Matemaatika võrrandite lahendamisel on eriline koht. Sellele protsessile eelneb mitu tundi teooria õppimist, mille jooksul õpib võrrandeid lahendama, nende kuju määrama ja oskuse täielikku automatiseerimist viima. Kuid juurte otsimine ei ole alati mõttekas, kuna neid ei pruugi lihts alt eksisteerida. Juurte leidmiseks on spetsiaalsed meetodid. Selles artiklis analüüsime põhifunktsioone, nende ulatust ja juhtumeid, kus nende juured puuduvad.
Millisel võrrandil pole juuri?
Võrrandil pole juuri, kui puuduvad sellised reaalsed argumendid x, mille puhul võrrand on identselt tõene. Mittespetsialisti jaoks tundub see sõnastus, nagu enamik matemaatilisi teoreeme ja valemeid, väga ebamäärane ja abstraktne, kuid see on teoreetiline. Praktikas muutub kõik äärmiselt lihtsaks. Näiteks: võrrandil 0x=-53 pole lahendust, kuna pole sellist arvu x, mille korrutis nulliga annaks midagi muud kui null.
Nüüd vaatleme kõige elementaarsemaid võrrandite tüüpe.
1. Lineaarvõrrand
Võrrandit nimetatakse lineaarseks, kui selle parem- ja vasakpoolne osa on esitatud lineaarsete funktsioonidena: ax + b=cx + d või üldistatud kujul kx + b=0. Kus on teada a, b, c, d arvud ja x on tundmatu suurus. Millisel võrrandil pole juuri? Lineaarvõrrandite näited on toodud alloleval joonisel.
Põhimõtteliselt lahendatakse lineaarvõrrandid nii, et lihts alt liigutatakse arvu osa ühte ossa ja x-i sisu teise ossa. Selgub võrrand kujul mx \u003d n, kus m ja n on arvud ning x on tundmatu. x leidmiseks piisab, kui jagada mõlemad osad m-ga. Siis x=n/m. Põhimõtteliselt on lineaarvõrranditel ainult üks juur, kuid on juhtumeid, kus juuri on kas lõpmatult palju või pole üldse. Kui m=0 ja n=0, on võrrand kujul 0x=0. Sellise võrrandi lahenduseks on absoluutselt iga arv.
Aga millisel võrrandil pole juuri?
Kui m=0 ja n=0, pole võrrandil reaalarvude hulgast pärit juuri. 0x=-1; 0x=200 – nendel võrranditel pole juuri.
2. Ruutvõrrand
Ruudvõrrand on võrrand kujul ax2 + bx + c=0, kui a=0. Kõige tavalisem ruutvõrrandi lahendamise viis on selle lahendamine diskriminandi kaudu. Ruutvõrrandi diskriminandi leidmise valem: D=b2 - 4ac. Siis on kaks juurt x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Kui D > 0 on võrrandil kaks juurt, kui D=0 - üks juur. Kuid millisel ruutvõrrandil pole juuri?Lihtsaim viis ruutvõrrandi juurte arvu jälgimiseks on funktsiooni graafikul, milleks on parabool. > 0 juures on oksad suunatud ülespoole, numbril < 0 lastakse oksad alla. Kui diskriminant on negatiivne, pole sellisel ruutvõrrandil reaalarvude hulgas juuri.
Saate ka visuaalselt määrata juurte arvu ilma diskriminanti arvutamata. Selleks peate leidma parabooli tipu ja määrama, millises suunas oksad on suunatud. Tipu x-koordinaadi saate määrata valemiga: x0 =-b / 2a. Sel juhul leitakse tipu y-koordinaat lihts alt asendades algsesse võrrandisse väärtuse x0.
Ruutvõrrandil x2 – 8x + 72=0 pole juuri, kuna sellel on negatiivne diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. See tähendab, et parabool ei puuduta x-telge ja funktsioon ei võta kunagi väärtust 0, seega pole võrrandil tegelikke juuri.
3. Trigonomeetrilised võrrandid
Trigonomeetrilisi funktsioone käsitletakse trigonomeetrilisel ringil, kuid neid saab esitada ka Descartes'i koordinaatsüsteemis. Selles artiklis vaatleme kahte põhilist trigonomeetrilist funktsiooni ja nende võrrandeid: sinx ja cosx. Kuna need funktsioonid moodustavad trigonomeetrilise ringi raadiusega 1, siis |sinx| ja |cosx| ei saa olla suurem kui 1. Millisel sinxi võrrandil pole juuri? Vaatleme pildil kujutatud funktsiooni sinx graafikutallpool.
Näeme, et funktsioon on sümmeetriline ja selle kordusperiood on 2pi. Selle põhjal võime öelda, et selle funktsiooni maksimaalne väärtus võib olla 1 ja minimaalne -1. Näiteks avaldisel cosx=5 ei ole juuri, kuna selle moodul on suurem kui üks.
See on trigonomeetriliste võrrandite lihtsaim näide. Tegelikult võib nende lahendus võtta palju lehekülgi, mille lõpus saad aru, et kasutasid vale valemit ja pead otsast peale alustama. Mõnikord võib isegi juurte õige leidmise korral unustada ODZ piiranguid arvesse võtta, mistõttu vastusesse ilmub lisajuur või intervall ja kogu vastus muutub ekslikuks. Seetõttu järgige rangelt kõiki piiranguid, sest kõik juured ei mahu ülesande ulatusse.
4. Võrrandisüsteemid
Vorrandisüsteem on võrrandite kogum, mis on kombineeritud lokkis või nurksulgudega. Lokkis sulgud tähistavad kõigi võrrandite ühist täitmist. See tähendab, et kui vähem alt ühel võrrandil pole juuri või see on teisega vastuolus, pole kogu süsteemil lahendust. Ruudusulud tähistavad sõna "või". See tähendab, et kui vähem alt ühel süsteemi võrrandil on lahendus, siis on lahendus olemas kogu süsteemil.
Süsteemi vastus nurksulgudega on üksikute võrrandite kõigi juurte kogusumma. Ja lokkis traksidega süsteemidel on ainult ühised juured. Võrrandisüsteemid võivad sisaldada täiesti erinevaid funktsioone, nii et see keerukus pole niivõimaldab teil kohe öelda, millisel võrrandil pole juuri.
Üldistused ja näpunäited võrrandi juurte leidmiseks
Probleemilistes raamatutes ja õpikutes on erinevat tüüpi võrrandeid: need, millel on juured, ja need, millel neid pole. Esiteks, kui te ei leia juuri, ärge arvake, et neid pole üldse olemas. Võib-olla tegite kuskil vea, siis kontrollige oma lahendust veel kord.
Oleme käsitlenud kõige elementaarsemaid võrrandeid ja nende tüüpe. Nüüd saate aru, millisel võrrandil pole juuri. Enamikul juhtudel pole seda üldse raske teha. Võrrandite lahendamisel edu saavutamiseks on vaja ainult tähelepanu ja keskendumist. Harjutage rohkem, see aitab teil materjalis palju paremini ja kiiremini liikuda.
Seega, võrrandil pole juuri, kui:
- lineaarvõrrandis mx=n väärtus m=0 ja n=0;
- ruutvõrrandis, kui diskriminant on väiksem kui null;
- trigonomeetrilises võrrandis kujul cosx=m / sinx=n, kui |m| > 0, |n| > 0;
- kõverate sulgudega võrrandisüsteemis, kui vähem alt ühel võrrandil pole juuri, ja nurksulgudega, kui kõigil võrranditel pole juuri.
