Lahendamatud ülesanded on 7 kõige huvitavamat matemaatilist ülesannet. Tuntud teadlased pakkusid igaüks neist korraga välja reeglina hüpoteeside kujul. Mitu aastakümmet on matemaatikud üle kogu maailma oma lahenduse pärast pead murdnud. Edu saavutanuid premeeritakse miljoni USA dollariga, mille pakub Clay Institute.
Tagalugu
Aastal 1900 esitas suur saksa matemaatik David Hilbert 23 ülesande loendi.
Nende lahendamiseks läbiviidud uuringud avaldasid 20. sajandi teadusele tohutut mõju. Hetkel on enamik neist lakanud olemast saladused. Lahendamata või osaliselt lahendatud oli:
- aritmeetiliste aksioomide järjepidevuse probleem;
- üldine vastastikkuse seadus mis tahes arvuvälja ruumi kohta;
- füüsikaliste aksioomide matemaatiline uurimine;
- suvalise algebralise numbri ruutvormide uuriminekoefitsiendid;
- Fjodor Schuberti arvutusgeomeetria range põhjendamise probleem;
- jne
Uurimata on: tuntud Kroneckeri teoreemi laiendamise probleem mis tahes algebralisele ratsionaalsuspiirkonnale ja Riemanni hüpotees.
Clay Institute
See on erasektori mittetulundusorganisatsiooni nimi, mille peakorter asub Massachusettsi osariigis Cambridge'is. Selle asutasid 1998. aastal Harvardi matemaatik A. Jeffey ja ärimees L. Clay. Instituudi eesmärgiks on matemaatikateadmiste populariseerimine ja arendamine. Selle saavutamiseks annab organisatsioon auhindu teadlastele ja paljulubavatele teadusuuringute sponsoritele.
21. sajandi alguses pakkus Clay Matemaatika Instituut auhinda neile, kes lahendavad tuntud kui raskeimaid lahendamatuid probleeme, nimetades nende nimekirja aastatuhande auhinnaülesanneteks. Hilberti nimekirja lisati ainult Riemanni hüpotees.
Millenniumi väljakutsed
Clay Institute'i loend sisaldas algselt:
- Hodge tsükli hüpotees;
- kvant Yang-Milli teooria võrrandid;
- Poincaré hüpotees;
- klasside P ja NP võrdsuse probleem;
- Riemanni hüpotees;
- Navier-Stokesi võrrandid, selle lahenduste olemasolu ja sujuvuse kohta;
- Birch-Swinnertoni-Dyeri probleem.
Need avatud matemaatilised probleemid pakuvad suurt huvi, kuna neil võib olla palju praktilisi rakendusi.
Mida tõestas Grigory Perelman
Aastal 1900 väitis kuulus filosoof Henri Poincaré, et iga lihts alt ühendatud kompaktne ilma piirideta 3-kollektor on homöomorfne 3-mõõtmelise sfääri suhtes. Selle tõestust üldiselt ei leitud sajandi jooksul. Alles aastatel 2002-2003 avaldas Peterburi matemaatik G. Perelman hulga artikleid Poincaré ülesande lahendusega. Neil oli plahvatava pommi mõju. 2010. aastal arvati Poincaré hüpotees Saviinstituudi "Lahendamata probleemide" nimekirjast välja ning Perelmanile endale pakuti talle kuuluvat märkimisväärset tasu, millest viimane keeldus oma otsuse põhjuseid selgitamata.
Kõige arusaadavama seletuse selle kohta, mida vene matemaatikul õnnestus tõestada, võib anda kujutlus, et sõõrikule (torule) tõmmatakse kummiketas ja seejärel püütakse selle ringi servad ühte punkti tõmmata. Ilmselgelt pole see võimalik. Teine asi, kui teete selle katse palliga. Sel juhul oleks näiliselt kolmemõõtmeline kera, mis tuleneb kettast, mille ümbermõõt on hüpoteetilise nööri abil punkti tõmmatud, tavainimese arusaamises kolmemõõtmeline, kuid matemaatika mõttes kahemõõtmeline.
Poincare väitis, et kolmemõõtmeline kera on ainus kolmemõõtmeline "objekt", mille pinda saab kokku tõmmata ühe punktini, ja Perelmanil õnnestus seda tõestada. Seega koosneb täna "Lahendamatute probleemide" loend 6 probleemist.
Yang-Milli teooria
Selle matemaatilise probleemi pakkusid selle autorid välja 1954. aastal. Teooria teaduslik sõnastus on järgmine:mis tahes lihtsa kompaktse gabariidirühma jaoks on Yangi ja Millsi loodud kvantruumiteooria olemas ja sellel on samal ajal nullmassi defekt.
Tavainimesele arusaadavas keeles rääkides jagunevad loodusobjektide (osakesed, kehad, lained jne) vastasmõjud 4 tüüpi: elektromagnetilised, gravitatsioonilised, nõrgad ja tugevad. Füüsikud on aastaid püüdnud luua üldist väljateooriat. Sellest peaks saama tööriist kõigi nende koostoimete selgitamiseks. Yang-Millsi teooria on matemaatiline keel, millega sai võimalikuks kirjeldada kolme neljast peamisest loodusjõust. See ei kehti gravitatsiooni kohta. Seetõttu ei saa arvata, et Yangil ja Millsil õnnestus välja teooria luua.
Pealegi muudab pakutud võrrandite mittelineaarsus nende lahendamise äärmiselt keeruliseks. Väikeste sidestuskonstantide puhul saab neid ligikaudselt lahendada häirete teooria seeria kujul. Siiski pole veel selge, kuidas neid võrrandeid tugeva sidestusega lahendada.
Navier-Stokesi võrrandid
Need väljendid kirjeldavad selliseid protsesse nagu õhuvoolud, vedeliku vool ja turbulents. Mõne erijuhu jaoks on Navier-Stokesi võrrandi analüütilised lahendused juba leitud, kuid seni pole kellelgi õnnestunud seda üldise puhul teha. Samal ajal võivad kiiruse, tiheduse, rõhu, aja jne konkreetsete väärtuste arvulised simulatsioonid saavutada suurepäraseid tulemusi. Jääb üle loota, et keegi suudab Navier-Stokesi võrrandeid tagurpidi rakendadasuund, st arvutage nende abil parameetrid või tõestage, et lahendusmeetodit pole.
Birch-Swinnertoni-Dyeri probleem
Kategooriasse "Lahendamata probleemid" kuulub ka Cambridge'i ülikooli Briti teadlaste välja pakutud hüpotees. Juba 2300 aastat tagasi andis Vana-Kreeka teadlane Euclid täieliku kirjelduse võrrandi x2 + y2=z2 lahenditest.
Kui loendame iga algarvu kohta kõvera punktide arvu modulo it, saame lõpmatu hulga täisarvusid. Kui liimite selle konkreetselt 1 kompleksmuutuja funktsiooniks, saate Hasse-Weili zeta funktsiooni kolmandat järku kõvera jaoks, mida tähistatakse tähega L. See sisaldab teavet kõigi algarvude korraga käitumise mooduli kohta.
Brian Birch ja Peter Swinnerton-Dyer oletasid elliptiliste kõverate kohta. Selle järgi on selle ratsionaalsete lahenduste hulga struktuur ja arv seotud L-funktsiooni käitumisega identiteedis. Praegu tõestamata Birch-Swinnerton-Dyeri oletus sõltub 3. astme algebraliste võrrandite kirjeldusest ja on ainus suhteliselt lihtne üldine viis elliptiliste kõverate astme arvutamiseks.
Selle ülesande praktilise tähtsuse mõistmiseks piisab, kui öelda, et tänapäevases krüptograafias põhineb terve klass asümmeetrilisi süsteeme elliptilistel kõveratel ja kodumaised digitaalallkirja standardid põhinevad nende rakendamisel.
P- ja np-klasside võrdsus
Kui ülejäänud aastatuhande väljakutsed on puht alt matemaatilised, siis see onseos tegeliku algoritmide teooriaga. Klasside p ja np võrdsust puudutava probleemi, mida tuntakse ka Cooke-Levini probleemina, saab sõnastada arusaadavas keeles järgmiselt. Oletame, et positiivset vastust teatud küsimusele saab kontrollida piisav alt kiiresti, st polünoomilises ajas (PT). Kas siis on õige väide, et sellele saab üsna kiiresti vastuse leida? Veelgi lihtsam alt kõlab see probleem nii: kas tõesti pole probleemi lahenduse kontrollimine keerulisem kui selle leidmine? Kui klasside p ja np võrdsus kunagi tõestatakse, saab PV jaoks kõik valikuülesanded lahendada. Praegu kahtlevad paljud eksperdid selle väite tõesuses, kuigi nad ei suuda tõestada vastupidist.
Riemanni hüpotees
Kuni 1859. aastani ei leitud mustrit, mis kirjeldaks algarvude jaotumist naturaalarvude vahel. Võib-olla oli see tingitud asjaolust, et teadus tegeles muude probleemidega. 19. sajandi keskpaigaks oli olukord aga muutunud ja need muutusid üheks kõige olulisemaks, millega matemaatika tegelema hakkas.
Sellel perioodil ilmunud Riemanni hüpotees on eeldus, et algarvude jaotuses on teatud muster.
Täna usuvad paljud kaasaegsed teadlased, et kui see on tõestatud, on vaja läbi vaadata paljud kaasaegse krüptograafia aluspõhimõtted, mis on olulise osa elektroonilise kaubanduse mehhanismide aluseks.
Riemanni hüpoteesi järgi tegelanealgarvude jaotus võib praegu oletatust oluliselt erineda. Fakt on see, et seni pole algarvude jaotuses ühtegi süsteemi avastatud. Näiteks on "kaksikute" probleem, mille vahe on 2. Need arvud on 11 ja 13, 29. Teised algarvud moodustavad klastreid. Need on 101, 103, 107 jne. Teadlased on pikka aega kahtlustanud, et sellised klastrid eksisteerivad väga suurte algarvude hulgas. Kui need leitakse, siis on tänapäevaste krüptovõtmete tugevus küsimärgi all.
Hodge tsükli hüpotees
See siiani lahendamata probleem sõnastati 1941. aastal. Hodge'i hüpotees viitab võimalusele lähendada mis tahes objekti kuju, "liimides" kokku lihtsad kõrgemate mõõtmetega kehad. See meetod on tuntud ja eduk alt kasutatud pikka aega. Siiski ei ole teada, mil määral saab seda lihtsustada.
Nüüd teate, millised lahendamatud probleemid praegu eksisteerivad. Neid uurivad tuhanded teadlased üle maailma. Jääb üle loota, et need lahenevad lähitulevikus ja nende praktiline rakendamine aitab inimkonnal siseneda uude tehnoloogilise arengu vooru.
