Pärast materjali lugemist saab lugeja aru, et planimeetria pole üldse keeruline. Artiklis on toodud olulisem teoreetiline teave ja konkreetsete probleemide lahendamiseks vajalikud valemid. Olulised väited ja jooniste omadused on riiulitele pandud.
Definitsioon ja olulised faktid
Planimeetria on geomeetria haru, mis arvestab objekte tasasel kahemõõtmelisel pinnal. Võib tuua välja mõned sobivad näited: ruut, ring, romb.
Muuhulgas tasub esile tõsta punkt ja joon. Need on planimeetria kaks põhimõistet.
Kõik muu on neile juba ehitatud, näiteks:
- Lõik on osa sirgest, mis on piiratud kahe punktiga.
- Kiir on segmendiga sarnane objekt, kuid ääris on ainult ühel küljel.
- Nurk, mis koosneb kahest samast punktist väljuvast kiirest.
Aksioomid ja teoreemid
Vaatame aksioome lähem alt. Planimeetrias on need kõige olulisemad reeglid, mille järgi kogu teadus töötab. Jah, ja mitte ainult selles. Kõrvaldefinitsiooni järgi on need väited, mis ei vaja tõestust.
Aksioomid, millest allpool juttu tuleb, on osa nn eukleidilisest geomeetriast.
- Seal on kaks punkti. Nendest saab alati tõmmata ühe joone.
- Kui joon on olemas, siis on punkte, mis sellel asuvad, ja punkte, mis sellel ei asu.
Neid kahte väidet nimetatakse liikmelisuse aksioomideks ja järgmised on järjekorras:
- Kui sirgel on kolm punkti, peab üks neist asuma kahe teise vahel.
- Tasand on jagatud mis tahes sirgjoonega kaheks osaks. Kui segmendi otsad asuvad ühel poolel, siis kuulub kogu objekt sellele. Vastasel juhul on algsel sirgel ja lõigul lõikepunkt.
Mõõtmete aksioomid:
- Iga segmendi pikkus on nullist erinev. Kui punkt jagab selle mitmeks osaks, võrdub nende summa objekti täispikkusega.
- Igal nurgal on teatud kraadimõõt, mis ei ole võrdne nulliga. Kui jagate selle kiirega, võrdub algnurk moodustunud nurkade summaga.
Paralleel:
Lennukil on sirge. Läbi mis tahes punkti, mis sinna ei kuulu, saab antud sirgega paralleelselt tõmmata ainult ühe sirge
Planimeetria teoreemid ei ole enam päris fundamentaalsed väited. Tavaliselt aktsepteeritakse neid faktidena, kuid igal neist on ülalmainitud põhimõistetele üles ehitatud tõestus. Pealegi on neid palju. Kõike on üsna raske lahti võtta, kuid esitatud materjal sisaldab mõndaneist.
Järgmist kahte tasub varakult üle vaadata:
- Kõrgnevate nurkade summa on 180 kraadi.
- Vertikaalsetel nurkadel on sama väärtus.
Need kaks teoreemi võivad olla kasulikud n-nurkadega seotud geomeetriliste ülesannete lahendamisel. Need on üsna lihtsad ja intuitiivsed. Tasub neid meeles pidada.
Kolmnurgad
Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest järjestikku ühendatud segmendist. Neid klassifitseeritakse mitme kriteeriumi järgi.
Külgedel (suhted tulenevad nimedest):
- Võrdkülgne.
- Võrdhaarsed – kaks külge ja vastasnurgad on vastav alt võrdsed.
- Mitmekülgne.
Nurkades:
- ägenurkne;
- ristkülikukujuline;
- nüri.
Kaks nurka on olenemata olukorrast alati teravad ja kolmanda määrab sõna esimene osa. See tähendab, et täisnurkse kolmnurga üks nurkadest on 90 kraadi.
Atribuudid:
- Mida suurem on nurk, seda suurem on vastaskülg.
- Kõigi nurkade summa on 180 kraadi.
- Pindala saab arvutada valemiga: S=½ ⋅ h ⋅ a, kus a on külg, h on sellele tõmmatud kõrgus.
- Saate alati kirjutada ringi kolmnurga sisse või kirjeldada seda selle ümber.
Üks planimeetria põhivalemeid on Pythagorase teoreem. See töötab ainult täisnurkse kolmnurga jaoks ja kõlab järgmiselt: ruuthüpotenuus võrdub jalgade ruutude summaga: AB2 =AC2 + BC2.
Hüpotenuus on 90° nurga vastaskülg ja jalad on külgnev külg.
Nelinurgad
Selle teema kohta on palju teavet. Allpool on toodud vaid kõige olulisemad.
Mõned sordid:
- Parallelogramm – vastasküljed on paarikaupa võrdsed ja paralleelsed.
- Romb on rööpkülik, mille küljed on ühepikkused.
- Ristkülik – nelja täisnurgaga rööpkülik
- Ruut on nii romb kui ka ristkülik.
- Trapets – ainult kaks vastaskülge on paralleelsed.
Atribuudid:
- Sisenurkade summa on 360 kraadi.
- Pindala saab alati arvutada järgmise valemi abil: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), kus p on pool perimeetrist, a, b, c, d on pindala küljed. joonis.
- Kui ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga, siis nimetan seda kumeraks, kui mitte - mittekumeraks.
