Punkti ja tasapinna või sirgjoone vahelise kauguse teadmine võimaldab arvutada ruumis olevate kujundite ruumala ja pindala. Selle kauguse arvutamine geomeetrias tehakse kindlaksmääratud geomeetriliste objektide vastavate võrrandite abil. Artiklis näitame, milliste valemite abil saab seda määrata.
Sirge ja tasapinna võrrandid
Enne valemite andmist punktist tasapinna ja sirge vahelise kauguse määramiseks näitame, millised võrrandid neid objekte kirjeldavad.
Punkti määratlemiseks kasutatakse koordinaatide komplekti antud koordinaattelgede süsteemis. Siin käsitleme ainult Descartes'i ristkülikukujulist süsteemi, milles telgedel on samad ühikvektorid ja need on üksteisega risti. Tasapinnal kirjeldatakse suvalist punkti kahe koordinaadiga, ruumis - kolmega.
Sirge defineerimiseks kasutatakse erinevat tüüpi võrrandeid. Vastav alt artikli teemale esitameneist ainult kaks, mida kasutatakse kahemõõtmelises ruumis joonte määratlemiseks.
Vektorvõrrand. Sellel on järgmine märge:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Esimene liige tähistab joonel asuva teadaoleva punkti koordinaate. Teine liige on suunavektori koordinaadid, mis on korrutatud suvalise arvuga λ.
Üldvõrrand. Selle tähistus on järgmine:
Ax + By + C=0;
kus A, B, C on mõned koefitsiendid.
Üldvõrrandit kasutatakse sagedamini tasapinna sirgete määramiseks, kuid punkti ja tasapinna sirge kauguse leidmiseks on mugavam töötada vektoravaldisega.
Kolmemõõtmelise ruumi tasapinda saab kirjutada ka mitmel matemaatilisel viisil. Sellegipoolest on ülesannetes enamasti üldvõrrand, mis on kirjutatud järgmiselt:
Ax + By + Cz + D=0.
Selle tähise eeliseks teiste suhtes on see, et see sisaldab selgesõnaliselt tasapinnaga risti oleva vektori koordinaate. Seda vektorit nimetatakse selle jaoks juhendiks, see langeb kokku normaalse suunaga ja selle koordinaadid on võrdsed (A; B; C).
Pange tähele, et ül altoodud avaldis langeb kokku kahemõõtmelises ruumis sirge üldvõrrandi kirjutamise vormiga, seega peaksite ülesannete lahendamisel olema ettevaatlik, et neid geomeetrilisi objekte mitte segamini ajada.
Punkti ja sirge vaheline kaugus
Näitame, kuidas arvutada kaugust sirge japunkt kahemõõtmelises ruumis.
Olgu mingi punkt Q(x1; y1) ja rida, mille annab:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Sirge ja punkti vaheline kaugus on selle sirgega risti oleva lõigu pikkus, mis on sellele punktist Q langetatud.
Enne selle vahemaa arvutamist peaksite selle võrrandiga asendama Q-koordinaadid. Kui nad seda rahuldavad, siis Q kuulub antud reale ja vastav kaugus on võrdne nulliga. Kui punkti koordinaadid ei vii võrdsuseni, siis on geomeetriliste objektide vaheline kaugus nullist erinev. Seda saab arvutada järgmise valemi abil:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Siin P on suvaline sirge punkt, mis on vektori PQ¯ algus. Vektor u¯ on sirge juhtlõik, st selle koordinaadid on (a; b).
Selle valemi kasutamine eeldab võimalust arvutada lugejas ristkorrutis.
Probleem punkti ja joonega
Oletame, et peate leidma kauguse Q(-3; 1) ja võrrandit rahuldava sirge vahel:
y=5x -2.
Asendades avaldisesse Q koordinaadid, saame veenduda, et Q ei asu sirgel. Kui esitate selle võrrandi vektorkujul, saate rakendada ül altoodud lõigus toodud valemit d jaoks. Teeme seda nii:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Võtame nüüd sellel sirgel suvalise punkti, näiteks (0; -2) ja koostame vektori, mis algab sellest ja lõpeb punktiga Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Nüüd rakendage vahemaa määramiseks valemit, saame:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Punkti ja tasapinna kaugus
Nagu sirgjoone puhul, mõistetakse ka tasandi ja ruumipunkti vahelise kaugusena lõigu pikkust, mis antud punktist on tasapinnaga risti langetatud ja sellega lõikub.
Ruumis antakse punkt kolme koordinaadiga. Kui need on võrdsed (x1; y1; z1), siis vahemaa tasapinna ja selle punkti saab arvutada järgmise valemi abil:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Pange tähele, et valemi kasutamine võimaldab leida ainult kauguse tasapinnast jooneni. Selle punkti koordinaatide leidmiseks, kus ristilõik lõikub tasapinnaga, on vaja kirjutada võrrand sirgele, kuhu see lõik kuulub, ning seejärel leida sellele sirgele ja antud tasapinnale ühine punkt.
Probleem tasapinna ja punktiga
Leia kaugus punktist tasapinnani, kui on teada, et punktil on koordinaadid (3; -1; 2) ja tasapind on antud:
-y + 3z=0.
Vastava valemi kasutamiseks kirjutame esm alt välja koefitsiendid forantud lennuk. Kuna muutuja x ja vaba liige puuduvad, on koefitsiendid A ja D võrdsed nulliga. Meil on:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Lihtne on näidata, et see tasapind läbib alguspunkti ja x-telg kuulub sellele.
Asendage kauguse d valemis punkti koordinaadid ja tasapinna koefitsiendid, saame:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Pange tähele, et kui muudate punkti x-koordinaati, siis kaugus d ei muutu. See asjaolu tähendab, et punktide hulk (x; -1; 2) moodustab antud tasapinnaga paralleelse sirge.
