Kvadruvõrrandid esinevad sageli paljudes matemaatika ja füüsika ülesannetes, seega peaks iga õpilane suutma neid lahendada. Selles artiklis kirjeldatakse üksikasjalikult ruutvõrrandite lahendamise peamisi meetodeid ja tuuakse ka näiteid nende kasutamise kohta.
Millist võrrandit nimetatakse ruutvõrrandiks
Kõigepe alt vastame selle lõigu küsimusele, et paremini mõista, millest artikkel räägib. Seega on ruutvõrrandil järgmine üldkuju: c + bx+ax2=0, kus a, b, c on mõned arvud, mida nimetatakse koefitsientideks. Siin on a≠0 kohustuslik tingimus, vastasel juhul degenereerub näidatud võrrand lineaarseks. Ülejäänud koefitsiendid (b, c) võivad võtta absoluutselt mis tahes väärtused, sealhulgas nulli. Seega on sellised avaldised nagu ax2=0, kus b=0 ja c=0 või c+ax2=0, kus b=0 või bx+ax2=0, kus c=0 on samuti ruutvõrrandid, mida nimetatakse mittetäielikeks, kuna nende lineaarkoefitsient b on null või nullon vaba termin c või need mõlemad kaovad.
Võrrandit, milles a=1 nimetatakse redutseerituks, see tähendab, et see on kujul: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Ruutvõrrandi lahendus on leida sellised x väärtused, mis rahuldavad selle võrdsust. Neid väärtusi nimetatakse juurteks. Kuna vaadeldav võrrand on teise astme avaldis, tähendab see, et selle juurte maksimaalne arv ei tohi ületada kahte.
Millised meetodid ruutvõrrandite lahendamiseks on olemas
Üldiselt on 4 lahendusmeetodit. Nende nimed on loetletud allpool:
- Faktooring.
- Lisand väljakule.
- Kasutades tuntud valemit (diskriminandi kaudu).
- Lahendusmeetod on geomeetriline.
Nagu ül altoodud loendist näete, on kolm esimest meetodit algebralised, seega kasutatakse neid sagedamini kui viimast, mis hõlmab funktsiooni joonistamist.
Vieta teoreemi abil on ruutvõrrandite lahendamiseks veel üks viis. See võib olla ül altoodud loendis 5. kohal, kuid seda ei tehta, kuna Vieta teoreem on 3. meetodi lihtne tagajärg.
Hiljem artiklis käsitleme nimetatud lahendusmeetodeid üksikasjalikum alt ning toome ka näiteid nende kasutamisest konkreetsete võrrandite juurte leidmiseks.
1. meetod. Faktooring
Selle meetodi jaoks ruutvõrrandite matemaatikas on ilusnimi: faktoriseerimine. Selle meetodi olemus on järgmine: ruutvõrrand on vaja esitada kahe liikme (avaldise) korrutisena, mis peab võrduma nulliga. Pärast sellist esitust saate kasutada toote atribuuti, mis on võrdne nulliga ainult siis, kui üks või mitu (kõik) selle liiget on null.
Mõelge nüüd konkreetsete toimingute jadale, mis tuleb võrrandi juurte leidmiseks sooritada:
- Liigutage kõik liikmed avaldise ühte ossa (näiteks vasakule), nii et selle teise ossa (paremale) jääks ainult 0.
- Esitage võrrandi ühes osas olevate liikmete summa kahe lineaarvõrrandi korrutisena.
- Määrake kõik lineaaravaldised nulliks ja lahendage need.
Nagu näete, on tegureerimisalgoritm üsna lihtne, kuid enamikul õpilastel on 2. punkti rakendamisel raskusi, seega selgitame seda üksikasjalikum alt.
Et arvata, millised 2 lineaarset avaldist üksteisega korrutatuna annavad soovitud ruutvõrrandi, peate meeles pidama kahte lihtsat reeglit:
- Kahe lineaaravaldise lineaarsed koefitsiendid peaksid üksteisega korrutatuna andma ruutvõrrandi esimese koefitsiendi, st arvu a.
- Lineaaravaldiste vabad liikmed peaksid korrutatuna andma soovitud võrrandi arvu c.
Pärast kõigi tegurite arvu valimist tuleks need korrutada ja kui need annavad soovitud võrrandi, siis minge punktis 3.ül altoodud algoritmi, vastasel juhul peaksite kordajaid muutma, kuid peate seda tegema nii, et ül altoodud reegleid järgitaks alati.
Lahenduse näide faktoriseerimise meetodil
Näitame selgelt, kuidas ruutvõrrandi lahendamise algoritm seisneb tundmatute juurte koostamises ja leidmises. Olgu antud suvaline avaldis, näiteks 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Liigume edasi selle lahenduse juurde, jälgides punktide jada 1 kuni 3, mis on toodud artikli eelmises lõigus.
Punkt 1. Liigutage kõik terminid vasakule ja korraldage need ruutvõrrandi klassikalises järjestuses. Meil on järgmine võrdsus: 2x+(-8)+x2=0.
Punkt 2. Jagame selle lineaarvõrrandite korrutiseks. Kuna a=1 ja c=-8, siis valime näiteks sellise korrutise (x-2)(x+4). See vastab ül altoodud lõigus sätestatud eeldatavate tegurite leidmise reeglitele. Kui avame sulud, saame: -8+2x+x2 ehk saame täpselt sama avaldise, mis võrrandi vasakul poolel. See tähendab, et arvasime kordajad õigesti ära ja saame jätkata algoritmi 3. sammuga.
Punkt 3. Võrdsusta iga tegur nulliga, saame: x=-4 ja x=2.
Kui tulemuses on kahtlusi, on soovitatav kontrollida, asendades leitud juured algsesse võrrandisse. Sel juhul on meil: 22+22-8=0 ja 2(-4)+(-4)2 -8=0. Juured leitud õigesti.
Seega leidsime faktoriseerimise meetodit kasutades, et antud võrrandil on kaks erinevat juurton: 2 ja -4.
2. meetod. Täiendage täisruutu
Ruutvõrrandite algebras ei saa alati kasutada kordaja meetodit, kuna ruutvõrrandi kordajate murdväärtuste korral tekivad raskused algoritmi lõike 2 rakendamisel.
Täisruudu meetod on omakorda universaalne ja seda saab rakendada mis tahes tüüpi ruutvõrranditele. Selle põhiolemus on järgmiste toimingute tegemine:
- Koefitsiente a ja b sisaldavad võrrandi liikmed tuleb üle kanda võrrandi ühte ossa ja vaba liige c teise.
- Järgmisena tuleks võrdsuse osad (parem ja vasak) jagada koefitsiendiga a, st esitada võrrand vähendatud kujul (a=1).
- Ligege terminid koefitsientidega a ja b, et esitada lineaarvõrrandi ruuduna. Kuna a \u003d 1, siis on lineaarkoefitsient võrdne 1-ga, nagu lineaarvõrrandi vaba liikme puhul, siis peaks see olema võrdne poolega vähendatud ruutvõrrandi lineaarkoefitsiendist. Pärast lineaaravaldise ruudu koostamist on vaja lisada vastav arv võrrandi paremale poolele, kus asub vaba liige, mis saadakse ruudu laiendamisel.
- Võtke ruutjuur koos "+" ja "-" märkidega ning lahendage juba saadud lineaarvõrrand.
Kirjeldatud algoritmi võib esmapilgul pidada üsna keeruliseks, kuid praktikas on seda lihtsam rakendada kui faktoriseerimise meetodit.
Näide lahendusest, mis kasutab täisruudu täiendit
Toome ruutvõrrandi näite selle lahenduse treenimiseks eelmises lõigus kirjeldatud meetodil. Olgu ruutvõrrand -10 - 6x+5x2=0. Hakkame seda lahendama ülalkirjeldatud algoritmi järgi.
Punkt 1. Kasutame ruutvõrrandite lahendamisel ülekandemeetodit, saame: - 6x+5x2=10.
Punkt 2. Selle võrrandi taandatud kuju saadakse, jagades selle iga liikme arvuga 5 (kui mõlemad osad jagatakse või korrutatakse sama arvuga, siis võrdsus säilib). Teisenduste tulemusena saame: x2 - 6/5x=2.
Punkt 3. Pool koefitsiendist - 6/5 on -6/10=-3/5, kasutage seda arvu ruudu lõpetamiseks, saame: (-3/5+x) 2 . Laiendame seda ja saadud vaba liige tuleks lahutada võrdsuse vasakust poolest, et rahuldada ruutvõrrandi algkuju, mis on samaväärne selle lisamisega paremale poolele. Selle tulemusena saame: (-3/5+x)2=59/25.
Punkt 4. Arvutage ruutjuur positiivsete ja negatiivsete märkidega ja leidke juured: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Kahel leitud juurel on järgmised väärtused: x1=(√59+3)/5 ja x1=(3-√59)/5.
Kuna tehtud arvutused on seotud juurtega, siis on eksimise tõenäosus suur. Seetõttu on soovitatav kontrollida juurte x2 ja x1 õigsust. Me saame x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Asendage kohex2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 – 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Seega oleme näidanud, et võrrandi leitud juured on tõesed.
3. meetod. Tuntud valemi
rakendamine
See ruutvõrrandite lahendamise meetod on ehk kõige lihtsam, kuna see seisneb koefitsientide asendamises tuntud valemiga. Selle kasutamiseks ei pea mõtlema lahendusalgoritmide koostamisele, piisab vaid ühe valemi meeldejätmisest. See on näidatud ülaloleval pildil.
Selles valemis nimetatakse radikaalavaldist (b2-4ac) diskriminandiks (D). Selle väärtus sõltub sellest, millised juured on saadud. On 3 juhtumit:
- D>0, siis on kahe juurvõrrandis reaalne ja erinev.
- D=0, siis saadakse juur, mille saab arvutada avaldisest x=-b/(a2).
- D<0, siis saad kaks erinevat kujuteldavat juurt, mis on kujutatud kompleksarvudena. Näiteks arv 3-5i on kompleksne, samas kui kujuteldav ühik i rahuldab omadust: i2=-1.
Diskriminandi arvutamise lahenduse näide
Toome näite ruutvõrrandi kohta, mida ül altoodud valemi abil harjutada. Leidke juured väärtusele -3x2-6+3x+4x=0. Esiteks arvutame diskriminandi väärtuse, saame: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Kuna D<0 on saadud, tähendab see, et vaadeldava võrrandi juurteks on kompleksarvud. Leiame need, asendades leitud väärtuse D eelmises lõigus toodud valemiga (see on näidatud ka ülaloleval fotol). Saame: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
4. meetod. Funktsioonigraafiku kasutamine
Seda nimetatakse ka ruutvõrrandite lahendamise graafiliseks meetodiks. Olgu öeldud, et reeglina ei kasutata seda vaadeldava võrrandi kvantitatiivseks, vaid kvalitatiivseks analüüsiks.
Meetodi olemus seisneb ruutfunktsiooni y=f(x) joonistamises, mis on parabool. Seejärel on vaja kindlaks teha, millistes punktides lõikub parabool x-teljega (X), need on vastava võrrandi juured.
Selleks, et teha kindlaks, kas parabool lõikub X-teljega, piisab, kui on teada selle miinimumi (maksimum) asukoht ja harude suund (need võivad kas suureneda või väheneda). Sellel kõveral on kaks omadust, mida meeles pidada:
- Kui a>0 - haru paraboolid on suunatud ülespoole, vastupidi, kui a<0, siis need lähevad alla.
- Parabooli minimaalne (maksimaalne) koordinaat on alati x=-b/(2a).
Näiteks peate määrama, kas võrrandil -4x+5x2+10=0 on juured. Vastav parabool on suunatud ülespoole, kuna=5>0. Selle ekstreemumi koordinaadid on: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Alates kõvera miinimum asub x-telje kohal (y=9, 2), siis see ei ristu viimast ühegix väärtused. See tähendab, et antud võrrandil pole tegelikke juuri.
Vieta teoreem
Nagu ülalpool märgitud, on see teoreem meetodi nr 3 tagajärg, mis põhineb diskriminandiga valemi rakendamisel. Vieta teoreemi olemus seisneb selles, et see võimaldab ühendada võrrandi koefitsiendid ja selle juured võrdsuseks. Saame vastavad võrdsused.
Kasutame juurte arvutamise valemit diskriminandi kaudu. Lisage kaks juurt, saame: x1+x2=-b/a. Nüüd korrutame juured üksteisega: x1x2, pärast mitmeid lihtsustusi saame arvu c/a.
Seega saab ruutvõrrandite lahendamiseks Vieta teoreemi abil kasutada saadud kahte võrdsust. Kui võrrandi kõik kolm kordajat on teada, saab juured leida nende kahe võrrandi sobiva süsteemi lahendamisega.
Näide Vieta teoreemi kasutamisest
Peate kirjutama ruutvõrrandi, kui teate, et selle vorm on x2+c=-bx ja selle juured on 3 ja -4.
Kuna vaadeldavas võrrandis on a=1, näevad Vieta valemid järgmised: x2+x1=-b ja x2x1=lk. Asendades juurte teadaolevad väärtused, saame: b=1 ja c=-12. Selle tulemusena näeb taastatud ruutvõrrand välja selline: x2-12=-1x. Saate sellesse asendada juurte väärtuse ja veenduda, et võrdus kehtib.
Vieta teoreemi vastupidine rakendamine, st juurte arvutaminevõrrandi tuntud vorm, võimaldab väikestel täisarvudel a, b ja c kiiresti (intuitiivselt) lahendusi leida.
