Stereomeetriat õppides on üheks põhiteemaks "Silinder". Külgpinda peetakse geomeetriliste ülesannete lahendamisel kui mitte peamiseks, siis oluliseks valemiks. Siiski on oluline meeles pidada definitsioone, mis aitavad teil näidetes navigeerida ja erinevate teoreemide tõestamisel.
Silindri kontseptsioon
Esm alt peame kaaluma mõnda määratlust. Alles pärast nende uurimist võib hakata kaaluma silindri külgpinna pindala valemi küsimust. Selle kirje põhjal saab arvutada muid avaldisi.
- Silindrilise pinna all mõeldakse generaatoriga kirjeldatud tasapinda, mis liigub ja jääb antud suunaga paralleelseks, libisedes piki olemasolevat kõverat.
- On olemas ka teine definitsioon: silindrilise pinna moodustavad paralleelsed sirged, mis lõikuvad antud kõverat.
- Generatiivset nimetatakse tinglikult silindri kõrguseks. Kui see liigub ümber aluse keskpunkti läbiva telje,määratud geomeetriline keha saadakse.
- Telje all on mõeldud sirgjoont, mis läbib joonise mõlemat alust.
- Silinder on stereomeetriline keha, mis on piiratud ristuva külgpinna ja kahe paralleelse tasapinnaga.
Seda kolmemõõtmelist kujundit on erinevaid:
- Circular on silinder, mille juhik on ring. Selle põhikomponendid on aluse raadius ja generatrix. Viimane on võrdne joonise kõrgusega.
- Seal on sirge silinder. Oma nime sai see generatriksi perpendikulaarsuse tõttu joonise aluste suhtes.
- Kolmas tüüp on kaldsilinder. Õpikutest leiab sellele ka teise nimetuse – "kaldaluse põhjaga ümmargune silinder". See arv määrab aluse raadiuse, minimaalse ja maksimaalse kõrguse.
- Võrdkülgse silindrina mõistetakse keha, millel on ümmarguse tasapinna kõrgus ja läbimõõt võrdne.
Sümbolid
Traditsiooniliselt nimetatakse silindri peamisi "komponente" järgmiselt:
- Aluse raadius on R (see asendab ka stereomeetrilise kujundi sama väärtust).
- Generatiivne – L.
- Kõrgus – H.
- Baaspind - Sbase (teisisõnu peate leidma määratud ringi parameetri).
- Faassilindrite kõrgused – h1, h2(minimaalne ja maksimaalne).
- Külgpind – Skülg (kui seda laiendate, saateomamoodi ristkülik).
- Stereomeetrilise kujundi maht – V.
- Kogupind – S.
Stereomeetrilise kujundi „komponendid”
Silindrit uurides mängib olulist rolli külgpindala. See on tingitud asjaolust, et see valem sisaldub mitmes teises, keerukamas. Seetõttu on vaja teoorias hästi kursis olla.
Figuuri põhikomponendid on:
- Külgpind. Nagu teate, saadakse see generaatori liikumise tõttu mööda etteantud kõverat.
- Täispind hõlmab olemasolevaid aluseid ja külgtasapinda.
- Silindri lõige on reeglina joonise teljega paralleelne ristkülik. Muidu nimetatakse seda lennukiks. Selgub, et pikkus ja laius on teiste figuuride osalise tööajaga komponendid. Niisiis, tinglikult on lõigu pikkused generaatorid. Laius – stereomeetrilise kujundi paralleelsed akordid.
- Aksiaalne lõige tähendab tasapinna asukohta läbi keha keskpunkti.
- Ja lõpuks lõplik määratlus. Puutuja on tasapind, mis läbib silindri generatriksi ja on telglõike suhtes täisnurga all. Sel juhul peab olema täidetud üks tingimus. Määratud generatriks peab sisalduma telglõike tasapinnal.
Põhivalemid silindriga töötamiseks
Selleks, et vastata küsimusele, kuidas leida silindri pindala, on vaja uurida stereomeetrilise kujundi põhilisi "komponente" ja nende leidmise valemeid.
Need valemid erinevad selle poolest, et kõigepe alt antakse kaldsilindri avaldised ja seejärel sirge silindri avaldised.
Dekonstrueeritud näited
Ülesanne 1.
On vaja teada silindri külgpinna pindala. Antud on lõigu diagonaal AC=8 cm (pealegi on see aksiaalne). Generaatoriga kokku puutudes selgub <ACD=30°
Otsus. Kuna diagonaali ja nurga väärtused on teada, siis antud juhul:
CD=ACcos 30°
Kommenteeri. Kolmnurk ACD on selles konkreetses näites täisnurkne kolmnurk. See tähendab, et CD ja AC jagamise jagatis=antud nurga koosinus. Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused leiate spetsiaalsest tabelist.
Samamoodi leiate AD väärtuse:
AD=ACsin 30°
Nüüd peate arvutama soovitud tulemuse järgmise valemi abil: silindri külgpinna pindala on võrdne "pi", joonise raadiuse ja selle kõrguse korrutamise kahekordse tulemusega. Kasutada tuleks ka teist valemit: silindri aluse pindala. See võrdub "pi" raadiuse ruuduga korrutamise tulemusega. Ja lõpuks viimane valem: kogupindala. See on võrdne kahe eelmise ala summaga.
Ülesanne 2.
Silindrid on antud. Nende maht=128n cm³. Milline silinder on väikseimtäispind?
Otsus. Kõigepe alt peate kasutama valemeid kujundi ruumala ja kõrguse leidmiseks.
Kuna silindri kogupindala on teooriast teada, tuleb rakendada selle valemit.
Kui vaadelda saadud valemit silindri pindala funktsioonina, saavutatakse minimaalne "näitaja" äärmuspunktis. Viimase väärtuse saamiseks peate kasutama diferentseerimist.
Valemeid saab vaadata tuletisinstrumentide leidmiseks spetsiaalses tabelis. Edaspidi võrdsustatakse leitud tulemus nulliga ja leitakse võrrandi lahend.
Vastus: Smin saavutatakse h=1/32 cm, R=64 cm.
Probleem 3.
Arvestades stereomeetrilist kujundit – silinder ja sektsioon. Viimane viiakse läbi nii, et see paikneb paralleelselt stereomeetrilise keha teljega. Silindril on järgmised parameetrid: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. On vaja leida sektsiooni ja telje vaheline kaugus.
Otsus.
Kuna silindri ristlõike all mõistetakse VSCM-i, st ristkülikut, siis selle külg VM=h. WMC-ga tuleb arvestada. Kolmnurk on ristkülikukujuline. Selle väite põhjal saame järeldada õige eelduse, et MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² – VM²
MK²=17²–15²
MK²=64
MK=8
Siit võime järeldada, et MK=BC=8 cm.
Järgmine samm on joonise aluse joonistamine. Tuleb arvestada saadud tasapinnaga.
AD – stereomeetrilise kujundi läbimõõt. See on paralleelne probleemi avalduses mainitud jaotisega.
BC on sirge, mis asub olemasoleva ristküliku tasapinnal.
ABCD on trapets. Konkreetsel juhul peetakse seda võrdhaarseks, kuna selle ümber on kirjeldatud ringjoont.
Kui leiate saadud trapetsi kõrguse, saate ülesande alguses antud vastuse. Nimelt: telje ja joonistatud lõigu vahelise kauguse leidmine.
Selleks peate leidma AD ja OS väärtused.
Vastus: lõik asub teljest 3 cm kaugusel.
Probleemid materjali konsolideerimisel
Näide 1.
Silinder antud. Edasises lahenduses kasutatakse külgpinda. Muud võimalused on teada. Aluse pindala on Q, telglõike pindala on M. On vaja leida S. Teisisõnu, silindri kogupindala.
Näide 2.
Silinder antud. Külgpind tuleb leida ülesande lahendamise ühes etapis. On teada, et kõrgus=4 cm, raadius=2 cm. On vaja leida stereomeetrilise kujundi kogupindala.
