Juhuslike suuruste ja nende muutujate jaotusfunktsioonide leidmiseks on vaja uurida kõiki selle teadmusvaldkonna tunnuseid. Kõnealuste väärtuste leidmiseks on mitu erinevat meetodit, sealhulgas muutuja muutmine ja hetke genereerimine. Distributsioon on mõiste, mis põhineb sellistel elementidel nagu hajuvus, variatsioonid. Need iseloomustavad aga ainult hajumise amplituudi astet.
Juhuslike suuruste olulisemad funktsioonid on need, mis on omavahel seotud ja sõltumatud ning jaotatud võrdselt. Näiteks kui X1 on meessoost populatsioonist juhuslikult valitud isendi kaal, X2 on teise inimese kaal … ja Xn on veel ühe inimese kaal meessoost populatsioonist, siis peame teadma, kuidas juhuslik funktsioon on. X on jaotatud. Sel juhul kehtib klassikaline teoreem, mida nimetatakse keskpiiri teoreemiks. See võimaldab näidata, et suure n korral järgib funktsioon standardjaotusi.
Ühe juhusliku muutuja funktsioonid
Keskpiiri teoreem on mõeldud diskreetsete väärtuste, näiteks binoomväärtuse ja Poissoni, lähendamiseks. Juhuslike suuruste jaotusfunktsioone vaadeldakse ennekõike ühe muutuja lihtväärtustel. Näiteks kui X on pidev juhuslik muutuja, millel on oma tõenäosusjaotus. Sel juhul uurime, kuidas leida Y tihedusfunktsiooni, kasutades kahte erinevat lähenemisviisi, nimelt jaotusfunktsiooni meetodit ja muutuja muutust. Esiteks võetakse arvesse ainult üks-ühele väärtusi. Seejärel peate selle tõenäosuse leidmiseks muutma muutuja muutmise tehnikat. Lõpuks peame õppima, kuidas kumulatiivse jaotuse pöördfunktsioon võib aidata modelleerida juhuslikke numbreid, mis järgivad teatud järjestikuseid mustreid.
Vaatatavate väärtuste jaotusmeetod
Juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse funktsiooni meetodit saab kasutada selle tiheduse leidmiseks. Selle meetodi kasutamisel arvutatakse kumulatiivne väärtus. Seejärel saate seda eristades tõenäosustiheduse. Nüüd, kui meil on jaotusfunktsiooni meetod, võime vaadata veel mõnda näidet. Olgu X pidev juhuslik suurus teatud tõenäosustihedusega.
Mis on x2 tõenäosustiheduse funktsioon? Kui vaatate funktsiooni (üleval ja paremal) y \u003d x2 või kujutate selle graafikut, võite märkida, et see on kasvav X ja 0 <y<1. Nüüd tuleb Y leidmiseks kasutada vaadeldavat meetodit. Esiteks leitakse kumulatiivne jaotusfunktsioon, tõenäosustiheduse saamiseks tuleb lihts alt diferentseerida. Seda tehes saame: 0<y<1. Jaotusmeetodit on eduk alt rakendatud Y leidmiseks, kui Y on X-i kasvav funktsioon. Muide, f(y) integreerub 1-ks üle y.
Viimases näites kasutati väga hoolik alt kumulatiivsete funktsioonide ja tõenäosustiheduse indekseerimist kas X või Y-ga, et näidata, millisesse juhuslikus muutujasse need kuuluvad. Näiteks Y kumulatiivse jaotusfunktsiooni leidmisel saime X. Kui on vaja leida juhuslik suurus X ja selle tihedus, siis tuleb see lihts alt eristada.
Muutuva muutmise tehnika
Olgu X pidev juhuslik suurus, mille annab jaotusfunktsioon ühise nimetajaga f (x). Sel juhul, kui paned y väärtuse X=v (Y), siis saad x väärtuse, näiteks v (y). Nüüd peame saama pideva juhusliku suuruse Y jaotusfunktsiooni. Kumulatiivse Y definitsioonist lähtudes leiab aset esimene ja teine võrdsus. Kolmas võrdus kehtib, kuna funktsiooni osa, mille puhul u (X) ≦ y on tõsi on ka see, et X ≦ v (Y). Ja viimast tehakse pideva juhusliku muutuja X tõenäosuse määramiseks. Nüüd peame võtma FY (y) tuletise, Y kumulatiivse jaotusfunktsiooni, et saada tõenäosustihedus Y.
Vähendamise funktsiooni üldistamine
Olgu X pidev juhuslik muutuja, mille ühine f (x) on defineeritud üle c1<x<c2. Ja olgu Y=u (X) X-i kahanev funktsioon pöördväärtusega X=v (Y). Kuna funktsioon on pidev ja kahanev, on olemas pöördfunktsioon X=v (Y).
Selle probleemi lahendamiseks saate koguda kvantitatiivseid andmeid ja kasutada empiirilist kumulatiivset jaotusfunktsiooni. Selle teabe ja sellele ahvatleva teabe abil peate kombineerima vahendite näidiseid, standardhälbeid, meediaandmeid ja nii edasi.
Samamoodi võib isegi üsna lihtsal tõenäosusmudelil olla tohutult palju tulemusi. Näiteks kui viskad münti 332 korda. Siis on ümberpööramisest saadud tulemuste arv suurem kui google'il (10100) – see arv, kuid mitte vähem kui 100 kvintiljonit korda suurem kui elementaarosakesed teadaolevas universumis. Pole huvitatud analüüsist, mis annab vastuse igale võimalikule tulemusele. Vaja oleks lihtsamat kontseptsiooni, näiteks peade arvu või sabade pikima lööki. Huvipakkuvatele küsimustele keskendumiseks aktsepteeritakse konkreetne tulemus. Sel juhul on definitsioon järgmine: juhuslik muutuja on tõenäosusruumiga reaalfunktsioon.
Juhusliku muutuja vahemikku S nimetatakse mõnikord olekuruumiks. Seega, kui X on kõnealune väärtus, siis N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc jne. Viimast neist, ümardades X lähima täisarvuni, nimetatakse põrandafunktsiooniks.
Jaotusfunktsioonid
Kui juhusliku suuruse x huvipakkuv jaotusfunktsioon on kindlaks määratud, tekib tavaliselt küsimus: "Kui suur on tõenäosus, et X langeb mõnda B väärtuste alamhulka?". Näiteks B={paaritud arvud}, B={suurem kui 1} või B={vahemikus 2 kuni 7}, et näidata tulemusi, mille väärtus on Xjuhuslik muutuja alamhulgas A. Seega saate ül altoodud näites sündmusi kirjeldada järgmiselt.
{X on paaritu arv}, {X on suurem kui 1}={X> 1}, {X on vahemikus 2 kuni 7}={2 <X <7}, et ühtida kolme ül altoodud valikuga alamhulga B jaoks. Paljud juhuslike suuruste omadused ei ole seotud konkreetse X-ga. Pigem sõltuvad need sellest, kuidas X oma väärtusi jaotab. See viib definitsioonini, mis kõlab järgmiselt: juhusliku suuruse x jaotusfunktsioon on kumulatiivne ja määratakse kvantitatiivsete vaatlustega.
Juhuslikud muutujad ja jaotusfunktsioonid
Seega saate arvutada tõenäosuse, et juhusliku suuruse x jaotusfunktsioon võtab intervalli väärtused lahutamise teel. Mõelge lõpp-punktide kaasamisele või välistamisele.
Juhuslikku muutujat nimetatakse diskreetseks, kui sellel on lõplik või loendatav alt lõpmatu olekuruum. Seega on X peade arv kallutatud mündi kolmel sõltumatul viskamisel, mis tõuseb tõenäosusega p. Peame leidma diskreetse juhusliku muutuja FX kumulatiivse jaotusfunktsiooni X jaoks. Olgu X piikide arv kolmest kaardist koosnevas kogumis. Siis Y=X3 FX kaudu. FX algab 0-st, lõpeb 1-ga ja ei vähene x väärtuste suurenedes. Diskreetse juhusliku suuruse X kumulatiivne FX jaotusfunktsioon on konstantne, välja arvatud hüpped. Hüppamisel on FX pidev. Tõesta väide õiget kohtajaotusfunktsiooni pidevus tõenäosusomadusest on definitsiooni kasutades võimalik. See kõlab nii: konstantsel juhuslikul muutujal on kumulatiivne FX, mis on diferentseeruv.
Et näidata, kuidas see võib juhtuda, võime tuua näite: ühikulise raadiusega sihtmärk. Arvatavasti. nool on ühtlaselt jaotatud määratud alale. Mõne λ> 0 korral. Seega suurenevad pidevate juhuslike suuruste jaotusfunktsioonid sujuv alt. FX-l on jaotusfunktsiooni omadused.
Mees ootab bussipeatuses, kuni buss tuleb. Olles ise otsustanud, et keeldub, kui ooteaeg jõuab 20 minutini. Siin on vaja leida kumulatiivne jaotusfunktsioon T jaoks. Aeg, millal inimene veel bussijaamas on või ei lahku. Vaatamata sellele, et kumulatiivne jaotusfunktsioon on iga juhusliku muutuja jaoks defineeritud. Samas kasutatakse üsna sageli muid tunnuseid: diskreetse muutuja massi ja juhusliku suuruse jaotustiheduse funktsiooni. Tavaliselt väljastatakse väärtus ühe neist kahest väärtusest.
Massifunktsioonid
Neid väärtusi arvestavad järgmised omadused, millel on üldine (massi) iseloom. Esimene põhineb asjaolul, et tõenäosused ei ole negatiivsed. Teine tuleneb tähelepanekust, et kogu x=2S, X olekuruum moodustab X tõenäosusliku vabaduse jaotuse. Näide: kallutatud mündi viskamine, mille tulemused on sõltumatud. Saate jätkatateatud toimingud, kuni saate pead pööritama. Olgu X juhuslik suurus, mis annab esimese pea ees olevate sabade arvu. Ja p tähistab tõenäosust mis tahes antud tegevuses.
Niisiis on massitõenäosuse funktsioonil järgmised iseloomulikud tunnused. Kuna terminid moodustavad arvulise jada, nimetatakse X-i geomeetriliseks juhuslikuks muutujaks. Geomeetriline skeem c, cr, cr2,.,,, crn-il on summa. Ja seetõttu on sn-i piirväärtus n 1. Sel juhul on piiriks lõpmatu summa.
Ül altoodud massifunktsioon moodustab suhtega geomeetrilise jada. Seetõttu naturaalarvud a ja b. Jaotusfunktsiooni väärtuste erinevus on võrdne massifunktsiooni väärtusega.
Vaatatavatel tiheduse väärtustel on definitsioon: X on juhuslik muutuja, mille FX jaotusel on tuletis. FX, mis rahuldab Z xFX (x)=fX (t) dt-1, nimetatakse tõenäosustiheduse funktsiooniks. Ja X-i nimetatakse pidevaks juhuslikuks muutujaks. Arvutuse põhiteoreemis on tihedusfunktsioon jaotuse tuletis. Tõenäosusi saate arvutada kindlate integraalide arvutamisel.
Kuna andmeid kogutakse mitme vaatluse põhjal, tuleb katseprotseduuride modelleerimiseks arvestada korraga rohkem kui ühe juhusliku muutujaga. Seetõttu tähendab nende väärtuste kogum ja nende ühine jaotus kahe muutuja X1 ja X2 jaoks sündmuste vaatamist. Diskreetsete juhuslike suuruste jaoks on defineeritud ühised tõenäosuslikud massifunktsioonid. Pidevate puhul arvestatakse fX1, X2, kusühine tõenäosustihedus on täidetud.
Sõltumatud juhuslikud muutujad
Kaks juhuslikku muutujat X1 ja X2 on sõltumatud, kui kaks nendega seotud sündmust on samad. Sõnades on kahe sündmuse {X1 2 B1} ja {X2 2 B2} üheaegse toimumise tõenäosus y võrdne ül altoodud muutujate korrutisega, et igaüks neist esineb eraldi. Sõltumatute diskreetsete juhuslike suuruste jaoks on ühine tõenäosuslik massifunktsioon, mis on piirava ioonimahu korrutis. Sõltumatute pidevate juhuslike muutujate korral on ühine tõenäosustiheduse funktsioon piirtiheduse väärtuste korrutis. Lõpuks käsitleme n sõltumatut vaatlust x1, x2,.,,, xn, mis tuleneb tundmatust tihedus- või massifunktsioonist f. Näiteks siini ooteaega kirjeldava eksponentsiaalse juhusliku muutuja funktsioonide tundmatu parameeter.
Juhuslike muutujate jäljendamine
Selle teoreetilise valdkonna põhieesmärk on pakkuda tööriistu, mis on vajalikud usaldusväärsetel statistikateaduslikel põhimõtetel põhinevate järeldusprotseduuride väljatöötamiseks. Seega on tarkvara üks väga oluline kasutusjuht võime genereerida pseudoandmeid tegeliku teabe jäljendamiseks. See võimaldab testida ja täiustada analüüsimeetodeid enne, kui neid päris andmebaasides kasutama hakata. See on vajalik andmete omaduste uurimiseksmodelleerimine. Paljude tavaliselt kasutatavate juhuslike muutujate perekondade jaoks pakub R nende genereerimiseks käsud. Muudel juhtudel on vaja meetodeid sõltumatute juhuslike muutujate jada modelleerimiseks, millel on ühine jaotus.
Diskreetsed juhuslikud muutujad ja käsumuster. Näidiskäsku kasutatakse lihtsate ja stratifitseeritud juhuslike valimite loomiseks. Selle tulemusena, kui sisestatakse jada x, valib valim(x, 40) x hulgast 40 kirjet, nii et kõik valikud suurusega 40 on sama tõenäosusega. See kasutab ilma asendamiseta toomiseks vaikekäsku R. Saab kasutada ka diskreetsete juhuslike muutujate modelleerimiseks. Selleks tuleb anda vektoris x ja massifunktsioonis f olekuruum. Kutse asendamiseks=TRUE näitab, et asendusega toimub diskreetimine. Seejärel kasutatakse valimit (x, n, asenda=TRUE, prob=f) n sõltumatust juhuslikust muutujast koosneva valimi saamiseks, millel on ühine massifunktsioon f.
Tulestati, et 1 on väikseim esitatud väärtus ja 4 on kõigist suurim. Kui käsk prob=f jäetakse välja, valitakse proov ühtlaselt vektori x väärtustest. Simulatsiooni saate võrrelda massifunktsiooniga, mis andmed genereeris, vaadates topeltvõrdusmärki==. Ja vaatluste ümberarvutamine, mis võtavad x jaoks kõik võimalikud väärtused. Saate teha laua. Korrake seda 1000 jaoks ja võrrelge simulatsiooni vastava massifunktsiooniga.
Tõenäosuse teisenduse illustratsioon
Esitekssimuleerida juhuslike suuruste u1, u2, homogeenseid jaotusfunktsioone.,,, un intervallil [0, 1]. Umbes 10% arvudest peaks olema vahemikus [0, 3, 0, 4]. See vastab 10% simulatsioonidele intervallil [0, 28, 0, 38] juhusliku muutuja puhul koos näidatud FX jaotusfunktsiooniga. Samamoodi peaks umbes 10% juhuslikest arvudest olema vahemikus [0, 7, 0, 8]. See vastab 10% simulatsioonidele juhusliku suuruse intervallil [0, 96, 1, 51] jaotusfunktsiooniga FX. Need väärtused x-teljel saab saada, võttes FX-i pöördväärtuse. Kui X on pidev juhuslik suurus, mille tihedus fX on kõikjal oma domeenis positiivne, siis jaotusfunktsioon on rangelt kasvav. Sel juhul on FX-il pöördfunktsioon FX-1, mida tuntakse kvantiilifunktsioonina. FX (x) u ainult siis, kui x FX-1 (u). Tõenäosusteisendus tuleneb juhusliku suuruse U=FX (X) analüüsist.
FX on vahemikus 0 kuni 1. See ei saa olla alla 0 ega üle 1. Väärtuste puhul, mis jäävad vahemikku 0 kuni 1. Kui U-d saab simuleerida, tuleb FX jaotusega juhuslik muutuja simuleeritud kvantiilfunktsiooni kaudu. Kasutage tuletist, et näha, et tihedus u muutub 1 piires. Kuna juhusliku suuruse U tihedus on tema võimalike väärtuste intervalli ulatuses konstantne, nimetatakse seda intervallil [0, 1] ühtlaseks. See on modelleeritud R-is käsuga runif. Identiteeti nimetatakse tõenäosuslikuks teisenduseks. Näete, kuidas see töötab noolelaua näites. X vahemikus 0 kuni 1, funktsioonjaotus u=FX (x)=x2 ja sellest ka kvantiilfunktsioon x=FX-1 (u). Võimalik on modelleerida sõltumatuid vaatlusi kauguse kohta noolepaneeli keskpunktist ja seeläbi luua ühtseid juhuslikke suurusi U1, U2,.,, Un. Jaotusfunktsioon ja empiiriline funktsioon põhinevad 100 noolelaua jaotuse simulatsioonil. Eksponentsiaalse juhusliku suuruse puhul arvatavasti u=FX (x)=1 - exp (- x) ja seega x=- 1 ln (1 - u). Mõnikord koosneb loogika samaväärsetest väidetest. Sel juhul peate argumendi kaks osa ühendama. Ristmiku identiteet on mõne väärtuse asemel sarnane kõigi 2 {S i i} S jaoks. Liit Ci on võrdne olekuruumiga S ja iga paar välistab üksteist. Kuna Bi - jaguneb kolmeks aksioomiks. Iga kontroll põhineb vastaval tõenäosusel P. Mis tahes alamhulga puhul. Identiteedi kasutamine tagamaks, et vastus ei sõltuks intervalli lõpp-punktide kaasamisest.
Eksponentfunktsioon ja selle muutujad
Kõigi sündmuste iga tulemuse puhul kasutatakse lõpuks tõenäosuste pidevuse teist omadust, mida peetakse aksiomaatiliseks. Juhusliku suuruse funktsiooni jaotusseadus näitab siin, et igaühel on oma lahendus ja vastus.
