Silinder on üks lihtsatest kolmemõõtmelistest kujunditest, mida õpitakse kooli geomeetria kursusel (sektsiooni tahke geomeetria). Sel juhul tekivad sageli probleemid silindri ruumala ja massi arvutamisel, samuti selle pindala määramisel. Vastused märgitud küsimustele on antud selles artiklis.
Mis on silinder?
Enne kui asuda vastama küsimusele, milline on silindri mass ja maht, tasub mõelda, mis see ruumikujund endast kujutab. Tuleb kohe märkida, et silinder on kolmemõõtmeline objekt. See tähendab, et ruumis saate mõõta kolme selle parameetrit mööda iga telge Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Tegelikult piisab silindri mõõtmete ühemõtteliseks määramiseks ainult selle kahe parameetri teadmisest.
Silinder on kahest ringist ja silindrilisest pinnast moodustatud kolmemõõtmeline kujund. Selle objekti selgemaks kujutamiseks piisab, kui võtta ristkülik ja hakata seda pöörama ümber selle mis tahes külje, millest saab pöörlemistelg. Sel juhul kirjeldab kujundit pöörlev ristkülikpöörlemine – silinder.
Kaks ümarat pinda nimetatakse silindri alusteks, neid iseloomustab teatud raadius. Aluste vahelist kaugust nimetatakse kõrguseks. Need kaks alust on omavahel ühendatud silindrilise pinnaga. Sirget, mis läbib mõlema ringi keskpunkte, nimetatakse silindri teljeks.
Maht ja pindala
Nagu ül altoodust näete, on silinder määratletud kahe parameetriga: kõrgus h ja selle aluse raadius r. Neid parameetreid teades on võimalik välja arvutada kõik muud vaadeldava keha omadused. Allpool on toodud peamised:
- Aluste pindala. See väärtus arvutatakse järgmise valemiga: S1=2pir2, kus pi on pi 3, 14. Number 2 valemis ilmub, kuna silindril on kaks identset alust.
- Silindriline pindala. Seda saab arvutada järgmiselt: S2=2pirh. Seda valemit on lihtne mõista: kui silindriline pind lõigatakse vertikaalselt ühest alusest teise ja laiendatakse, siis saadakse ristkülik, mille kõrgus võrdub silindri kõrgusega ja laius vastab kolmemõõtmelise kujundi aluse ümbermõõt. Kuna saadud ristküliku pindala on selle külgede korrutis, mis on võrdsed h ja 2pir, saadakse ül altoodud valem.
- Silindri pindala. See on võrdne S1 ja S2 pindalade summaga, saame: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Helitugevus. Seda väärtust on lihtne leida, peate lihts alt korrutama ühe aluse pindala joonise kõrgusega: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Silindri massi määramine
Lõpuks tasub minna otse artikli teema juurde. Kuidas määrata silindri massi? Selleks peate teadma selle mahtu, mille arvutamise valem esitati ülal. Ja aine tihedus, millest see koosneb. Mass määratakse lihtsa valemiga: m=ρV, kus ρ on vaadeldava objekti moodustava materjali tihedus.
Tiheduse mõiste iseloomustab ruumi ruumalaühikus oleva aine massi. Näiteks. On teada, et raua tihedus on suurem kui puidul. See tähendab, et raua ja puidu võrdse mahu korral on esimesel palju suurem mass kui teisel (umbes 16 korda).
Vasesilindri massi arvutamine
Mõelge lihtsale probleemile. On vaja leida vasest valmistatud silindri mass. Kindluse mõttes olgu silindri läbimõõt 20 cm ja kõrgus 10 cm.
Enne probleemi lahendamise alustamist peaksite tegelema lähteandmetega. Silindri raadius on võrdne poolega selle läbimõõdust, mis tähendab r=20/2=10 cm, samas kui kõrgus on h=10 cm Kuna ülesandes käsitletav silinder on valmistatud vasest, siis viidates võrdlusandmed, kirjutame välja selle materjali tiheduse väärtuse: ρ=8, 96 g/cm3 (temperatuuril 20 °C).
Nüüd võite alustada probleemi lahendamisega. Kõigepe alt arvutame helitugevuse: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Siis on silindri mass: m=ρV=8,963140=28134 grammi ehk ligikaudu 28 kilogrammi.
Pöörake tähelepanu ühikute mõõtmetele nende kasutamisel vastavates valemites. Seega esitati ülesandes kõik parameetrid sentimeetrites ja grammides.
Homogeensed ja õõnsad silindrid
Eelmiselt saadud tulemusest on näha, et suhteliselt väikeste mõõtmetega (10 cm) vasest silindril on suur mass (28 kg). See on tingitud mitte ainult sellest, et see on valmistatud raskest materjalist, vaid ka sellest, et see on homogeenne. Seda asjaolu on oluline mõista, kuna ül altoodud massi arvutamise valemit saab kasutada ainult siis, kui silinder on täielikult (väljast ja seest) valmistatud samast materjalist, see tähendab, et see on homogeenne.
Praktikas kasutatakse sageli õõnsaid silindreid (näiteks vee jaoks silindrilised tünnid). See tähendab, et need on valmistatud mõne materjali õhukestest lehtedest, kuid seest on need tühjad. Õõnessilindri puhul ei saa massi arvutamiseks näidatud valemit kasutada.
Õõnessilindri massi arvutamine
Huvitav on välja arvutada, millise massi saab vassilinder, kui see on seest tühi. Näiteks tehke see õhukesest vaskplekist, mille paksus on ainult d=2 mm.
Selle probleemi lahendamiseks peate leidma vase enda ruumala, millest objekt on valmistatud. Mitte silindri maht. Kuna paksusleht on silindri mõõtmetega võrreldes väike (d=2 mm ja r=10 cm), siis saab vase ruumala, millest objekt on valmistatud, korrutades kogu silindri pindala vasklehe paksuse, saame: V=dS 3=d2pir(r+h). Asendades eelmise ülesande andmed, saame: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Õõnessilindri massi saab saada, korrutades saadud vase mahu, mis oli selle valmistamiseks vajalik, vase tihedusega: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g või 2,3 kg. See tähendab, et vaadeldav õõnes silinder kaalub 12 (28, 1/2, 3) korda vähem kui homogeenne.
