Matemaatika on oma olemuselt abstraktne teadus, kui eemalduda elementaarsetest mõistetest. Nii saate paaril õunal visuaalselt kujutada matemaatika aluseks olevaid põhitehteid, kuid niipea, kui tegevustasand laieneb, muutuvad need objektid ebapiisavaks. Kas keegi on proovinud õuntel kujutada tehteid lõpmatu hulgaga? Selles on asi, ei. Mida keerulisemaks muutusid mõisted, millega matemaatika oma hinnangutes opereerib, seda problemaatilisem tundus nende visuaalne väljendus, mis oleks mõeldud mõistmist hõlbustama. Kuid nii kaasaegsete õpilaste kui ka teaduse õnneks üldiselt tuletati Euleri ringid, mille näiteid ja võimalusi käsitleme allpool.
Natuke ajalugu
17. aprillil 1707 kinkis maailm teadusele Leonhard Euleri, tähelepanuväärse teadlase, kelle panust matemaatikasse, füüsikasse, laevaehitusse ja isegi muusikateooriasse ei saa ülehinnata.
Tema teoseid tunnustatakse ja nõutakse tänapäevani kogu maailmas, hoolimata sellest, et teadus ei seisa paigal. Eriti huvitav on asjaolu, et härra Euler võttis otseselt osa Venemaa kõrgema matemaatika koolkonna kujunemisest, seda enam, et saatuse tahtel naasis ta meie osariiki kaks korda. Teadlasel oli ainulaadne võime luua algoritme, mis olid oma loogiliselt läbipaistvad, lõigates ära kõik üleliigse ja liikudes võimalikult lühikese ajaga üldisest konkreetsele. Me ei loetle kõiki tema teeneid, kuna see võtab palju aega ja pöördume otse artikli teema juurde. Just tema soovitas kasutada komplektide operatsioonide graafilist esitust. Euleri ringid suudavad visualiseerida mis tahes, isegi kõige keerukama probleemi lahendust.
Mis mõte sellel on?
Praktikas saab Euleri ringe, mille skeem on näidatud allpool, kasutada mitte ainult matemaatikas, kuna mõiste "hulk" on omane mitte ainult sellele distsipliinile. Seega rakendatakse neid eduk alt juhtimises.
Ül altoodud diagramm näitab hulkade A (irratsionaalarvud), B (ratsionaalarvud) ja C (naturaalarvud) seoseid. Ringid näitavad, et hulk C sisaldub hulgas B, samas kui hulk A ei ristu nendega mingil moel. Näide on kõige lihtsam, kuid see selgitab selgelt "hulkade suhete" spetsiifikat, mis on tegelikuks võrdlemiseks liiga abstraktsed, kasvõi ainult nende lõpmatuse tõttu.
Loogikaalgebra
See piirkondmatemaatiline loogika opereerib väidetega, mis võivad olla nii tõesed kui ka valed. Näiteks elementaarist: arv 625 jagub 25-ga, arv 625 jagub 5-ga, arv 625 on algarvuga. Esimene ja teine väide on tõesed, viimane aga vale. Muidugi on praktikas kõik keerulisem, kuid olemus on selgelt näidatud. Ja loomulikult on lahendusse jälle kaasatud Euleri ringid, näited nende kasutamisega on liiga mugavad ja visuaalsed, et neid ignoreerida.
Natuke teooriat:
- Olgu hulgad A ja B olemas ja ei ole tühjad, siis on nende jaoks defineeritud järgmised lõikumis-, ühenduse- ja eitusetehted.
- Hulgade A ja B ristumiskoht koosneb elementidest, mis kuuluvad samaaegselt nii hulka A kui ka hulka B.
- Hulgade A ja B liit koosneb elementidest, mis kuuluvad hulka A või hulka B.
- Hulga A eitus on hulk, mis koosneb elementidest, mis hulka A ei kuulu.
Seda kõike kujutavad loogikas taas Euleri ringid, sest nende abiga muutub iga ülesanne, olenemata keerukusastmest, ilmseks ja visuaalseks.
Loogikaalgebra aksioomid
Oletame, et 1 ja 0 eksisteerivad ja on määratletud komplektis A, siis:
- hulga A eituse eitus on seatud A;
- hulga A liit mitte_A-ga on 1;
- hulga A liit 1-ga on 1;
- hulga A liit iseendaga on komplekt A;
- komplekti A liit0-ga on komplekt A;
- hulga A ja not_A ristumispunkt on 0;
- hulga A lõikepunkt iseendaga on seatud A;
- hulga A ja 0 lõikepunkt on 0;
- hulga A ja 1 lõikepunkt on seatud A.
Loogikaalgebra põhiomadused
Olgu komplektid A ja B olemas ja ei ole tühjad, siis:
- hulkade A ja B ristumiskohale ja ühendusele kehtib kommutatsiooniseadus;
- hulkade A ja B lõikele ja ühendusele kehtib kombinatsiooniseadus;
- hulkade A ja B ristumiskohale ja ühendusele kehtib jaotusseadus;
- hulkade A ja B lõikepunkti eitus on hulkade A ja B eituste ristumiskoht;
- hulkade A ja B ühenduse eitus on hulkade A ja B eituste liit.
Järgmine näitab Euleri ringjooni, näiteid hulkade A, B ja C ristmike ja liite kohta.
Väljavaated
Leonhard Euleri töid peetakse õigustatult kaasaegse matemaatika aluseks, kuid nüüd kasutatakse neid eduk alt suhteliselt hiljuti ilmunud inimtegevuse valdkondades, võtame näiteks ettevõtte juhtimise: Euleri ringid, näited ja graafikud kirjeldavad selle mehhanisme. arendusmudelid, olgu selleks siis vene või inglise-ameerika versioon.
