Mõned matemaatikaülesanded nõuavad ruutjuure arvutamise oskust. Need probleemid hõlmavad teist järku võrrandite lahendamist. Selles artiklis tutvustame tõhusat ruutjuurte arvutamise meetodit ja kasutame seda ruutvõrrandi juurte valemitega töötamisel.
Mis on ruutjuur?
Matemaatikas vastab see mõiste sümbolile √. Ajaloolised andmed ütlevad, et seda hakati esimest korda kasutama umbes 16. sajandi esimesel poolel Saksamaal (esimene saksakeelne töö algebrast, autor Christoph Rudolf). Teadlased usuvad, et see sümbol on muundatud ladina täht r (radix tähendab ladina keeles "juur").
Suvalise arvu juur on võrdne sellise väärtusega, mille ruut vastab juuravaldisele. Matemaatika keeles näeb see definitsioon välja selline: √x=y, kui y2=x.
Positiivse arvu juur (x > 0) on samutipositiivne arv (y > 0), aga kui juur võetakse negatiivsest arvust (x < 0), siis on selle tulemuseks juba kompleksarv, kaasa arvatud imaginaarne ühik i.
Siin on kaks lihtsat näidet:
√9=3, sest 32 =9; √(-9)=3i, sest i2=-1.
Heroni iteratiivne valem ruutjuurte leidmiseks
Ül altoodud näited on väga lihtsad ja nende juurte arvutamine pole keeruline. Raskused hakkavad ilmnema juba juurväärtuste leidmisel igale väärtusele, mida ei saa esitada naturaalarvu ruuduna, näiteks √10, √11, √12, √13, rääkimata sellest, et praktikas see on vajalik mittetäisarvude juurte leidmiseks: näiteks √(12, 15), √(8, 5) ja nii edasi.
Kõigil ül altoodud juhtudel tuleks ruutjuure arvutamiseks kasutada spetsiaalset meetodit. Praegu on teada mitu sellist meetodit: näiteks laiendamine Taylori seerias, jagamine veeruga ja mõned teised. Kõigist teadaolevatest meetoditest on võib-olla kõige lihtsam ja tõhusam Heroni iteratiivse valemi kasutamine, mida tuntakse ka kui babüloonia meetodit ruutjuurte määramiseks (on tõendeid, et muistsed babüloonlased kasutasid seda oma praktilistes arvutustes).
Olgu vaja määrata √x väärtus. Ruutjuure leidmise valem on järgmine:
an+1=1/2(a+x/a), kus limn->∞(a)=> x.
Dešifreerige see matemaatiline tähistus. √x arvutamiseks tuleks võtta mingi arv a0 (see võib olla suvaline, kuid kiire tulemuse saamiseks tuleks see valida nii, et (a0) 2 oli x-le võimalikult lähedal, seejärel asendage see määratud ruutjuure valemiga ja saate uue numbri a1, mis juba olema soovitud väärtusele lähemal. avaldises on vaja asendada a1 ja saada a2 Seda protseduuri tuleb korrata, kuni saavutatakse nõutav täpsus.
Näide Heroni iteratiivse valemi rakendamisest
Eespool kirjeldatud algoritm mõne antud arvu ruutjuure saamiseks võib paljude jaoks tunduda üsna keeruline ja segane, kuid tegelikult osutub kõik palju lihtsamaks, kuna see valem läheneb väga kiiresti (eriti kui õnnenumber on valitud a0).
Võtame lihtsa näite: peame arvutama √11. Valime 0=3, kuna 32=9, mis on lähemal 11-le kui 42=16. Asendades valemi, saame:
a1=1/2 (3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2 (3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2 (3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Arvutamist pole mõtet jätkata, kuna oleme saanud, et a2 ja a3 hakkavad erinema alles 5. kümnendkoha võrra. koht. Seega piisas ainult 2-kordsest valemist peale kandmisestarvuta √11 täpsusega 0,0001.
Praegu kasutatakse juurte arvutamiseks laialdaselt kalkulaatoreid ja arvuteid, kuid nende täpse väärtuse käsitsi arvutamiseks on kasulik meeles pidada märgitud valemit.
Teist järku võrrandid
Ruutjuure mõistmist ja selle arvutamise oskust kasutatakse ruutvõrrandite lahendamisel. Need võrrandid on võrrandid ühe tundmatuga, mille üldkuju on näidatud alloleval joonisel.
Siin c, b ja a on mõned arvud ning a ei tohi olla võrdne nulliga ning c ja b väärtused võivad olla täiesti suvalised, sealhulgas null.
Igasuguseid x väärtusi, mis vastavad joonisel näidatud võrdsusele, nimetatakse selle juurteks (seda mõistet ei tohiks segi ajada ruutjuurega √). Kuna vaadeldav võrrand on teist järku (x2), siis ei saa selle juurte jaoks olla rohkem kui kaks arvu. Vaatame hiljem artiklis, kuidas neid juuri leida.
Ruutvõrrandi (valemi) juurte leidmine
Seda vaadeldava tüüpi võrduste lahendamise meetodit nimetatakse ka universaalseks ehk meetodiks diskriminandi kaudu. Seda saab rakendada mis tahes ruutvõrrandi jaoks. Ruutvõrrandi diskriminandi ja juurte valem on järgmine:
See näitab, et juured sõltuvad võrrandi iga kolme koefitsiendi väärtusest. Lisaks arvutusx1 erineb arvutusest x2 ainult ruutjuure ees oleva märgi poolest. Radikaalne avaldis, mis võrdub b2 - 4ac, pole midagi muud kui vaadeldava võrdsuse diskriminant. Ruutvõrrandi juurte valemis olev diskriminant mängib olulist rolli, kuna see määrab lahenduste arvu ja tüübi. Seega, kui see on null, siis on ainult üks lahend, kui see on positiivne, siis on võrrandil kaks reaaljuurt, lõpuks viib negatiivne diskriminant kahe kompleksjuureni x1 ja x 2.
Vieta teoreem või mõned teist järku võrrandite juurte omadused
16. sajandi lõpus suutis üks kaasaegse algebra rajajaid, prantslane Francois Viet, uurides teist järku võrrandeid, saada selle juurte omadused. Matemaatiliselt saab neid kirjutada järgmiselt:
x1 + x2=-b / a ja x1 x 2=c / a.
Mõlemat võrdsust saab igaüks hõlpsasti saada, selleks on vaja sooritada vaid vastavad matemaatilised tehted diskriminandiga valemi kaudu saadud juurtega.
Nende kahe avaldise kombinatsiooni võib õigustatult nimetada ruutvõrrandi juurte teiseks valemiks, mis võimaldab selle lahendeid ära arvata ilma diskriminanti kasutamata. Siinkohal tuleb märkida, et kuigi mõlemad avaldised kehtivad alati, on neid võrrandi lahendamisel mugav kasutada ainult siis, kui seda saab faktoreerida.
Omandatud teadmiste kinnistamise ülesanne
Lahendame matemaatilise ülesande, milles demonstreerime kõiki artiklis käsitletud tehnikaid. Ülesande tingimused on järgmised: peate leidma kaks arvu, mille korrutis on -13 ja summa on 4.
See tingimus tuletab kohe meelde Vieta teoreemi, rakendades ruutjuurte ja nende korrutise summa valemeid, kirjutame:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Eeldades, et a=1, siis b=-4 ja c=-13. Need koefitsiendid võimaldavad meil kirjutada teist järku võrrandi:
x2 - 4x - 13=0.
Kasutage valemit koos diskriminandiga, saame järgmised juured:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16–41(–13)=68.
See tähendab, et ülesanne taandus numbri √68 leidmisele. Pange tähele, et 68=417, siis ruutjuure omadust kasutades saame: √68=2√17.
Nüüd kasutame vaadeldavat ruutjuure valemit: a0=4, siis:
a1=1/2 (4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2 (4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
A3 pole vaja arvutada, kuna leitud väärtused erinevad vaid 0,02 võrra. Seega √68=8,246. Asendades selle valemis x 1, 2, saame:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 ja x2=(4–8, 246) /2=-2, 123.
Nagu näete, on leitud arvude summa tõepoolest 4, kuid kui leiate nende toote, võrdub see -12,999, mis rahuldab probleemi tingimuse täpsusega 0,001.
