Aastal 1900 koostas üks eelmise sajandi suurimaid teadlasi David Hilbert nimekirja 23 lahendamata matemaatikaprobleemist. Nendega tehtaval tööl oli selle inimteadmiste valdkonna arengule tohutu mõju. 100 aastat hiljem esitas Clay Mathematical Institute nimekirja seitsmest probleemist, mida tuntakse aastatuhande probleemidena. Igale neist pakuti 1 miljoni dollari suurune auhind.
Ainus probleem, mis ilmnes mõlemas mõistatuste loendis, mis on teadlasi kummitanud rohkem kui ühe sajandi, oli Riemanni hüpotees. Ta ootab endiselt oma otsust.
Lühike biograafiline märkus
Georg Friedrich Bernhard Riemann sündis 1826. aastal Hannoveris vaese pastori suures peres ja elas vaid 39 aastat. Tal õnnestus avaldada 10 teost. Kuid juba tema eluajal peeti Riemanni oma õpetaja Johann Gaussi järglaseks. 25-aastaselt kaitses noor teadlane väitekirja "Keerulise muutuja funktsioonide teooria alused". Hiljem sõnastas tatema kuulus hüpotees.
Algusarvud
Matemaatika ilmus siis, kui inimene õppis loendama. Samal ajal tekkisid ka esimesed ideed numbrite kohta, mida hiljem püüti klassifitseerida. Mõnel neist on täheldatud ühiseid omadusi. Eelkõige naturaalarvude hulgas, s.o nende hulgas, mida kasutati loendamisel (nummerdamisel) või objektide arvu määramisel, eristati rühm, mis jagub ainult ühega ja iseendaga. Neid nimetatakse lihtsateks. Elegantse tõestuse selliste arvude hulga lõpmatuse teoreemile esitas Eukleides oma Elementides. Hetkel nende otsingud jätkuvad. Eelkõige on suurim juba teadaolev arv 274 207 281 – 1.
Euleri valem
Koos algarvude hulga lõpmatuse kontseptsiooniga määras Euclid kindlaks ka teise teoreemi ainsa võimaliku algteguriteks lagunemise kohta. Selle kohaselt on iga positiivne täisarv ainult ühe algarvude komplekti korrutis. 1737. aastal väljendas suur saksa matemaatik Leonhard Euler Eukleidese esimest lõpmatuse teoreemi alloleva valemina.
Seda nimetatakse zeta funktsiooniks, kus s on konstant ja p võtab kõik algväärtused. Sellest järgnes otseselt Eukleidese väide laienemise unikaalsuse kohta.
Riemanni Zeta funktsioon
Euleri valem on lähemal vaatlusel täiesti olemasüllatav, sest see määratleb suhte algarvude ja täisarvude vahel. Lõpmatult palju avaldisi, mis sõltuvad ainult algarvudest, korrutatakse ju selle vasakul küljel ja kõigi positiivsete täisarvudega seotud summa asub paremal.
Riemann läks Eulerist kaugemale. Arvude jaotuse probleemi võtme leidmiseks tegi ta ettepaneku defineerida nii reaal- kui kompleksmuutujate valem. Just tema sai hiljem Riemanni zeta funktsiooni nime. 1859. aastal avaldas teadlane artikli pealkirjaga "Antud väärtust mitteületavate algarvude arvu kohta", kus ta võttis kokku kõik oma ideed.
Riemann soovitas kasutada Euleri seeriat, mis koondub iga tõelise s>1 jaoks. Kui komplekssete s-de puhul kasutatakse sama valemit, siis seeria koondub selle muutuja mis tahes väärtuse korral, mille reaalosa on suurem kui 1. Riemann rakendas analüütilist jätkuprotseduuri, laiendades zeta(de) definitsiooni kõigile kompleksarvudele, kuid agregaadi "välja visanud". See jäeti välja, kuna s=1 korral suureneb zeta funktsioon lõpmatuseni.
Praktiline meel
Tekib loogiline küsimus: miks on zeta funktsioon, mis on Riemanni nullhüpoteesi töös võtmetähtsusega, huvitav ja oluline? Nagu teate, pole hetkel tuvastatud ühtegi lihtsat mustrit, mis kirjeldaks algarvude jaotust naturaalarvude vahel. Riemann suutis avastada, et algarvude arv pi(x), mis ei ületa x-i, on väljendatud zeta-funktsiooni mittetriviaalsete nullide jaotuses. Pealegi on Riemanni hüpoteesvajalik tingimus teatud krüptoalgoritmide toimimise ajahinnangute tõestamiseks.
Riemanni hüpotees
Selle matemaatilise probleemi üks esimesi sõnastusi, mida pole tänaseni tõestatud, kõlab järgmiselt: mittetriviaalsed 0 zeta funktsioonid on kompleksarvud, mille reaalosa on võrdne ½-ga. Teisisõnu, need asuvad real Re s=½.
On olemas ka üldistatud Riemanni hüpotees, mis on sama väide, kuid zeta funktsioonide üldistuste jaoks, mida tavaliselt nimetatakse Dirichlet L-funktsioonideks (vt fotot allpool).
Valemis χ(n) - mingi arvmärk (moodul k).
Riemanni väidet peetakse nn nullhüpoteesiks, kuna selle vastavust olemasolevate näidisandmetega on testitud.
Nagu Riemann väitis
Saksa matemaatiku märkus oli algselt sõnastatud üsna juhuslikult. Fakt on see, et tol ajal kavatses teadlane tõestada teoreemi algarvude jaotuse kohta ja selles kontekstis polnud sellel hüpoteesil erilist tähtsust. Selle roll paljude muude probleemide lahendamisel on aga tohutu. Seetõttu tunnistavad paljud teadlased nüüd Riemanni oletust tõestamata matemaatiliste probleemide hulgas kõige olulisemaks.
Nagu juba mainitud, pole Riemanni täielikku hüpoteesi jaotusteoreemi tõestamiseks vaja ning piisab loogilisest õigustamisest, et zeta funktsiooni mis tahes mittetriviaalse nulli reaalosa asub0 ja 1 vahel. Sellest omadusest järeldub, et ül altoodud täpses valemis esinev zeta funktsiooni kõigi 0-de summa on lõplik konstant. Suurte x väärtuste korral võib see täielikult kaduda. Ainus valemi liige, mis jääb samaks isegi väga suure x korral, on x ise. Ülejäänud kompleksterminid kaovad sellega võrreldes asümptootiliselt. Nii et kaalutud summa kipub olema x. Seda asjaolu võib pidada algarvude jaotuse teoreemi tõesuse kinnituseks. Seega on Riemanni zeta funktsiooni nullidel eriline roll. See seisneb tõestamises, et sellised väärtused ei saa anda olulist panust lagunemisvalemisse.
Riemanni järgijad
Traagiline surm tuberkuloosi tõttu ei võimaldanud sellel teadlasel oma programmi loogilise lõpuni viia. Sh-Zh võttis aga tem alt üle. de la Vallée Poussin ja Jacques Hadamard. Üksteisest sõltumatult tuletasid nad algarvude jaotuse teoreemi. Hadamardil ja Poussinil õnnestus tõestada, et kõik mittetriviaalsed 0 zeta funktsioonid on kriitilises vahemikus.
Tänu nende teadlaste tööle on matemaatikas ilmunud uus suund – analüütiline arvuteooria. Hiljem said teised uurijad mitu primitiivsemat tõestust teoreemile, mille kallal Riemann töötas. Eelkõige avastasid Pal Erdős ja Atle Selberg seda kinnitava isegi väga keerulise loogilise ahela, mis ei nõudnud keeruka analüüsi kasutamist. Siiski on selleks hetkeks mitu olulistteoreemid, sealhulgas paljude arvuteooriafunktsioonide lähendused. Sellega seoses ei mõjutanud Erdősi ja Atle Selbergi uus töö praktiliselt midagi.
Ühe lihtsamaid ja ilusamaid tõendeid probleemi kohta leidis 1980. aastal Donald Newman. See põhines kuulsal Cauchy teoreemil.
Kas Riemanni hüpotees ohustab kaasaegse krüptograafia alustalasid
Andmete krüpteerimine tekkis koos hieroglüüfide ilmumisega, täpsem alt võib neid ise pidada esimesteks koodideks. Hetkel on olemas terve digitaalse krüptograafia valdkond, mis arendab krüpteerimisalgoritme.
Algus- ja poolalgarvud, st need, mis jaguvad ainult kahe teise sama klassi arvuga, moodustavad RSA-na tuntud avaliku võtme süsteemi aluse. Sellel on kõige laiem rakendus. Eelkõige kasutatakse seda elektroonilise allkirja loomisel. Riemanni hüpotees kinnitab mannekeenidele kättesaadavate terminite järgi algarvude jaotussüsteemi olemasolu. Seega väheneb oluliselt krüptograafiliste võtmete tugevus, millest sõltub veebitehingute turvalisus e-kaubanduse valdkonnas.
Muud lahendamata matemaatikaülesanded
Artikkel tasub lõpetada, pühendades paar sõna teistele aastatuhande eesmärkidele. Nende hulka kuuluvad:
- P- ja NP-klasside võrdsus. Probleem on sõnastatud järgmiselt: kui positiivset vastust konkreetsele küsimusele kontrollida polünoomilises ajas, siis kas on tõsi, et vastus sellele küsimusele isekas leitakse kiiresti?
- Hodge'i oletus. Lihtsam alt öeldes saab selle sõnastada järgmiselt: teatud tüüpi projektiivsete algebraliste variatsioonide (tühikute) puhul on Hodge'i tsüklid objektide kombinatsioonid, millel on geomeetriline tõlgendus, st algebralised tsüklid.
- Poincaré oletus. See on ainus aastatuhande väljakutse, mis on siiani tõestatud. Selle kohaselt peab iga 3-mõõtmeline objekt, millel on 3-mõõtmelise sfääri spetsiifilised omadused, olema kera kuni deformatsioonini.
- Yangi kvantteooria kinnitus – Mills. On vaja tõestada, et nende teadlaste poolt ruumi R 4 jaoks välja pakutud kvantteooria eksisteerib ja sellel on 0. massidefekt iga lihtsa kompaktse gabariidirühma G jaoks.
- Birch-Swinnertoni-Dyeri hüpotees. See on veel üks krüptograafiaga seotud probleem. See puudutab elliptilisi kõveraid.
- Navier-Stokesi võrrandite lahenduste olemasolu ja sujuvuse probleem.
Nüüd teate Riemanni hüpoteesi. Lihtsam alt öeldes oleme sõnastanud mõned muud aastatuhande väljakutsed. See, et need lahendatakse või tõestatakse, et neil pole lahendust, on aja küsimus. Pealegi on ebatõenäoline, et see peaks liiga kaua ootama, kuna matemaatika kasutab üha enam arvutite arvutusvõimalusi. Kuid mitte kõik ei allu tehnoloogiale ja ennekõike on teaduslike probleemide lahendamiseks vaja intuitsiooni ja loovust.
