Sageli tuleb loodusnähtusi, erinevate ainete keemilisi ja füüsikalisi omadusi uurides, aga ka keeruliste tehniliste probleemide lahendamisel tegeleda protsessidega, mille iseloomulikuks tunnuseks on perioodilisus ehk kalduvus korduda teatud aja möödudes. ajaperiood. Sellise teaduse tsüklilisuse kirjeldamiseks ja graafiliseks kujutamiseks on funktsiooni eritüüp – perioodiline funktsioon.
Kõige lihtsam ja arusaadavam näide on meie planeedi revolutsioon ümber Päikese, mille käigus nendevaheline kaugus, mis pidev alt muutub, allub aastatsüklitele. Samamoodi naaseb turbiini laba oma kohale, olles teinud täispöörde. Kõiki selliseid protsesse saab kirjeldada sellise matemaatilise suuruse kui perioodilise funktsiooniga. Üldiselt on kogu meie maailm tsükliline. See tähendab, et perioodilisel funktsioonil on oluline koht ka inimese koordinaatsüsteemis.
Matemaatika vajadus arvuteooria, topoloogia, diferentsiaalvõrrandite ja täpsete geomeetriliste arvutuste järele tõi üheksateistkümnendal sajandil esile uue ebatavaliste omadustega funktsioonide kategooria. Need muutusid perioodilisteks funktsioonideks, mis võtavad keeruliste teisenduste tulemusena teatud punktides identsed väärtused. Nüüd kasutatakse neid paljudes matemaatika ja muude teaduste harudes. Näiteks lainefüüsika erinevate võnkeefektide uurimisel.
Erinevad matemaatikaõpikud annavad perioodilise funktsiooni erinevaid määratlusi. Kuid olenemata nendest sõnastuste lahknevustest on need kõik samaväärsed, kuna kirjeldavad funktsiooni samu omadusi. Kõige lihtsam ja arusaadavam võib olla järgmine määratlus. Funktsioone, mille arvnäitajad ei muutu, kui nende argumendile lisada teatud arv, mis ei ole null, funktsiooni nn periood, mida tähistatakse tähega T, nimetatakse perioodilisteks. Mida see kõik praktikas tähendab?
Näiteks lihtne funktsioon kujul: y=f(x) muutub perioodiliseks, kui X-il on teatud perioodi väärtus (T). Sellest definitsioonist järeldub, et kui perioodiga (T) funktsiooni arvväärtus on määratud ühes punktidest (x), siis saab selle väärtus teada ka punktides x + T, x - T. Oluline punkt siin on see, et kui T võrdub nulliga, muutub funktsioon identiteediks. Perioodilisel funktsioonil võib olla lõpmatu arv erinevaid perioode. ATEnamikul juhtudel on T positiivsete väärtuste hulgas väikseima numbrilise näitajaga periood. Seda nimetatakse põhiperioodiks. Ja kõik teised T väärtused on alati selle kordsed. See on veel üks huvitav ja väga oluline omadus erinevate teadusvaldkondade jaoks.
Perioodilise funktsiooni graafikul on samuti mitu funktsiooni. Näiteks kui T on avaldise põhiperiood: y \u003d f (x), siis selle funktsiooni joonistamisel piisab, kui joonistada haru ühele perioodi pikkuse intervallile ja seejärel liigutada seda mööda x-telg järgmistele väärtustele: ±T, ±2T, ±3T ja nii edasi. Kokkuvõtteks tuleb märkida, et mitte igal perioodilisel funktsioonil pole põhiperioodi. Selle klassikaline näide on järgmine saksa matemaatiku Dirichlet' funktsioon: y=d(x).
