Tasapindadevahelised nurgad. Kuidas määrata tasapindade vahelist nurka

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Ruumis geomeetriliste ülesannete lahendamisel on sageli selliseid, kus on vaja arvutada erinevate ruumiobjektide vahelisi nurki. Selles artiklis käsitleme tasapindade ja nende ja sirge vaheliste nurkade leidmise küsimust.

Joon ruumis

On teada, et absoluutselt iga tasapinna sirget saab määratleda järgmise võrrandiga:

y=ax + b

Siin a ja b on mõned arvud. Kui kujutada ruumis sirget sama avaldisega, siis saame z-teljega paralleelse tasapinna. Ruumijoone matemaatiliseks defineerimiseks kasutatakse teistsugust lahendusmeetodit kui kahemõõtmelisel juhul. See seisneb mõiste "suunavektori" kasutamises.

Sirge suunav vektor näitab selle orientatsiooni ruumis. See parameeter kuulub reale. Kuna ruumis on paralleelselt lõpmatu hulk vektoreid, siis vaadeldava geomeetrilise objekti üheselt määramiseks on vaja teada ka selle juurde kuuluva punkti koordinaate.

Oletame, et see on olemaspunkt P(x₀; y₀; z_{0) ja suunavektor v¯(a; b; c), siis saab sirgjoone võrrandi esitada järgmiselt:}

(x; y; z)=P + αv¯ või

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Seda avaldist nimetatakse sirge parameetriliseks vektorvõrrandiks. Koefitsient α on parameeter, mis võib võtta absoluutselt mis tahes tegelikke väärtusi. Joone koordinaate saab selgesõnaliselt esitada, laiendades seda võrdsust:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Tasapinna võrrand

Tasapinna võrrandi kirjutamiseks ruumis on mitu vormi. Siin käsitleme ühte neist, mida kasutatakse kõige sagedamini kahe tasandi või ühe tasapinna ja sirge vahelise nurga arvutamisel.

Kui on teada mõni vektor n¯(A; B; C), mis on risti soovitud tasapinnaga, ja punkt P(x₀; y ₀; z_{0), mis sellesse kuulub, siis viimase üldvõrrand on:}

Ax + By + Cz + D=0 kus D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Oleme jätnud selle väljendi tuletamise välja, mis on üsna lihtne. Siinkohal märgime vaid seda, et teades tasandi võrrandi muutujate koefitsiente, on lihtne leida kõik vektorid, mis on sellega risti. Viimaseid nimetatakse normaalväärtusteks ja neid kasutatakse kalde ja tasapinna vaheliste nurkade arvutamisel.suvalised analoogid.

Tasapindade asukoht ja nendevahelise nurga valem

Oletame, et on kaks lennukit. Millised on võimalused nende suhteliseks asukohaks ruumis. Kuna tasapinnal on kaks lõpmatut mõõdet ja üks null, on nende vastastikuseks orientatsiooniks võimalik ainult kaks võimalust:

nad on üksteisega paralleelsed;
võivad kattuda.

Tasapindade vaheline nurk on indeks nende suunavektorite vahel, st nende normaalsete n₁¯ ja n_2¯.

Ilmselt, kui need on tasapinnaga paralleelsed, siis on nende lõikenurk null. Kui need ristuvad, on see nullist erinev, kuid alati terav. Ristmiku erijuhtum on nurk 90o, kui tasapinnad on üksteisega risti.

Nurka α n₁¯ ja n_{2¯ vahel on lihtne määrata nende vektorite skalaarkorrutise põhjal. See tähendab, et valem toimub:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Oletame, et nende vektorite koordinaadid on: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Seejärel, kasutades skalaarkorrutise arvutamise valemeid ja vektorite mooduleid nende koordinaatide kaudu, saab ül altoodud avaldise ümber kirjutada järgmiselt:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Moodul lugejas ilmus seetõttu, et välistada nürinurkade väärtused.

Ülesannete lahendamise näited tasapindade lõikenurga määramiseks

Teades, kuidas leida tasapindade vahelist nurka, lahendame järgmise ülesande. Antud on kaks tasapinda, mille võrrandid on:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Mis on tasapindade vaheline nurk?

Ülesande küsimusele vastamiseks pidagem meeles, et tasandi üldvõrrandis olevate muutujate koefitsiendid on juhtvektori koordinaadid. Näidatud tasandite jaoks on meil järgmised nende normaalkoordinaadid:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Nüüd leiame nende vektorite ja nende moodulite skalaarkorrutise, meil on:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Nüüd saate leitud numbrid asendada eelmises lõigus toodud valemiga. Saame:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Saadud väärtus vastab tingimuses määratud tasandite lõike teravnurgaleülesanded.

Kaaluge nüüd teist näidet. Antud kaks tasapinda:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Kas need ristuvad? Kirjutame välja nende suunavektorite koordinaatide väärtused, arvutame nende skalaarkorrutise ja moodulid:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Siis on ristumisnurk:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

See nurk näitab, et tasapinnad ei ristu, vaid on paralleelsed. Seda, et need omavahel ei sobi, on lihtne kontrollida. Võtame selleks suvalise punkti, mis kuulub neist esimesse, näiteks P(0; 3; 2). Asendage selle koordinaadid teise võrrandiga, saame:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

See tähendab, et punkt P kuulub ainult esimesele tasapinnale.

Nii et kaks tasapinda on paralleelsed, kui nende normaalväärtused on.

Tasand ja sirgjoon

Tasapinna ja sirge suhtelise asukoha arvestamisel on mitu võimalust rohkem kui kahe tasapinna puhul. See asjaolu on seotud tõsiasjaga, et sirgjoon on ühemõõtmeline objekt. Joon ja tasapind võivad olla:

vastastikku paralleelsed, sel juhul tasapind sirgega ei lõiku;
viimane võib kuuluda tasapinnale, samas on see ka sellega paralleelne;
mõlemad objektid saavadlõikuvad mingi nurga all.

Vaatleme esm alt viimast juhtumit, kuna see nõuab ristumisnurga mõiste kasutuselevõttu.

Sirge ja tasapind, nendevaheline nurk

Kui sirge lõikub tasapinnaga, nimetatakse seda selle suhtes kaldu. Lõikepunkti nimetatakse nõlva aluseks. Nende geomeetriliste objektide vahelise nurga määramiseks on vaja igast punktist tasapinnaga risti langetada sirge. Siis moodustavad risti lõikepunkt tasapinnaga ja kaldjoone lõikekoht sellega sirge. Viimast nimetatakse esialgse sirge projektsiooniks vaadeldavale tasapinnale. Teravnurk sirge ja selle projektsiooni vahel on nõutav.

Tasapinna ja kaldnurga vahelise nurga mõnevõrra segane määratlus selgitab allolevat joonist.

Siin on nurk ABO nurk sirge AB ja tasandi a vahel.

Selle valemi üleskirjutamiseks vaadake näidet. Olgu sirgjoon ja tasapind, mida kirjeldavad võrrandid:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Nende objektide soovitud nurka on lihtne arvutada, kui leiate sirge ja tasandi suunavektorite vahelise skalaarkorrutise. Saadud teravnurk tuleks lahutada 90o, siis saadakse see sirge ja tasapinna vahel.

Ül altoodud joonisel on näidatud kirjeldatud leidmise algoritmarvestatud nurk. Siin β on nurk normaalse ja sirge vahel ning α on sirge ja selle tasapinnale projektsiooni vahel. On näha, et nende summa on 90o.

Eespool esitati valem, mis vastab küsimusele, kuidas leida tasapindade vahelist nurka. Nüüd anname vastava avaldise sirge ja tasandi puhul:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Moodul valemis võimaldab arvutada ainult teravnurki. Arkosiini asemel tekkis arkosiini funktsioon, kuna trigonomeetriliste funktsioonide vahel kasutati vastavat redutseerimisvalemit (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Probleem: tasapind lõikub sirgega

Nüüd näitame, kuidas ül altoodud valemiga töötada. Lahendame ülesande: on vaja arvutada nurk y-telje ja võrrandiga antud tasapinna vahel:

y - z + 12=0

See lennuk on pildil näidatud.

Näete, et see lõikab y- ja z-telge vastav alt punktides (0; -12; 0) ja (0; 0; 12) ning on paralleelne x-teljega.

Sirge y suunavektoril on koordinaadid (0; 1; 0). Antud tasapinnaga risti olevat vektorit iseloomustavad koordinaadid (0; 1; -1). Rakendame sirge ja tasapinna lõikenurga valemit, saame:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Probleem: tasapinnaga paralleelne sirgjoon

Nüüd otsustamesarnaselt eelmisele probleemile, mille küsimus on püstitatud teisiti. Tasapinna ja sirge võrrandid on teada:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Tuleb välja selgitada, kas need geomeetrilised objektid on üksteisega paralleelsed.

Meil on kaks vektorit: sirge suund on (0; 2; 2) ja tasandi suund on (1; 1; -1). Leidke nende punktitoode:

01 + 12 - 12=0

Saadud null näitab, et nende vektorite vaheline nurk on 90o, mis tõestab, et sirge ja tasapind on paralleelsed.

Nüüd kontrollime, kas see sirge on ainult paralleelne või asub ka tasapinnal. Selleks vali joonel suvaline punkt ja kontrolli, kas see kuulub tasapinnale. Näiteks võtame λ=0, siis punkt P(1; 0; 0) kuulub sirgele. Asendage tasandi P võrrand:

1 - 3=-2 ≠ 0

Punkt P ei kuulu tasapinnale, mis tähendab, et ka terve sirge ei asu selles.

Kus on oluline teada vaadeldavate geomeetriliste objektide vahelisi nurki?

Ül altoodud valemid ja probleemide lahendamise näited ei paku ainult teoreetiliselt huvi. Neid kasutatakse sageli reaalsete kolmemõõtmeliste kujundite, näiteks prismade või püramiidide oluliste füüsikaliste suuruste määramiseks. Kujundite mahtude ja nende pindade pindalade arvutamisel on oluline osata määrata tasapindade vahelist nurka. Veelgi enam, kui sirge prisma puhul on võimalik neid valemeid määramiseks mitte kasutadamääratud väärtused, siis mis tahes tüüpi püramiidi puhul on nende kasutamine vältimatu.

Allpool vaatleme näidet ül altoodud teooria kasutamisest ruudukujulise alusega püramiidi nurkade määramiseks.

Püramiid ja selle nurgad

Alloleval joonisel on kujutatud püramiidi, mille põhjas asub ruut küljega a. Figuuri kõrgus on h. Tuleb leida kaks nurka:

külgpinna ja aluse vahel;
külgribi ja põhja vahel.

Ülesande lahendamiseks tuleb esm alt sisestada koordinaatsüsteem ja määrata vastavate tippude parameetrid. Joonisel on näha, et koordinaatide alguspunkt langeb kokku ruudu aluse keskpunktis oleva punktiga. Sel juhul kirjeldatakse alustasapinda võrrandiga:

z=0

See tähendab, et iga x ja y puhul on kolmanda koordinaadi väärtus alati null. Külgtasand ABC lõikub z-teljega punktis B(0; 0; h) ja y-teljega punktis koordinaatidega (0; a/2; 0). See ei ristu x-teljega. See tähendab, et ABC tasandi võrrandi saab kirjutada järgmiselt:

y / (a/2) + z / h=1 või

2hy + az - ah=0

Vektor AB¯ on külgserv. Selle algus- ja lõppkoordinaadid on: A(a/2; a/2; 0) ja B(0; 0; h). Seejärel vektori enda koordinaadid:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Leidsime kõik vajalikud võrrandid ja vektorid. Nüüd jääb üle kasutada vaadeldavaid valemeid.

Kõigepe alt arvutame püramiidis välja nurga aluse tasandite vahelja pool. Vastavad normaalvektorid on: n₁¯(0; 0; 1) ja n_{2¯(0; 2h; a). Siis on nurk järgmine:}