Iga õpilane, kes õppis keskkoolis stereomeetriat, puutus kokku koonusega. Selle ruumikujundi kaks olulist omadust on pindala ja maht. Selles artiklis näitame, kuidas leida ümara koonuse mahtu.
Ümar koonus täisnurkse kolmnurga pöördekujuna
Enne otse artikli teema juurde asumist on vaja koonust kirjeldada geomeetrilisest vaatepunktist.
Olgu mingi täisnurkne kolmnurk. Kui pöörate seda mõne jala ümber, on selle toimingu tulemuseks soovitud kujund, mis on näidatud alloleval joonisel.
Siin on jalg AB osa koonuse teljest ja selle pikkus vastab joonise kõrgusele. Teine jalg (segment CA) on koonuse raadius. Pööramise ajal kirjeldab see ringi, mis piirab joonise alust. Hüpotenuus BC nimetatakse kujundi generatriksiks või selle generatriksiks. Punkt B on koonuse ainus tipp.
Arvestades kolmnurga ABC omadusi, saame generaatori g, raadiuse r ja kõrguse h vahelise seose kirjutada järgmiseltvõrdsus:
g2=h2+ r2
See valem on kasulik paljude geomeetriliste ülesannete lahendamisel kõnealuse kujundiga.
Koonuse mahu valem
Iga ruumikujundi maht on ruumi pindala, mida piiravad selle kujundi pinnad. Koonuse jaoks on kaks sellist pinda:
- Külgmised või koonilised. Selle moodustavad kõik generatriksid.
- Sihtasutus. Sel juhul on see ring.
Hangi koonuse ruumala määramise valem. Selleks lõikasime selle mõtteliselt mitmeks kihiks paralleelselt alusega. Iga kihi paksus on dx, mis kipub olema null. Kihi pindala Sx joonise ülaosast x kaugusel on võrdne järgmise avaldisega:
Sx=pir2x2/h 2
Selle avaldise kehtivust saab intuitiivselt kontrollida, asendades väärtused x=0 ja x=h. Esimesel juhul saame pindala, mis on võrdne nulliga, teisel juhul võrdub see ümara aluse pindalaga.
Koonuse ruumala määramiseks peate iga kihi väikesed "mahud" liitma, see tähendab, et peaksite kasutama integraalarvutust:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Selle integraali arvutamisel jõuame ümara koonuse lõpliku valemini:
V=1/3pir2h
Huvitav on märkida, et see valem on täiesti sarnane sellele, mida kasutatakse suvalise püramiidi ruumala arvutamiseks. See kokkusattumus ei ole juhuslik, sest iga püramiid muutub koonuseks, kui selle servade arv kasvab lõpmatuseni.
Mahu arvutamise probleem
Kasulik on tuua ülesande lahendamise näide, mis demonstreerib tuletatud valemi kasutamist mahu V jaoks.
Arvestades ümmargust koonust, mille aluse pindala on 37 cm2 ja joonise generaator on kolmekordne raadius. Mis on koonuse maht?
Meil on õigus kasutada ruumala valemit, kui on teada kaks suurust: kõrgus h ja raadius r. Leiame valemid, mis need määravad vastav alt ülesande tingimusele.
Raadiuse r saab arvutada teades ringi pindala So, meil on:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Kasutades ülesande tingimust, kirjutame generaatori g võrdsuse:
g=3r=3√(So/pi)
Teades r ja g valemeid, arvutage kõrgus h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi – So/pi)=√(8So/pi)
Leidsime kõik vajalikud parameetrid. Nüüd on aeg ühendada need valemiga V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Jääb asendadabaaspindala So ja arvutage mahu väärtus: V=119,75 cm3.
