Geomeetria on ilus, sest vastupidiselt algebrale, kus pole alati selge, mida ja miks arvate, annab see objektile nähtavuse. Seda erinevate kehade imelist maailma kaunistavad tavalised hulktahukad.
Üldine teave tavaliste hulktahukate kohta
Paljude arvates on tavalistel hulktahukatel või, nagu neid nimetatakse ka platoonilisteks tahketeks aineteks, ainulaadsed omadused. Nende objektidega seostatakse mitmeid teaduslikke hüpoteese. Kui hakkate neid geomeetrilisi kehasid uurima, saate aru, et te ei tea sellisest mõistest nagu tavaline hulktahukas praktiliselt midagi. Nende esemete esitlemine koolis ei ole alati huvitav, nii et paljud isegi ei mäleta, kuidas neid nimetatakse. Enamik inimesi mäletab ainult kuubikut. Ükski geomeetria kehadest pole nii täiuslik kui tavaline hulktahukas. Kõik nende geomeetriliste kehade nimed pärinevad Vana-Kreekast. Need tähendavad tahkude arvu: tetraeedr - neljatahuline, heksaeedr - kuuepoolne, oktaeedr - kaheksatahuline, dodekaeeder - kaheteistkümnetahuline, ikosaeeder - kahekümnetahuline. Kõik need geomeetrilised kehadoli Platoni universumikontseptsioonis tähtsal kohal. Neli neist isikustasid elemente või üksusi: tetraeedr - tuli, ikosaeedr - vesi, kuubik - maa, oktaeedr - õhk. Dodekaeeder kehastas kõike, mis eksisteerib. Seda peeti peamiseks, sest see oli universumi sümbol.
Polühedra kontseptsiooni üldistamine
Polühedron on piiratud arvu hulknurkade kogum, nii et:
- ükskõik millise hulknurga iga külg on samal ajal ainult ühe teise hulknurga külg samal küljel;
- igast hulknurgast pääsete teiste juurde, möödudes sellega külgnevatest hulknurkadest.
Hulknurgad, mis moodustavad hulktahuka, on selle küljed ja nende küljed on servad. Hulktahuka tipud on hulknurkade tipud. Kui hulknurga mõiste all mõeldakse tasaseid suletud katkendjooni, siis jõutakse ühe hulktahuka definitsioonini. Juhul, kui selle mõiste all mõeldakse tasandi osa, mis on piiratud katkendjoontega, tuleb mõista hulknurksetest tükkidest koosnevat pinda. Kumer hulktahukas on keha, mis asub tasapinna ühel küljel, mis külgneb selle näoga.
Veel üks hulktahuka ja selle elementide määratlus
Polühedron on hulknurkadest koosnev pind, mis piirab geomeetrilist keha. Need on:
- mittekumer;
- kumer (õige ja vale).
Regulaarne hulktahukas on maksimaalse sümmeetriaga kumer hulktahukas. Tavalise hulktahuka elemendid:
- tetraeeder: 6 serva, 4 tahku, 5 tippu;
- kuueeder (kuubik): 12, 6, 8;
- dodekaeeder: 30, 12, 20;
- oktaeeder: 12, 8, 6;
- ikosaeeder: 30, 20, 12.
Euleri teoreem
See loob seose sfääriga topoloogiliselt samaväärsete servade, tippude ja tahkude arvu vahel. Erinevate korrapäraste hulktahukate tippude ja tahkude arvu (B + D) liitmisel ning nende servade arvuga võrdlemisel saab luua ühe mustri: tahkude ja tippude arvu summa võrdub suurendatud servade arvuga (P). 2. Saate tuletada lihtsa valemi:
B + D=R + 2
See valem kehtib kõigi kumerate hulktahukate kohta.
Põhimääratlused
Regulaarse hulktahuka mõistet ei saa kirjeldada ühe lausega. See on sisukam ja mahukam. Selleks, et keha sellisena tunnustataks, peab see vastama mitmele määratlusele. Seega on geomeetriline keha tavaline hulktahukas, kui on täidetud järgmised tingimused:
- see on kumer;
- sama arv servi koondub igas selle tipus;
- kõik selle tahud on korrapärased hulknurgad, mis on üksteisega võrdsed;
- kõik selle kahetahulised nurgad on võrdsed.
Tavalise hulktahuka omadused
Tavalisi hulktahukaid on 5 erinevat tüüpi:
- Kuubik (kuueeder) – selle ülaosas on tasane nurk 90°. Sellel on 3-poolne nurk. Lamenurkade summa ülaosas on 270°.
- Tetraeeder – lame nurk ülaosas – 60°. Sellel on 3-poolne nurk. Lamenurkade summa ülaosas on 180°.
- Octahedron – lame tipunurk – 60°. Sellel on 4-poolne nurk. Lamenurkade summa ülaosas on 240°.
- Dodekaeeder – tasane nurk tipus 108°. Sellel on 3-poolne nurk. Lamenurkade summa ülaosas on 324°.
- Icosahedron – selle ülaosas on tasane nurk – 60°. Sellel on 5-poolne nurk. Lamenurkade summa ülaosas on 300°.
Tavaliste hulktahukate ala
Nende geomeetriliste kehade pindala (S) arvutatakse korrapärase hulknurga pindalana, mis on korrutatud selle tahkude arvuga (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Tavalise hulktahuka ruumala
See väärtus arvutatakse korrapärase püramiidi, mille põhjas on korrapärane hulknurk, ruumala korrutamisel tahkude arvuga ja selle kõrgus on sisse kirjutatud sfääri raadius (r):
V=1: 3rS
Tavaliste hulktahukate mahud
Nagu igal teisel geomeetrilisel kehal, on ka tavalistel hulktahukatel erinevad ruumalad. Allpool on toodud valemid, mille abil saate neid arvutada:
- tetraeeder: α x 3√2: 12;
- oktaeeder: α x 3√2: 3;
- ikosaeeder; α x 3;
- kuueeder (kuubik): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaeeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Tavalise hulktahuka elemendid
Kuueeder ja oktaeedr on kaks geomeetrilist keha. Teisisõnu, neid saab üksteiselt hankida, kui võtta ühe tahu raskuskese teise tipuks ja vastupidi. Ikosaeeder ja dodekaeeder on samuti duaalsed. Ainult tetraeeder on iseendaga duaalne. Eukleidese meetodi järgi saab heksaeedrist dodekaeedri, ehitades kuubi tahkudele "katused". Tetraeedri tipud on kõik 4 kuubi tippu, mis ei külgne paarikaupa mööda serva. Heksaeedrist (kuubikust) saad teisi tavalisi hulktahukaid. Hoolimata tõsiasjast, et korrapäraseid hulknurki on lugematul arvul, on tavalisi hulknurki vaid 5.
Regulaarsete hulknurkade raadius
Iga nende geomeetriliste kehadega on seotud 3 kontsentrilist sfääri:
- kirjeldatud, läbides selle tippe;
- sisse kirjutatud, puudutades selle iga tahku selle keskel;
- mediaan, puudutades keskel kõiki servi.
Kirjeldatud sfääri raadius arvutatakse järgmise valemiga:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Sisse kantud sfääri raadius arvutatakse järgmise valemiga:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
kus θ on kahetahuline nurk külgnevate tahkude vahel.
Mediaani sfääri raadiuse saab arvutada järgmise valemi abil:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
kus h väärtus=4, 6, 6, 10 või 10. Piiratud ja sissekirjutatud raadiuste suhe on p ja q suhtes sümmeetriline. Seearvutatakse järgmise valemiga:
R/r=tg π/p x tg π/q
Polühedra sümmeetria
Regulaarsete hulktahukate sümmeetria tekitab peamise huvi nende geomeetriliste kehade vastu. Selle all mõistetakse keha sellist liikumist ruumis, mis jätab sama arvu tippe, tahke ja servi. Teisisõnu, sümmeetria teisenduse mõjul säilitab serv, tipp või tahk oma algse asukoha või liigub teise serva, tipu või näo algsesse asukohta.
Regulaarsete hulktahukate sümmeetriaelemendid on iseloomulikud igat tüüpi sellistele geomeetrilistele kehadele. Siin räägime identsest teisendusest, mis jätab ükskõik millise punkti oma algsesse asendisse. Seega, kui pöörate hulknurkset prismat, võite saada mitu sümmeetriat. Kõiki neist saab kujutada peegelduste produktina. Sümmeetriat, mis on paarisarvu peegelduste korrutis, nimetatakse sirgjooneks. Kui see on paaritu arvu peegelduste korrutis, nimetatakse seda pöördväärtuseks. Seega on kõik pöörded ümber sirge otsesümmeetria. Iga hulktahuka peegeldus on pöördsümmeetria.
Regulaarsete hulktahukate sümmeetriaelementide paremaks mõistmiseks võime võtta näite tetraeedrist. Iga sirgjoon, mis läbib selle geomeetrilise kujundi ühte tippu ja keskpunkti, läbib ka selle vastaskülje keskpunkti. Kõik 120° ja 240° pöörded ümber joone on mitmuses.tetraeedri sümmeetria. Kuna sellel on 4 tippu ja 4 tahku, on seal ainult kaheksa otsest sümmeetriat. Kõik selle keha serva keskosa ja keskpunkti läbivad jooned läbivad selle vastasserva keskosa. Iga 180° pööre, mida nimetatakse pooleks pöördeks ümber sirgjoone, on sümmeetria. Kuna tetraeedril on kolm paari servi, on seal veel kolm otsest sümmeetriat. Eelneva põhjal võime järeldada, et otseste sümmeetriate koguarv, sealhulgas identne teisendus, ulatub kaheteistkümneni. Tetraeedril pole muid otseseid sümmeetriaid, kuid sellel on 12 pöördsümmeetriat. Seetõttu iseloomustab tetraeedrit kokku 24 sümmeetriat. Selguse huvides võite ehitada papist tavalise tetraeedri mudeli ja veenduda, et sellel geomeetrilisel kehal on tõesti ainult 24 sümmeetriat.
Dodekaeeder ja ikosaeedr on kehasfäärile kõige lähemal. Ikosaeedril on suurim arv tahke, suurim kahetahuline nurk ja seda saab kõige tihedam alt suruda vastu sissekirjutatud sfääri. Dodekaeedril on väikseim nurkdefekt, suurim ruuminurk tipus. Ta suudab oma kirjeldatud sfääri maksimaalselt täita.
Pühkivad hulktahukad
Tavalistel pakkimata polüeedritel, mille me kõik lapsepõlves kokku liimisime, on palju mõisteid. Kui on hulk hulknurki, mille kumbki külg on identifitseeritud ainult polühedri ühe küljega, peab külgede identifitseerimine vastama kahele tingimusele:
- igast hulknurgast saate minna üle polügoonide, millel ontuvastatud pool;
- tuvastatud küljed peavad olema sama pikkusega.
Neid tingimusi rahuldavate hulknurkade kogumit nimetatakse hulktahuka arenguks. Igal neist kehadest on neid mitu. Näiteks kuubis on neid 11.
