Tasapindade paralleelsus on mõiste, mis ilmus esimest korda Eukleidilise geomeetrias üle kahe tuhande aasta tagasi.
Klassikalise geomeetria peamised omadused
Selle teadusliku distsipliini sündi seostatakse Vana-Kreeka mõtleja Eukleidese kuulsa teosega, kes kirjutas kolmandal sajandil eKr brošüüri "Algused". Kolmeteistkümneks raamatuks jagatud „Elements“oli kogu iidse matemaatika kõrgeim saavutus ja esitas tasapinnaliste kujundite omadustega seotud põhipostulaadid.
Tasapindade paralleelsuse klassikaline tingimus sõnastati järgmiselt: kahte tasandit võib nimetada paralleelseks, kui neil ei ole üksteisega ühiseid punkte. See oli eukleidilise töö viies postulaat.
Rööptasandite omadused
Eukleidilises geomeetrias on neid tavaliselt viis:
Esimene omadus (kirjeldab tasandite paralleelsust ja nende unikaalsust). Ühe punkti kaudu, mis asub väljaspool teatud tasapinda, saame joonistada ühe ja ainult ühe sellega paralleelse tasandi
- Teine omadus (nimetatakse ka kolme paralleeli omaduseks). Kui kaks lennukit onparalleelselt kolmandaga on nad ka üksteisega paralleelsed.
Kolmas omadus (teisisõnu nimetatakse seda tasapindade paralleelsust lõikuva sirge omaduseks). Kui üks sirge lõikub ühte neist paralleelsetest tasapindadest, lõikub see ka teisega
Neljas omadus (üksteisega paralleelsetele tasapindadele lõigatud sirgjoonte omadus). Kui kaks paralleelset tasapinda lõikuvad kolmandaga (mis tahes nurga all), on ka nende lõikejooned paralleelsed
Viies omadus (omadus, mis kirjeldab erinevate paralleelsete sirgete lõike, mis on suletud üksteisega paralleelsete tasapindade vahele). Nende paralleelsete sirgete lõigud, mis on ümbritsetud kahe paralleelse tasandi vahel, on tingimata võrdsed
Tasapindade paralleelsus mitte-eukleidilises geomeetrias
Sellised lähenemised on eelkõige Lobatševski ja Riemanni geomeetria. Kui Eukleidese geomeetria realiseeriti lamedates ruumides, siis Lobatševski geomeetria realiseeriti negatiivselt kõverates ruumides (lihts alt kaardus) ja Riemanni omas leiab see teostuse positiivselt kõverates ruumides (teisisõnu sfäärides). Väga levinud on stereotüüpne arvamus, et Lobatševski paralleeltasandid (ja ka sirged) lõikuvad.
See pole siiski õige. Tõepoolest, hüperboolse geomeetria sündi seostati Eukleidese viienda postulaadi tõestuse ja muutusega. Kuid paralleelsete tasandite ja joonte definitsioon viitab sellele, et need ei saa ristuda ei Lobatševski ega Riemanni puhul, olenemata sellest, millistes ruumides need realiseeritakse. Ja vaadete ja sõnastuste muutus oli järgmine. Postulaat, et punktist, mis ei asu antud tasapinnal, saab tõmmata ainult ühe paralleelse tasandi, on asendatud teise sõnastusega: punkti kaudu, mis ei asu antud tasapinnal, on vähem alt kaks sirget, mis asetsevad antud tasapinnaga ja ärge lõikuge sellega.
