Füüsika osa, mis uurib vedela keskkonna liikumise iseärasusi, nimetatakse hüdrodünaamikaks. Üks peamisi hüdrodünaamika matemaatilisi väljendeid on Bernoulli võrrand ideaalse vedeliku jaoks. Artikkel on pühendatud sellele teemale.
Mis on ideaalne vedelik?
Paljud inimesed teavad, et vedel aine on aine selline agregeeritud olek, mis säilitab pidevates välistingimustes mahu, kuid muudab oma kuju vähimagi mõju korral. Ideaalne vedelik on vedel aine, millel puudub viskoossus ja mis on kokkusurumatu. Need on kaks peamist omadust, mis eristavad seda tõelistest vedelikest.
Pange tähele, et peaaegu kõiki tõelisi vedelikke võib pidada kokkusurumatuks, sest nende mahu väike muutus nõuab tohutut välist survet. Näiteks kui loote rõhu 5 atmosfääri (500 kPa), suurendab vesi selle tihedust vaid 0,024%. Mis puudutab viskoossuse küsimust, siis mitmete praktiliste probleemide korral võib vett käsitledes töövedelikuna tähelepanuta jätta. Täielikkuse huvides märgime, etvee dünaamiline viskoossus temperatuuril 20 oC on 0,001 Pas2, mis on väike võrreldes selle väärtusega mee (>2000) väärtusega.
Oluline on mitte segi ajada ideaalse vedeliku ja ideaalse gaasi mõisteid, kuna viimane on kergesti kokkusurutav.
Järjepidevuse võrrand
Hüdrodünaamikas hakatakse ideaalse vedeliku liikumist käsitlema selle voolu pidevuse võrrandi uurimisest. Probleemi olemuse mõistmiseks on vaja arvestada vedeliku liikumisega läbi toru. Kujutage ette, et toru sisselaskeava juures on läbilõikepindala A1 ja väljalaskeava juures A2.
Oletame nüüd, et vedelik voolab toru alguses kiirusega v1, see tähendab, et ajas t läbi lõigu A1vooluhulk V1=A1v1t. Kuna vedelik on ideaalne ehk kokkusurumatu, siis täpselt sama kogus vett peab aja t toru otsast väljuma, saame: V2=A2 v2t. Mahtude V1 ja V2 võrdsusest tuleneb ideaalse vedeliku voolu pidevuse võrrand:
A1v1=A2v2.
Saadud võrrandist järeldub, et kui A1>A2, siis v1 peaks olema väiksem kui v2. Teisisõnu, vähendades toru ristlõiget, suurendame seeläbi sellest väljuva vedeliku voolu kiirust. Ilmselgelt täheldas seda mõju iga inimene oma elus, kes vähem alt korra kastnud lillepeenraid vooliku võiaeda, nii et vooliku auku näpuga kattes saad jälgida, kuidas se alt välja paiskuv veejuga tugevamaks muutub.
Järjepidevuse võrrand hargnenud toru jaoks
Huvitav on mõelda ideaalse vedeliku liikumisele läbi toru, millel pole mitte üks, vaid kaks või enam väljapääsu, see tähendab, et see on hargnenud. Näiteks toru ristlõikepindala sisselaskeava juures on A1 ja väljalaskeava poole hargneb see kaheks toruks, mille osad on A2ja A3. Määrakem voolukiirused v2 ja v3, kui on teada, et vesi siseneb sisselaskeavasse kiirusega v 1.
Järjepidevuse võrrandit kasutades saame avaldise: A1v1=A2 v 2 + A3v3. Selle võrrandi lahendamiseks tundmatute kiiruste korral peate mõistma, et väljalaskeava juures liigub see mis tahes torus sama kiirusega, st v2=v3. Seda fakti saab intuitiivselt mõista. Kui väljalasketoru on mõne vaheseinaga jagatud kaheks osaks, siis vooluhulk ei muutu. Arvestades seda fakti, saame lahenduse: v2=v3 =A1v1/(A2 + A3).
Bernoulli võrrand ideaalse vedeliku jaoks
Daniil Bernoulli, Hollandi päritolu Šveitsi füüsik ja matemaatik, esitas oma töös "Hüdrodünaamika" (1734) ideaalse vedeliku võrrandi, mis kirjeldab selle liikumist. See on kirjutatud järgmisel kujul:
P+ ρv2/2 + ρgh=konst.
See avaldis peegeldab energia jäävuse seadust vedeliku voolamise korral. Niisiis, esimene liige (P) on rõhk, mis on suunatud piki vedeliku nihkevektorit, mis kirjeldab voolu tööd, teine liige (ρv2/2) on kineetiline vedela aine energia ja kolmas liige (ρgh) on selle potentsiaalne energia.
Pidage meeles, et see võrrand kehtib ideaalse vedeliku kohta. Tegelikkuses on vedela aine hõõrdumine alati vastu toru seinu ja selle ruumala sees, seetõttu lisatakse ül altoodud Bernoulli võrrandisse täiendav termin, mis kirjeldab neid energiakadusid.
Bernoulli võrrandi kasutamine
Huvitav on tsiteerida mõningaid leiutisi, mis kasutavad Bernoulli võrrandist tehtud järeldusi:
- Korsten ja õhupuhastid. Võrrandist järeldub, et mida suurem on vedela aine liikumiskiirus, seda madalam on selle rõhk. Õhu liikumise kiirus korstna ülaosas on suurem kui selle põhjas, seega kipub suitsuvool rõhuerinevuse tõttu alati ülespoole.
- Veetorud. Võrrand aitab mõista, kuidas muutub vee rõhk torus, kui muuta viimase läbimõõtu.
- Lennukid ja vormel 1. Lennuki ja F1 tiiva tiibade nurk annab õhurõhu erinevuse tiiva kohal ja all, mis tekitab vastav alt tõste- ja allakäigujõu.
Vedeliku voolurežiimid
Bernoulli võrrand ei olevõtab arvesse vedeliku liikumisrežiimi, mis võib olla kahte tüüpi: laminaarne ja turbulentne. Laminaarset voolu iseloomustab rahulik vool, mille puhul vedelikukihid liiguvad mööda suhteliselt sujuvaid trajektoore ega segune omavahel. Vedeliku liikumise turbulentset režiimi iseloomustab iga voolu moodustava molekuli kaootiline liikumine. Turbulentse režiimi tunnuseks on pööriste olemasolu.
Kuidas vedelik voolab, sõltub mitmest tegurist (süsteemi omadused, näiteks toru sisepinna kareduse olemasolu või puudumine, aine viskoossus ja selle liikumise kiirus liikumine). Üleminekut vaadeldavate liikumisviiside vahel kirjeldatakse Reynoldsi numbritega.
Laminaarse voolu silmatorkav näide on vere aeglane liikumine läbi siledate veresoonte. Turbulentse voolu näide on vee tugev rõhk kraanist.
