Matemaatikas on oluline mõiste funktsioon. Selle abil saate visualiseerida paljusid looduses toimuvaid protsesse, kajastada teatud suuruste vahelisi seoseid kasutades valemeid, tabeleid ja graafikul olevaid pilte. Näiteks võib tuua kehale avalduva vedeliku kihi rõhu sõltuvuse sukeldumissügavusest, kiirendusest - teatud jõu mõjust objektile, temperatuuri tõusust - ülekantavast energiast ja paljudest muudest protsessidest. Funktsiooni uurimine hõlmab graafiku koostamist, selle omaduste, ulatuse ja väärtuste, suurenemise ja kahanemise intervallide selgitamist. Selle protsessi oluline punkt on äärmuspunktide leidmine. Teave selle kohta, kuidas seda õigesti teha, ja vestlus jätkub.
Konseptsiooni enda kohta konkreetse näite puhul
Meditsiinis võib funktsioonigraafiku koostamine näidata haiguse kulgu patsiendi kehas, peegeldades visuaalselt tema seisundit. Oletame, et aeg päevades on joonistatud piki OX-telge ja inimkeha temperatuur piki OY-telge. Joonisel on selgelt näha, kuidas see indikaator järsult tõuseb jasiis kukub. Samuti on lihtne märgata ainsuse punkte, mis peegeldavad hetki, mil funktsioon, olles eelnev alt suurenenud, hakkab vähenema ja vastupidi. Need on äärmuslikud punktid, st kriitilised väärtused (maksimaalne ja minimaalne) patsiendi temperatuuri puhul, mille järel ilmnevad muutused tema seisundis.
Kaldenurk
Jooniselt on lihtne määrata, kuidas funktsiooni tuletis muutub. Kui graafiku sirged aja jooksul tõusevad, on see positiivne. Ja mida järsemad need on, seda suurem on tuletise väärtus, kuna kaldenurk suureneb. Vähenemise perioodidel omandab see väärtus negatiivseid väärtusi, pöördudes äärmuspunktides nulli, ja tuletise graafik viimasel juhul joonistatakse paralleelselt OX-teljega.
Iga muid protsesse tuleks käsitleda samal viisil. Kuid parim asi selle kontseptsiooni juures võib näidata erinevate kehade liikumist, mis on graafikutel selgelt näidatud.
Liikumine
Oletame, et mõni objekt liigub sirgjooneliselt, kogudes kiirust ühtlaselt. Sel perioodil kujutab keha koordinaatide muutus graafiliselt teatud kõverat, mida matemaatik nimetaks parabooli haruks. Samal ajal suureneb funktsioon pidev alt, kuna koordinaatnäitajad muutuvad iga sekundiga üha kiiremini. Kiiruse graafik näitab tuletise käitumist, mille väärtus samuti suureneb. See tähendab, et liikumisel pole kriitilisi punkte.
Seda oleks jätkunud lõputult. Aga kui keha otsustab järsku hoogu maha võtta, peatu ja hakka teises liikumasuund? Sel juhul hakkavad koordinaatnäitajad vähenema. Ja funktsioon edastab kriitilise väärtuse ja muutub suurenev alt kahanev alt.
Selles näites saate jälle aru, et funktsioonigraafiku äärmuspunktid ilmuvad hetkedel, mil see lakkab olemast monotoonne.
Tuletise füüsiline tähendus
Varem kirjeldatud näitas selgelt, et tuletis on sisuliselt funktsiooni muutumise kiirus. See täpsustus sisaldab selle füüsilist tähendust. Äärmuslikud punktid on diagrammil kriitilised alad. Neid on võimalik välja selgitada ja tuvastada, arvutades välja tuletise väärtuse, mis osutub võrdseks nulliga.
On veel üks märk, mis on ekstreemumi piisav tingimus. Sellistes käändekohtades olev tuletis muudab oma märki: "+"-st "-"-ks maksimumi piirkonnas ja "-"-lt "+"-ks miinimumi piirkonnas.
Liikumine gravitatsiooni mõjul
Kujutame ette teist olukorda. Lapsed palli mängides viskasid seda nii, et see hakkas horisondi suhtes viltu liikuma. Algmomendil oli selle objekti kiirus suurim, kuid gravitatsiooni mõjul hakkas see vähenema ja iga sekundiga sama väärtuse võrra, mis võrdub ligikaudu 9,8 m/s2. See on kiirenduse väärtus, mis tekib maa raskusjõu mõjul vaba langemise ajal. Kuul oleks see umbes kuus korda väiksem.
Keha liikumist kirjeldav graafik on harudega parabool,allapoole. Kuidas leida äärmuslikke punkte? Sel juhul on see funktsiooni tipp, kus keha (palli) kiirus saab nullväärtuse. Funktsiooni tuletis muutub nulliks. Sel juhul muutub suund ja seega ka kiiruse väärtus vastupidiseks. Keha lendab alla iga sekundiga järjest kiiremini ja kiirendab sama palju - 9,8 m/s2.
Teine tuletis
Eelmisel juhul on kiirusmooduli graafik joonistatud sirgjoonena. See joon on kõigepe alt suunatud allapoole, kuna selle suuruse väärtus väheneb pidev alt. Olles ühel ajahetkel nulli jõudnud, hakkavad selle väärtuse indikaatorid suurenema ja kiirusmooduli graafilise esituse suund muutub dramaatiliselt. Rida on nüüd suunatud üles.
Kiirusele, mis on koordinaadi ajatuletis, on ka kriitiline punkt. Selles piirkonnas hakkab funktsioon, mis algselt väheneb, suurenema. See on funktsiooni tuletise äärmuspunkti koht. Sellisel juhul muutub puutuja kalle nulliks. Ja kiirendus, mis on koordinaadi teine tuletis aja suhtes, muudab märgi “-” asemel “+”. Ja ühtlaselt aeglasest liikumine muutub ühtlaselt kiiremaks.
Kiirendusgraafik
Nüüd kaaluge nelja pilti. Igaüks neist kuvab graafiku sellise füüsikalise suuruse nagu kiirenduse muutumise kohta ajas. "A" puhul jääb selle väärtus positiivseks ja konstantseks. See tähendab, et keha kiirus, nagu ka selle koordinaat, kasvab pidev alt. Kui akujutage ette, et objekt liigub sel viisil lõpmata kaua, koordinaadi sõltuvust ajast peegeldav funktsioon osutub pidev alt suurenevaks. Sellest järeldub, et sellel puuduvad kriitilised piirkonnad. Samuti pole tuletise ehk lineaarselt muutuva kiiruse graafikul äärmuspunkte.
Sama kehtib ka juhtumi "B" kohta, millel on positiivne ja pidev alt suurenev kiirendus. Tõsi, siin on koordinaatide ja kiiruse graafikud mõnevõrra keerulisemad.
Kui kiirendus kipub nulli
Vaadates pilti "B", näete hoopis teistsugust pilti, mis iseloomustab keha liikumist. Selle kiirust kujutatakse graafiliselt allapoole suunatud okstega paraboolina. Kui jätkata kiirenduse muutust kirjeldavat joont kuni selle lõikumiseni OX-teljega ja edasi, siis võime ette kujutada, et kuni selle kriitilise väärtuseni, kus kiirendus osutub võrdseks nulliga, suureneb objekti kiirus aina aeglasem alt. Koordinaatfunktsiooni tuletise äärmuspunkt on just parabooli tipus, misjärel muudab keha radikaalselt liikumise olemust ja hakkab liikuma teises suunas.
Viimasel juhul "G" ei saa liikumise olemust täpselt määrata. Siin teame vaid seda, et mõne vaadeldava perioodi jooksul kiirendust ei toimu. See tähendab, et objekt võib paigale jääda või liikumine toimub ühtlase kiirusega.
Koordinaadi lisamise ülesanne
Liikume ülesannete juurde, mida koolis algebra õppimisel sageli leidub ja mida pakutakseeksamiks valmistumine. Allolev joonis näitab funktsiooni graafikut. On vaja arvutada äärmuspunktide summa.
Teeme seda y-telje jaoks, määrates kriitiliste piirkondade koordinaadid, kus on täheldatud funktsiooni omaduste muutumist. Lihtsam alt öeldes leiame pöördepunktide väärtused piki x-telge ja seejärel jätkame saadud terminite lisamist. Graafiku järgi on ilmne, et nad võtavad järgmised väärtused: -8; -7; -5; -3; -2; üks; 3. See annab kokku -21, mis on vastus.
Optimaalne lahendus
Ei ole vaja selgitada, kui oluline võib praktiliste ülesannete täitmisel olla optimaalse lahenduse valik. Lõppude lõpuks on eesmärgi saavutamiseks palju viise ja parim väljapääs on reeglina ainult üks. See on äärmiselt vajalik näiteks laevade, kosmoselaevade ja õhusõidukite ning arhitektuursete struktuuride projekteerimisel, et leida nendele tehisobjektidele optimaalne kuju.
Sõidukite kiirus sõltub suuresti takistuse pädevast minimeerimisest, mida nad kogevad vees ja õhus liikudes, gravitatsioonijõudude ja paljude muude näitajate mõjul tekkivatest ülekoormustest. Merel olev laev vajab selliseid omadusi nagu stabiilsus tormi ajal, jõelaeva jaoks on oluline minimaalne süvis. Optimaalse kujunduse arvutamisel võivad graafiku äärmuspunktid visuaalselt anda aimu keerulise probleemi parimast lahendusest. Sellised ülesanded on sagelion lahendatud majanduses, majandusvaldkondades, paljudes muudes elusituatsioonides.
Iidsest ajaloost
Äärmuslikud probleemid vaevasid isegi iidseid tarku. Kreeka teadlased lahendasid matemaatiliste arvutuste abil eduk alt pindalade ja mahtude saladuse. Nad said esimesena aru, et erinevate sama perimeetriga kujundite tasapinnal on ringil alati suurim pindala. Samamoodi on pallil maksimaalne maht teiste sama pindalaga ruumiobjektide hulgas. Selliste probleemide lahendamisele pühendusid sellised kuulsad isiksused nagu Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius. Ekstreempunktide leidmine õnnestus väga hästi Heronil, kes arvutuste peale appi võtnud leidlikud seadmed ehitas. Nende hulka kuulusid auru abil liikuvad masinad, pumbad ja samal põhimõttel töötavad turbiinid.
Kartaago ehitus
On legend, mille süžee põhineb ühe äärmusliku probleemi lahendamisel. Tarkade poole pöördunud Foiniikia printsessi ärilise lähenemise tulemus oli Kartaago ehitamine. Selle iidse ja kuulsa linna maatüki kinkis Didole (see oli valitseja nimi) ühe Aafrika hõimu juht. Eraldi pindala ei tundunud talle alguses kuigi suur, kuna lepingu järgi pidi see olema kaetud härjanahaga. Kuid printsess käskis oma sõduritel see õhukesteks ribadeks lõigata ja neist vöö teha. See osutus nii pikaks, et kattis saidi,kuhu mahub terve linn.
Arvutuse päritolu
Ja nüüd liigume iidsetest aegadest hilisemasse ajastusse. Huvitaval kombel ajendas Keplerit 17. sajandil mõistma matemaatilise analüüsi aluseid kohtumine veinimüüjaga. Kaupmees oli oma erialaga nii hästi kursis, et sai tünnis oleva joogi mahu hõlps alt kindlaks teha, kui lasi sinna lihts alt rauast žguti. Sellist uudishimu mõeldes suutis kuulus teadlane selle dilemma enda jaoks lahendada. Selgub, et tolleaegsed osavad kütid said nõu teha anumate valmistamisega nii, et kinnitusrõngaste ümbermõõdu teatud kõrgusel ja raadiuses oleks neil maksimaalne kandevõime.
See oli Kepleri jaoks põhjus edasiseks järelemõtlemiseks. Bocharid jõudsid optimaalse lahenduseni pikkade otsingute, vigade ja uute katsete kaudu, andes oma kogemusi põlvest põlve edasi. Kuid Kepler soovis protsessi kiirendada ja õppida, kuidas matemaatiliste arvutuste abil lühikese aja jooksul sama teha. Kõik tema kolleegide poolt üle võetud arendused muutusid Fermat' ja Newtoni – Leibnizi nüüdseks tuntud teoreemideks.
Maksimaalse ala probleem
Kujutame ette, et meil on 50 cm pikkune traat. Kuidas teha sellest suurima pindalaga ristkülikut?
Otsust alustades tuleks lähtuda lihtsatest ja teadaolevatest tõdedest. On selge, et meie figuuri ümbermõõt on 50 cm. See koosneb ka mõlema külje kahekordsest pikkusest. See tähendab, et kui üks neist on tähistatud kui "X", saab teist väljendada kui (25 - X).
Siit saamepindala, mis on võrdne X-ga (25 - X). Seda avaldist saab esitada funktsioonina, mis võtab palju väärtusi. Ülesande lahendamine eeldab nende maksimumi leidmist, mis tähendab, et tuleks välja selgitada äärmuspunktid.
Selleks leiame esimese tuletise ja võrdsustame selle nulliga. Tulemuseks on lihtne võrrand: 25 - 2X=0.
Sellest saame teada, et üks külgedest X=12, 5.
Seetõttu teine: 25–12, 5=12, 5.
Selgub, et ülesande lahendus on ruut, mille külg on 12,5 cm.
Kuidas leida maksimaalset kiirust
Vaatleme veel ühte näidet. Kujutage ette, et on keha, mille sirgjoonelist liikumist kirjeldab võrrand S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, kus kaugus läbitud aega väljendatakse meetrites ja aega sekundites. On vaja leida maksimaalne kiirus. Kuidas seda teha? Allalaaditud leidke kiirus, st esimene tuletis.
Saame võrrandi: V=- 3t2 + 18t – 24. Nüüd peame ülesande lahendamiseks taas leidma ekstreemumipunktid. Seda tuleb teha samamoodi nagu eelmises ülesandes. Leidke kiiruse esimene tuletis ja võrdsustage see nulliga.
Saame: - 6t + 18=0. Seega t=3 s. See on aeg, mil keha kiirus võtab kriitilise väärtuse. Asendame saadud andmed kiirusvõrrandiga ja saame: V=3 m/s.
Aga kuidas aru saada, et see on täpselt maksimaalne kiirus, sest funktsiooni kriitilisteks punktideks võivad olla selle maksimum- või miinimumväärtused? Kontrollimiseks peate leidma teisekiiruse tuletis. Seda väljendatakse miinusmärgiga arvuna 6. See tähendab, et leitud punkt on maksimaalne. Ja teise tuletise positiivse väärtuse korral oleks miinimum. Seega osutus leitud lahendus õigeks.
Näiteks toodud ülesanded on vaid osa neist, mida saab lahendada funktsiooni äärmuspunktide leidmisega. Tegelikult on neid palju rohkem. Ja sellised teadmised avavad inimtsivilisatsioonile piiramatud võimalused.
