Pinge "Fermat' teoreem – lühike tõestus" populaarsuse järgi otsustades pakub see matemaatiline probleem tõesti paljudele huvi. Selle teoreemi sõnastas esmakordselt Pierre de Fermat 1637. aastal Aritmeetika koopia serval, kus ta väitis, et tal on lahendus, mis on liiga suur, et servale ära mahtuda.
Esimene edukas tõestus avaldati 1995. aastal – see oli Andrew Wilesi Fermat' teoreemi täielik tõestus. Seda on kirjeldatud kui "hämmastavat edu" ja Wiles sai 2016. aastal Abeli auhinna. Kuigi seda kirjeldati suhteliselt lühid alt, tõestas Fermat' teoreemi tõestus ka suurt osa modulaarsuse teoreemist ja avas uusi lähenemisviise paljudele teistele probleemidele ja tõhusaid meetodeid modulaarsuse tõstmiseks. Need saavutused on matemaatikat edasi viinud 100 aastat tulevikku. Fermat' väikese teoreemi tõestus täna ei oleon midagi ebatavalist.
Lahendamata probleem ergutas 19. sajandil algebralise arvuteooria arengut ja 20. sajandil modulaarsusteoreemi tõestuse otsimist. See on üks tähelepanuväärsemaid teoreeme matemaatika ajaloos ja kuni Fermat' viimase teoreemi täieliku jaotustõestamiseni oli see Guinnessi rekordite raamatus kui "kõige raskem matemaatiline probleem", mille üheks tunnuseks on see, et sellel on kõige rohkem ebaõnnestunud tõestusi.
Ajalooline taust
Püthagorase võrrandil x2 + y2=z2 on lõpmatu arv positiivseid x, y ja z täisarvulised lahendid. Neid lahendusi tuntakse Pythagorase kolmainsusena. 1637. aasta paiku kirjutas Fermat raamatu servale, et üldisemal võrrandil a + b =cpuudub naturaalarvude lahendid, kui n on täisarv, mis on suurem kui 2. Kuigi Fermat ise väitis, et tal on oma ülesandele lahendus, ei jätnud ta selle tõestuse kohta üksikasju. Fermat' teoreemi elementaarne tõestus, mida selle looja väitis, oli pigem tema uhke väljamõeldis. Suure prantsuse matemaatiku raamat avastati 30 aastat pärast tema surma. See võrrand, mida nimetatakse Fermat' viimaseks teoreemiks, jäi matemaatikas lahendamata kolm ja pool sajandit.
Teoreemist sai lõpuks üks tähelepanuväärsemaid lahendamata probleeme matemaatikas. Katsed seda tõestada põhjustasid arvuteooria märkimisväärse arengu ja koos lõigugaaja jooksul sai Fermat' viimane teoreem tuntuks kui matemaatika lahendamata probleem.
Lühike tõendite ajalugu
Kui n=4, nagu on tõestanud Fermat ise, siis piisab algarvudeks olevate indeksite n teoreemi tõestamiseks. Järgmise kahe sajandi jooksul (1637–1839) tõestati oletus ainult algarvude 3, 5 ja 7 puhul, kuigi Sophie Germain uuendas ja tõestas lähenemisviisi, mis kehtis kogu algarvude klassi kohta. 19. sajandi keskel laiendas Ernst Kummer seda ja tõestas teoreemi kõigi regulaarsete algarvude jaoks, mille kohaselt analüüsiti ebaregulaarseid algarvusid eraldi. Tuginedes Kummeri tööle ja kasutades keerulisi arvutiuuringuid, suutsid teised matemaatikud teoreemi lahendust laiendada, eesmärgiga hõlmata kõiki põhieksponente kuni nelja miljonini, kuid tõestus kõigi eksponentide kohta ei olnud endiselt kättesaadav (see tähendab, et matemaatikud tavaliselt peetakse teoreemi lahendamist praeguste teadmistega võimatuks, üliraskeks või kättesaamatuks).
Shimura ja Taniyama töö
Aastal 1955 kahtlustasid Jaapani matemaatikud Goro Shimura ja Yutaka Taniyama, et elliptiliste kõverate ja modulaarsete vormide, kahe väga erineva matemaatikaharu vahel on seos. Sel ajal tuntud Taniyama-Shimura-Weyli oletusena ja (lõppkokkuvõttes) modulaarsuse teoreemina, eksisteeris see iseseisv alt, ilma nähtava seoseta Fermat' viimase teoreemiga. Seda peeti laialdaselt oluliseks matemaatiliseks teoreemiks, kuid seda peeti (nagu Fermat' teoreemi) võimatuks tõestada. Selle juuresSamal ajal viidi Fermat' viimase teoreemi tõestamine (jagades ja rakendades keerulisi matemaatilisi valemeid) alles pool sajandit hiljem.
Aastal 1984 märkas Gerhard Frey ilmset seost nende kahe varem mitteseotud ja lahendamata probleemi vahel. Täieliku kinnituse, et need kaks teoreemi olid tihed alt seotud, avaldas 1986. aastal Ken Ribet, kes tugines Jean-Pierre Serra osalisele tõestusele, kes tõestas kõik peale ühe osa, mida tuntakse "epsiloni hüpoteesina". Lihtsam alt öeldes näitasid need Frey, Serra ja Ribe tööd, et kui modulaarsuse teoreemi suudetakse tõestada, vähem alt poolitatava elliptiliste kõverate klassi puhul, siis varem või hiljem leitakse ka Fermat' viimase teoreemi tõestus. Iga lahendust, mis võib olla vastuolus Fermat' viimase teoreemiga, saab kasutada ka modulaarsusteoreemi vasturääkimiseks. Seega, kui modulaarsuse teoreem osutus tõeseks, siis definitsiooni järgi ei saa olla lahendust, mis oleks vastuolus Fermat' viimase teoreemiga, mis tähendab, et see oleks tulnud varsti tõestada.
Kuigi mõlemad teoreemid olid matemaatikas rasked ülesanded, mida peeti lahendamatuks, oli kahe jaapanlase töö esimene soovitus, kuidas Fermat' viimast teoreemi saaks laiendada ja tõestada kõigi arvude, mitte ainult mõne arvu jaoks. Uurimisteema valinud teadlaste jaoks oli oluline asjaolu, et erinev alt Fermat' viimasest teoreemist oli modulaarsuse teoreem peamine aktiivne uurimisvaldkond, mille jaoksarendati tõendeid, mitte ainult ajaloolist veidrust, nii et tema tööle kulutatud aeg võiks olla professionaalsest seisukohast õigustatud. Üldine konsensus oli aga selles, et Taniyama-Shimura oletuse lahendamine osutus sobimatuks.
Farmi viimane teoreem: Wilesi tõestus
Saanud teada, et Ribet oli tõestanud Frey teooria õigsust, otsustas inglise matemaatik Andrew Wiles, kes on lapsepõlvest peale Fermat' viimase teoreemi vastu huvi tundnud ning kellel on kogemusi elliptiliste kõverate ja külgnevate domeenidega töötamisel, proovida tõestada Taniyama-Shimura. Oletus kui viis Fermat' viimase teoreemi tõestamiseks. 1993. aastal, kuus aastat pärast oma eesmärgi väljakuulutamist, õnnestus Wilesil salaja teoreemi lahendamise probleemiga tegeledes tõestada sellega seotud oletus, mis omakorda aitaks tal tõestada Fermat' viimast teoreemi. Wilesi dokument oli tohutu suuruse ja ulatusega.
Tema algse artikli ühes osas avastati vastastikuse eksperdihinnangu käigus viga ja teoreemi ühiseks lahendamiseks oli vaja veel aasta koostööd Richard Tayloriga. Seetõttu ei lasknud Wilesi viimane tõestus Fermat' viimase teoreemi kohta kaua oodata. 1995. aastal avaldati see palju väiksemas mahus kui Wilesi eelmine matemaatiline töö, näitlikustades, et ta ei eksinud oma varasemates järeldustes teoreemi tõestamise võimaluse kohta. Wilesi saavutusi tutvustati laialdaselt populaarses ajakirjanduses ning populariseeriti raamatutes ja telesaadetes. Taniyama-Shimura-Weili oletuse ülejäänud osad, mis on nüüdseks tõestatud jaTuntud modulaarsuse teoreemina, tõestasid hiljem teised matemaatikud, kes tuginesid Wilesi tööle aastatel 1996–2001. Oma saavutuste eest on Wilesi austatud ja ta on saanud mitmeid auhindu, sealhulgas 2016. aasta Abeli auhinna.
Wilesi tõestus Fermat' viimase teoreemi kohta on elliptiliste kõverate modulaarsuse teoreemi lahendamise erijuht. See on aga nii mastaapse matemaatilise tehte kuulsaim juhtum. Koos Ribe'i teoreemi lahendamisega sai Briti matemaatik ka Fermat' viimase teoreemi tõestuse. Kaasaegsed matemaatikud pidasid Fermat' viimast teoreemi ja modulaarsuse teoreemi peaaegu üldiselt tõestamatuks, kuid Andrew Wiles suutis teadusmaailmale tõestada, et isegi asjatundjad võivad eksida.
Wyles teatas oma avastusest esmakordselt kolmapäeval, 23. juunil 1993 Cambridge'i loengus pealkirjaga "Modulaarsed vormid, elliptilised kõverad ja Galois' esitused". 1993. aasta septembris aga leiti, et tema arvutused sisaldasid viga. Aasta hiljem, 19. septembril 1994, mil ta nimetas "oma tööelu kõige tähtsamaks hetkeks", komistas Wiles ilmutuse peale, mis võimaldas tal lahendada probleemi lahenduse nii kaugele, et see oleks rahuldav matemaatika. kogukond.
Töökirjeldus
Fermat' teoreemi tõestus, mille autor on Andrew Wiles, kasutab paljusid algebralise geomeetria ja arvuteooria meetodeid ning sellel on palju tagajärgi.matemaatika valdkonnad. Ta kasutab ka tänapäevase algebralise geomeetria standardkonstruktsioone, nagu skeemide kategooria ja Iwasawa teooria, aga ka muid 20. sajandi meetodeid, mis polnud Pierre de Fermat'le kättesaadavad.
Kaks tõendeid sisaldavat artiklit on 129 lehekülge pikad ja kirjutatud seitsme aasta jooksul. John Coates kirjeldas seda avastust kui arvuteooria üht suurimat saavutust ja John Conway nimetas seda 20. sajandi suureks matemaatiliseks saavutuseks. Wiles, et tõestada Fermat' viimast teoreemi, tõestades modulaarsuse teoreemi poolitatavate elliptiliste kõverate erijuhu jaoks, töötas välja võimsad meetodid modulaarsuse tõstmiseks ja avas uusi lähenemisviise paljudele teistele probleemidele. Fermat' viimase teoreemi lahendamise eest löödi ta rüütliks ja sai muid auhindu. Kui sai teatavaks, et Wiles võitis Abeli preemia, kirjeldas Norra Teaduste Akadeemia tema saavutust kui "Fermat' viimase teoreemi veetlevat ja elementaarset tõestust".
Kuidas see oli
Üks inimestest, kes vaatas läbi Wilesi algse käsikirja koos teoreemi lahendusega, oli Nick Katz. Ülevaate käigus esitas ta britile mitmeid täpsustavaid küsimusi, mis ajendasid Wilesi tunnistama, et tema töö sisaldab selgelt lünka. Tõestuse ühes kriitilises osas tehti viga, mis andis hinnangu konkreetse rühma järjestusele: Kolyvagini ja Flachi meetodi laiendamiseks kasutatud Euleri süsteem oli puudulik. Viga aga ei teinud tema tööd kasutuks – iga Wilesi töö oli iseenesest väga tähenduslik ja uuenduslik, nagu ka paljudarendusi ja meetodeid, mille ta oma töö käigus lõi ja mis puudutasid vaid ühte osa käsikirjast. Sellel 1993. aastal avaldatud origina alteosel ei olnud aga tõestust Fermat' viimase teoreemi kohta.
Wyles veetis peaaegu aasta, püüdes teoreemile lahendust uuesti leida, algul üksi ja seejärel koostöös oma endise õpilase Richard Tayloriga, kuid kõik näis olevat asjata. 1993. aasta lõpuks olid levinud kuulujutud, et Wilesi tõend oli testimisel läbi kukkunud, kuid kui tõsine see ebaõnnestumine oli, polnud teada. Matemaatikud hakkasid Wilesile survet avaldama, et ta avaldaks oma töö üksikasjad, olgu see siis tehtud või mitte, et laiem matemaatikute kogukond saaks uurida ja kasutada kõike, mida ta suutis saavutada. Selle asemel, et oma viga kiiresti parandada, avastas Wiles Fermat' viimase teoreemi tõestuses ainult täiendavaid keerulisi aspekte ja mõistis lõpuks, kui raske see oli.
Wyles teatab, et 1994. aasta 19. septembri hommikul oli ta allaandmise ja allaandmise äärel ning oli peaaegu leppinud ebaõnnestumisega. Ta oli valmis avaldama oma pooleli jäänud tööd, et teised saaksid sellele tuginedes leida, kus ta eksis. Inglise matemaatik otsustas anda endale viimase võimaluse ja analüüsis teoreemi viimast korda, et püüda mõista peamisi põhjuseid, miks tema lähenemine ei toiminud, kui järsku mõistis, et Kolyvagin-Flaci lähenemine ei tööta enne, kui talisab tõestusprotsessi ka Iwasawa teooria, mis muudab selle toimivaks.
6. oktoobril palus Wiles kolmel kolleegil (sealhulgas F altinsil) oma uus töö üle vaadata ning 24. oktoobril 1994 esitas ta kaks käsikirja – "Modulaarsed elliptilised kõverad ja Fermat' viimane teoreem" ja "Teoreetilised omadused mõne Hecke algebra ring", millest teise kirjutas Wiles koos Tayloriga ja tõestas, et teatud tingimused on täidetud, et õigustada põhiartikli parandatud sammu.
Need kaks artiklit vaadati üle ja avaldati lõpuks täistekstina väljaandes Mai 1995 Annals of Mathematics. Andrew uusi arvutusi analüüsiti laialdaselt ja lõpuks aktsepteeriti teadusringkondade poolt. Nendes artiklites kehtestati poolitatavate elliptiliste kõverate modulaarsuse teoreem – viimane samm Fermat' viimase teoreemi tõestamise suunas, 358 aastat pärast selle loomist.
Suure probleemi ajalugu
Selle teoreemi lahendamist on peetud matemaatika suurimaks probleemiks palju sajandeid. 1816. ja 1850. aastal pakkus Prantsuse Teaduste Akadeemia auhinda Fermat' viimase teoreemi üldise tõestuse eest. 1857. aastal määras Akadeemia Kummerile ideaalnumbrite uurimise eest 3000 franki ja kuldmedali, kuigi ta auhinnale ei kandideerinud. Veel ühe auhinna pakkus talle 1883. aastal Brüsseli Akadeemia.
Wolfskelli auhind
Aastal 1908 pärandas Saksa tööstur ja amatöörmatemaatik Paul Wolfskel 100 000 kuldmarka (selle aja kohta suur summa)Göttingeni Teaduste Akadeemia, nii et see raha saab auhinnaks Fermat' viimase teoreemi täieliku tõestamise eest. 27. juunil 1908 avaldas Akadeemia üheksa auhinna reeglit. Muu hulgas nõudsid need reeglid tõendi avaldamist eelretsenseeritavas ajakirjas. Auhind anti välja alles kaks aastat pärast avaldamist. Konkurss pidi lõppema 13. septembril 2007 – umbes sajand pärast selle algust. 27. juunil 1997 sai Wiles Wolfscheli auhinnaraha ja seejärel veel 50 000 dollarit. 2016. aasta märtsis sai ta Norra valitsuselt Abeli preemia osana 600 000 eurot "Fermat' viimase teoreemi hämmastava tõestuse eest pooldatavate elliptiliste kõverate modulaarsuse oletuse abil, avades uue ajastu arvuteoorias". See oli alandliku inglase maailmavõit.
Enne Wilesi tõestust peeti Fermat' teoreemi, nagu varem mainitud, sajandeid absoluutselt lahendamatuks. Wolfskelli komiteele esitati erinevatel aegadel tuhandeid ebaõigeid tõendeid, mis moodustasid ligikaudu 3 meetrit kirjavahetust. Vaid preemia esimesel eksisteerimisaastal (1907-1908) esitati teoreemi lahendamiseks 621 avaldust, kuigi 1970. aastateks oli nende arv kahanenud umbes 3-4 avaldusele kuus. Wolfscheli retsensendi F. Schlichtingi sõnul põhines enamik tõendeid koolis õpetatud elementaarsetel meetoditel ja sageli esitati neid kui "tehnilise taustaga, kuid ebaõnnestunud karjääriga inimesi". Matemaatika ajaloolase Howard Avesi sõnul viimaneFermat' teoreem on püstitanud omamoodi rekordi – see on teoreem, kus on kõige rohkem valesid tõestusi.
Farmi loorberid läksid jaapanlastele
Nagu varem mainitud, avastasid Jaapani matemaatikud Goro Shimura ja Yutaka Taniyama umbes 1955. aastal võimaliku seose kahe näiliselt täiesti erineva matemaatikaharu – elliptiliste kõverate ja modulaarsete vormide – vahel. Saadud modulaarsuse teoreem (tollal tuntud kui Taniyama-Shimura oletus) väidab, et iga elliptiline kõver on modulaarne, mis tähendab, et seda saab seostada ainulaadse modulaarse vormiga.
Teooria lükati algselt tagasi kui ebatõenäoline või väga spekulatiivne, kuid seda võeti tõsisem alt, kui arvuteoreetik André Weil leidis tõendeid Jaapani järelduste toetuseks. Selle tulemusena on hüpoteesi sageli nimetatud Taniyama-Shimura-Weili hüpoteesiks. Temast sai osa Langlandsi programmist, mis on nimekiri olulistest hüpoteesidest, mida tuleb tulevikus tõestada.
Isegi pärast tõsist uurimist on kaasaegsed matemaatikud seda oletust tunnistanud äärmiselt keeruliseks või ehk kättesaamatuks tõestamiseks. Nüüd ootab see konkreetne teoreem oma Andrew Wilesi, kes suudab oma lahendusega üllatada kogu maailma.
Fermat' teoreem: Perelmani tõestus
Populaarsele müüdile vaatamata pole vene matemaatikul Grigory Perelmanil kogu oma geniaalsusest hoolimata Fermat' teoreemiga midagi pistmist. Mis aga ei kahanda seda kuidagi.arvukad panused teadusringkondadesse.
