kolmel kujul: eksplitsiitne, kaudne, diferentsiaalne.
Lahendamiseks vajalikud kontseptsioonid
Algtingimus – soovitud funktsiooni väärtuse määramine muutuja antud väärtuse jaoks, mis on sõltumatu.
Diferentsiaalvõrrandi lahendus – mis tahes diferentseeruv funktsioon, mis on täpselt asendatud algsesse võrrandisse, muudab selle identselt võrdseks. Saadud lahendus, mis ei ole selgesõnaline, on võrrandi integraal.
Diferentsiaalvõrrandite üldlahendus on funktsioon y=y(x;C), mis vastab järgmistele otsustele:
- Funktsioonil võib olla ainult üks suvaline konstant С.
- Saadud funktsioon peab olema suvalise konstandi suvaliste väärtuste võrrandi lahendus.
- Antud algtingimuse korral saab suvalise konstandi defineerida kordumatul viisil, nii et tulemuseks olev konkreetne lahendus on kooskõlas antud varase algtingimusega.
Praktikas kasutatakse sageli Cauchy ülesannet – lahenduse leidmine, mis on konkreetne ja mida saab võrrelda alguses seatud tingimusega.
Cauchy teoreem on teoreem, mis rõhutab konkreetse lahenduse olemasolu ja kordumatust diferentsiaalarvutuses.
Geomeetriline tunnetus:
- Üldlahend y=y(x;C)võrrand on integraalkõverate koguarv.
- Diferentsiaalarvutus võimaldab ühendada XOY tasapinna punkti koordinaadid ja integraalikõvera puutuja.
- Algtingimuse määramine tähendab punkti seadmist tasapinnale.
- Cauchy ülesande lahendamiseks tähendab see, et kogu integraalkõverate hulgast, mis esindavad sama võrrandi lahendust, tuleb valida ainus, mis läbib ainuvõimalikku punkti.
- Cauchy teoreemi tingimuste täitmine punktis tähendab, et integraalkõver (pealegi ainult üks) läbib tasandi valitud punkti tingimata.
Separeeritav muutujavõrrand
Definitsiooni järgi on diferentsiaalvõrrand võrrand, mille parem pool kirjeldab või kajastub kahe funktsiooni korrutisena (mõnikord suhtena), millest üks sõltub ainult "x-st" ja teine - ainult "y-st" ". Selge näide seda tüüpi kohta: y'=f1(x)f2(y).
Kindla kujuga võrrandite lahendamiseks peate esm alt teisendama tuletise y'=dy/dx. Seejärel peate võrrandiga manipuleerides viima selle vormile, kus saate võrrandi kaks osa integreerida. Pärast vajalikke teisendusi integreerime mõlemad osad ja lihtsustame tulemust.
Homogeensed võrrandid
Definitsiooni järgi võib diferentsiaalvõrrandit nimetada homogeenseks, kui sellel on järgmine kuju: y'=g(y/x).
Sel juhul kasutatakse kõige sagedamini asendust y/x=t(x).
Selliste võrrandite lahendamiseks on vaja taandada homogeenne võrrand eraldatavate muutujatega vormiks. Selleks peate tegema järgmised toimingud:
- Kuva, mis väljendab algfunktsiooni tuletist mis tahes algfunktsioonist uue võrrandina.
- Järgmine samm on teisendada saadud funktsioon kujule f(x;y)=g(y/x). Lihtsamate sõnadega tehke võrrand, mis sisaldab ainult suhet y/x ja konstante.
- Tehke järgmine asendus: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Tehtud asendus aitab jagada muutujaid võrrandis, viies selle järk-järgult lihtsamale kujule.
Lineaarvõrrandid
Selliste võrrandite definitsioon on järgmine: lineaarne diferentsiaalvõrrand on võrrand, kus selle parem pool on väljendatud lineaaravaldisena algfunktsiooni suhtes. Soovitud funktsioon sel juhul: y'=a(x)y + b(x).
Sõnastame definitsiooni ümber järgmiselt: iga 1. järku võrrand muutub oma kujul lineaarseks, kui algfunktsioon ja selle tuletis sisalduvad esimese astme võrrandis ja neid ei korruta omavahel. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi "klassikaline vorm" on järgmise struktuuriga: y' + P(x)y=Q(x).
Enne sellise võrrandi lahendamist tuleks see teisendada "klassikaliseks vormiks". Järgmine samm on lahendusmeetodi valik: Bernoulli meetod või Lagrange'i meetod.
Võrrandi lahendamineBernoulli juurutatud meetodit kasutades eeldab lineaarse diferentsiaalvõrrandi asendamine ja taandamine kahe võrrandiga, millel on erinevad muutujad funktsioonide U(x) ja V(x) suhtes, mis on antud nende algsel kujul.
Lagrange'i meetod on algsele võrrandile üldise lahenduse leidmine.
- Homogeensele võrrandile on vaja leida sama lahend. Pärast otsimist on meil funktsioon y=y(x, C), kus C on suvaline konstant.
- Otsime algse võrrandi lahendust samal kujul, kuid arvestame C=C(x). Asendame funktsiooni y=y(x, C(x)) algse võrrandiga, leiame funktsiooni C(x) ja kirjutame üles üldise algvõrrandi lahendi.
Bernoulli võrrand
Bernoulli võrrand – kui arvutuse parem pool on kujul f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, kus k on mis tahes võimalik ratsionaalne arvväärtus, mida ei võeta näited, kui k=0 ja k=1.
Kui k=1, muutub arvutus eraldatavaks ja kui k=0, jääb võrrand lineaarseks.
Vaatleme seda tüüpi võrrandite lahendamise üldist juhtumit. Meil on standardne Bernoulli võrrand. See tuleb taandada lineaarseks, selleks peate võrrandi jagama yk-ga. Pärast seda toimingut asendage z(x)=y1-k. Pärast mitmeid teisendusi taandatakse võrrand lineaarseks, kõige sagedamini asendusmeetodil z=UV.
Võrrandid kogudiferentsiaalides
Definitsioon. Võrrandit struktuuriga P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 nimetatakse täisvõrrandiksdiferentsiaalid, kui on täidetud järgmine tingimus (selles tingimuses on "d" osaline diferentsiaal): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Kõiki varem vaadeldud esimest järku diferentsiaalvõrrandeid saab kuvada diferentsiaalidena.
Selliseid arvutusi lahendatakse mitmel viisil. Kuid need kõik algavad seisukorra kontrollist. Kui tingimus on täidetud, on võrrandi vasakpoolseim piirkond veel tundmatu funktsiooni U(x;y) kogudiferentsiaal. Seejärel võrdub dU (x; y) vastav alt võrrandile nulliga ja seetõttu kuvatakse võrrandi sama integraal diferentsiaalides kujul U (x; y) u003d C. Seetõttu võrrandi lahendus taandatakse funktsiooni U (x; y) leidmiseks.
Integreerimisfaktor
Kui tingimus dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx ei ole võrrandis täidetud, siis ei ole võrrandil ülalpool käsitletud kuju. Kuid mõnikord on võimalik valida mõni funktsioon M(x;y), mille korrutamisel võrrand omandab võrrandi kujul täielikud "diffuurid". Funktsiooni M (x;y) nimetatakse integreerivaks teguriks.
Integraatorit saab leida ainult siis, kui sellest saab ainult ühe muutuja funktsioon.
