Joon ja tasapind on kaks kõige olulisemat geomeetrilist elementi, mida saab kasutada erinevate kujundite konstrueerimiseks 2D- ja 3D-ruumis. Mõelge, kuidas leida paralleelsete sirgete ja paralleelsete tasandite vaheline kaugus.
Matemaatika ülesande sirgjoon
Kooli geomeetria kursusest on teada, et kahemõõtmelises ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis saab sirge määrata järgmisel kujul:
y=kx + b.
Kus k ja b on arvud (parameetrid). Tasapinnal sirge esitamise kirjalik vorm on tasapind, mis on kolmemõõtmelises ruumis paralleelne z-teljega. Seda silmas pidades kasutame selles artiklis sirge matemaatiliseks määramiseks mugavamat ja universaalsemat vormi - vektorit.
Oletame, et meie sirge on paralleelne mõne vektoriga u¯(a, b, c) ja läbib punkti P(x0, y0, z0). Sel juhul esitatakse selle võrrand vektorkujul järgmiselt:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Siin λ on suvaline arv. Kui esitame koordinaadid selgesõnaliselt kirjalikku avaldist laiendades, saame sirge kirjutamise parameetrilise vormi.
Vektorvõrrandiga on mugav töötada erinevate ülesannete lahendamisel, mille puhul on vaja määrata paralleelsete sirgete vaheline kaugus.
Jooned ja nendevaheline kaugus
Jõgede vahelisest kaugusest on mõtet rääkida ainult siis, kui need on paralleelsed (kolmemõõtmelisel juhul on ka kaldjoonte vahekaugus nullist erinev). Kui sirged lõikuvad, on ilmne, et need on üksteisest null kaugusel.
Paralleeljoonte vaheline kaugus on neid ühendava risti pikkus. Selle indikaatori määramiseks piisab, kui valida ühel sirgel suvaline punkt ja langetada sellelt risti teisele.
Kirjeldame lühid alt soovitud vahemaa leidmise protseduuri. Oletame, et teame kahe sirge vektorvõrrandid, mis on esitatud järgmisel üldkujul:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Ehitage nendele sirgetele rööpkülik nii, et üks külg on PQ ja teine, näiteks u. Ilmselgelt on selle joonise kõrgus punktist P tõmmatud nõutava risti pikkus. Selle leidmiseks võite rakendada järgmist lihtsatvalem:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Kuna sirgete vaheline kaugus on nendevahelise risti lõigu pikkus, siis kirjaliku avaldise järgi piisab, kui leida PQ¯ ja u¯ vektorkorrutise moodul ning tulemus jagada vektori pikkus u¯.
Näide ülesandest sirgjoonte vahelise kauguse määramiseks
Kaks sirget on antud järgmiste vektorvõrranditega:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Kirjutatud väljenditest on selge, et meil on kaks paralleelset sirget. Tõepoolest, kui korrutada -1-ga esimese rea suunavektori koordinaadid, saame teise sirge suunavektori koordinaadid, mis näitab nende paralleelsust.
Sirgete vaheline kaugus arvutatakse artikli eelmises lõigus kirjutatud valemi abil. Meil on:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Siis saame:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Pange tähele, et punktide P ja Q asemel võib ülesande lahendamiseks kasutada absoluutselt kõiki nendele joontele kuuluvaid punkte. Sel juhul saame sama vahemaa d.
Tasapinna määramine geomeetrias
Joondevahelise kauguse küsimust käsitleti üksikasjalikult eespool. Nüüd näitame, kuidas leida paralleelsete tasandite vaheline kaugus.
Igaüks esindab seda, mis lennuk on. Matemaatilise definitsiooni järgi on määratud geomeetriline element punktide kogum. Veelgi enam, kui koostate nende punktide abil kõik võimalikud vektorid, on need kõik risti ühe vektoriga. Viimast nimetatakse tavaliselt tasapinna normaalseks.
Tasapinna võrrandi täpsustamiseks kolmemõõtmelises ruumis kasutatakse kõige sagedamini võrrandi üldkuju. See näeb välja selline:
Ax + By + Cz + D=0.
Kus suured ladina tähed on mõned numbrid. Sellist tasapinna võrrandit on mugav kasutada, kuna selles on selgesõnaliselt antud normaalvektori koordinaadid. Need on A, B, C.
Lihtne on näha, et kaks tasapinda on paralleelsed ainult siis, kui nende normaalsed on paralleelsed.
Kuidas leida kaugust kahe paralleelse tasapinna vahel?
Määratud vahemaa määramiseks peaksite selgelt aru saama, mis on kaalul. Üksteisega paralleelsete tasapindade vaheline kaugus on nendega risti oleva lõigu pikkus. Selle lõigu otsad kuuluvad tasapindadele.
Selliste probleemide lahendamise algoritm on lihtne. Selleks peate leidma absoluutselt iga punkti koordinaadid, mis kuuluvad ühte kahest tasapinnast. Seejärel peaksite kasutama järgmist valemit:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Kuna kaugus on positiivne väärtus, on lugejas mooduli märk. Kirjutatud valem on universaalne, kuna see võimaldab teil arvutada kauguse tasapinnast absoluutselt iga geomeetrilise elemendini. Piisab, kui tead selle elemendi ühe punkti koordinaate.
Täielikkuse huvides märgime, et kui kahe tasandi normaalid ei ole üksteisega paralleelsed, siis sellised tasandid ristuvad. Nende vaheline kaugus on siis null.
Tasapindadevahelise kauguse määramise probleem
On teada, et kaks tasandit on antud järgmiste avaldistega:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
On vaja tõestada, et tasandid on paralleelsed, ja määrata ka nendevaheline kaugus.
Ülesande esimesele osale vastamiseks peate viima esimese võrrandi üldkujule. Pange tähele, et see on esitatud nn võrrandi kujul segmentides. Korrutage selle vasak ja parem osa 15-ga ja liigutage kõik liikmed võrrandi ühele küljele, saame:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Kirjutame välja kahe tasapinna normaalvektori koordinaadid:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
On näha, et kui n2¯ korrutada 5-ga, siis saame täpselt koordinaadid n1¯. Seega vaadeldavad lennukid onparalleelselt.
Paralleeltasandite vahelise kauguse arvutamiseks valige neist esimese suvaline punkt ja kasutage ül altoodud valemit. Näiteks võtame esimesele tasapinnale kuuluva punkti (0, 0, 1). Siis saame:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Soovitav kaugus on 31 mm.
Tasapinna ja joone vaheline kaugus
Antud teoreetilised teadmised võimaldavad lahendada ka sirge ja tasapinna vahelise kauguse määramise probleemi. Eelpool on juba mainitud, et tasanditevahelisteks arvutusteks kehtiv valem on universaalne. Seda saab kasutada ka probleemi lahendamiseks. Selleks valige lihts alt suvaline punkt, mis kuulub antud reale.
Peamine probleem vaadeldavate geomeetriliste elementide vahelise kauguse määramisel on nende paralleelsuse tõendamine (kui mitte, siis d=0). Paralleelsust on lihtne tõestada, kui arvutada sirgele normaal- ja suunavektori skalaarkorrutis. Kui vaadeldavad elemendid on paralleelsed, võrdub see korrutis nulliga.
