Maatriksi determinandi leidmine on oluline tegevus mitte ainult lineaaralgebra jaoks: näiteks majandusteaduses lahendatakse selle arvutuse abil paljude tundmatutega lineaarvõrrandisüsteeme, mida kasutatakse laialdaselt majandusprobleemides..
Determinantne mõiste
Maatriksi determinant või determinant on väärtus, mis võrdub rööptahuka ruumalaga, mis on ehitatud selle rea- või veeruvektoritele. Seda väärtust saab arvutada ainult ruutmaatriksi jaoks, millel on sama arv ridu ja veerge. Kui maatriksi liikmed on arvud, on ka determinandiks arv.
Determinantide arvutamine
Tuleb meeles pidada, et on mitmeid reegleid, mis võivad selliseid arvutusi oluliselt hõlbustada.
Seega on ühest liikmest koosneva maatriksi determinant võrdne selle ainsa elemendiga. Teist järku determinandi arvutamine pole keeruline, selleks piisab, kui lahutada põhidiagonaali liikmete korrutisest sekundaardiagonaalil paiknevate elementide korrutis.
Kõige lihtsam on 3. järku determinandi arvutadakolmnurga reegli järgi. Selleks tehke järgmised toimingud:
- Leidke maatriksi kolme põhiliikme korrutis
- Korrutage kolme liikmega, mis asuvad kolmnurkadel, mille alused on paralleelsed põhidiagonaaliga.
- Korrake esimest ja teist toimingut teisese diagonaali jaoks.
- Leia kõigi eelmistes arvutustes saadud väärtuste summa, samas kui kolmandas lõigus saadud arvud võetakse miinusmärgiga.
diagonaalid.
Neljandat järku maatriksi determinandi ja ka kõrgemate mõõtmete hõlpsaks leidmiseks on vaja arvestada kõigi determinantide omadustega:
- Determinandi väärtus ei muutu pärast maatriksi transponeerimist.
- Kahe kõrvuti asetseva rea või veeru asukoha muutmine toob kaasa determinandi märgi muutumise.
- Kui maatriksil on kaks võrdset rida või veergu või kõik veeru (rea) elemendid on nullid, on selle determinant võrdne nulliga.
- Maatriksi arvude korrutamine mis tahes arvuga toob kaasa selle determinandi suurenemise sama palju kordi.
Ül altoodud omaduste kasutamine aitab hõlpsasti leida mis tahes järjestusega maatriksi determinandi. Näiteks kasutades selleks järjestuse vähendamise meetodit, mille puhul determinanti laiendatakse rea (veeru) elementide võrra, mis on korrutatud algebralise täiendusega.
Veel üks viis, mis muudab determinandi leidmise palju lihtsamaks
maatriks on viia see kolmnurksesse vormi, kui kõik põhidiagonaali all olevad elemendid on võrdsed nulliga. Sel juhul arvutatakse maatriksdeterminant sellel diagonaalil asuvate arvude korrutisena.
Ja lõpuks tahaksin märkida, et determinantide arvutamine, kuigi see koosneb näiliselt lihtsatest matemaatilistest arvutustest, nõuab siiski märkimisväärset hoolt ja visadust.
