Et mõista, mis on funktsiooni äärmuspunktid, pole üldse vaja teada esimese ja teise tuletise olemasolust ning mõista nende füüsilist tähendust. Kõigepe alt peate mõistma järgmist:
- funktsiooni äärmuslik maksimeerib või, vastupidi, minimeerib funktsiooni väärtuse suvaliselt väikeses piirkonnas;
- Ekstreemumipunktis ei tohiks olla funktsioonikatkestusi.
Ja nüüd sama, ainult lihtsas keeles. Vaadake pastapliiatsi otsa. Kui pliiats asetatakse vertikaalselt, kirjutusotsaga ülespoole, on palli äärmuslik punkt - kõrgeim punkt. Sel juhul räägime maksimumist. Kui nüüd keerata pliiats kirjutusotsaga alla, siis on palli keskel juba funktsiooni miinimum. Siin toodud joonise abil saate ette kujutada kirjatarvete pliiatsi loetletud manipuleerimisi. Seega on funktsiooni äärmused alati kriitilised punktid: selle maksimumid või miinimumid. Diagrammi külgnev osa võib olla meelevaldselt terav või sile, kuid see peab olema mõlemal küljel, ainult sel juhul on punkt ekstreemum. Kui diagramm on ainult ühel küljel, ei ole see punkt ekstreemum, isegi kui see on ühel küljeläärmuslikud tingimused on täidetud. Nüüd uurime funktsiooni äärmusi teaduslikust vaatenurgast. Selleks, et punkti saaks pidada ekstreemumiks, on vajalik ja piisav, et:
- esimene tuletis oli võrdne nulliga või seda punktis ei eksisteerinud;
- esimene tuletis muutis sel hetkel oma märki.
Tingimust tõlgendatakse kõrgema järgu tuletiste seisukohast mõnevõrra erinev alt: punktis diferentseeruva funktsiooni jaoks piisab, kui on paaritu järgu tuletis, mis ei võrdu nulliga, samas kui kõik madalamat järku tuletised peavad eksisteerima ja olema võrdsed nulliga. See on kõrgema matemaatika õpikute teoreemide lihtsaim tõlgendus. Kuid kõige tavalisemate inimeste jaoks tasub seda punkti selgitada näitega. Aluseks on tavaline parabool. Broneerige kohe, nullpunktis on sellel miinimum. Natuke matemaatikat:
- esimene tuletis (X2)|=2X, nullpunkti korral 2X=0;
- teine tuletis (2X)|=2, nullpunkti jaoks 2=2.
See on lihtne näide tingimustest, mis määravad funktsiooni ekstreemumid nii esimest järku kui ka kõrgemat järku tuletiste puhul. Sellele võib lisada, et teine tuletis on samasugune paaritu järgu tuletis, mis ei ole võrdne nulliga, millest räägiti veidi kõrgemal. Kui tegemist on kahe muutuja funktsiooni äärmustega, peavad tingimused olema täidetud mõlema argumendi jaoks. Mill altoimub üldistus, siis kasutatakse osatuletisi. See tähendab, et ekstreemumi olemasoluks punktis on vajalik, et mõlemad esimest järku tuletised oleksid võrdsed nulliga või vähem alt ühte neist ei eksisteeri. Ekstreemumi olemasolu piisavaks uurimiseks uuritakse avaldist, mis on teist järku tuletiste korrutise ja funktsiooni segatud teist järku tuletise ruudu vahe. Kui see avaldis on suurem kui null, siis on ekstreemum ja kui on null, jääb küsimus lahtiseks ja on vaja täiendavaid uuringuid.
