Tahkegeomeetria koolikursusel on üks lihtsamaid kujundeid, mille mõõtmed on kolmel ruumiteljel nullist erinevad, nelinurkne prisma. Mõelge artiklis, millise kujundiga see on, millistest elementidest see koosneb ning kuidas saate arvutada selle pindala ja ruumala.
Prisma mõiste
Geomeetrias on prisma ruumikujund, mille moodustavad kaks identset alust ja külgpinda, mis ühendavad nende aluste külgi. Pange tähele, et mõlemad alused teisendatakse üksteiseks, kasutades paralleeltõlke operatsiooni mõne vektori abil. See prisma omistamine toob kaasa asjaolu, et selle kõik küljed on alati rööpkülikukujulised.
Aluse külgede arv võib olla suvaline, alates kolmest. Kui see arv kaldub lõpmatuseni, muutub prisma sujuv alt silindriks, kuna selle põhi muutub ringiks ja külgmised rööpkülikud, mis ühendavad, moodustavad silindrilise pinna.
Nagu iga hulktahukat, iseloomustab ka prismatküljed (joonist piiravad tasapinnad), servad (lõigud, mida mööda mis tahes kaks külge lõikuvad) ja tipud (kolme külje kokkupuutepunktid, prisma jaoks on kaks neist külgmised ja kolmas on alus). Joonise nimetatud kolme elemendi kogused on omavahel seotud järgmise avaldisega:
P=C + B - 2
Siin on P, C ja B vastav alt servade, külgede ja tippude arv. See avaldis on Euleri teoreemi matemaatiline tähistus.
Ülaloleval pildil on kaks prismat. Neist ühe (A) põhjas asub korrapärane kuusnurk ja külgmised küljed on alustega risti. Joonisel B on näha veel üks prisma. Selle küljed ei ole enam alustega risti ja alus on korrapärane viisnurk.
Mis on nelinurkne prisma?
Nagu ül altoodud kirjeldusest selgub, määrab prisma tüübi eelkõige aluse moodustava hulknurga tüüp (mõlemad alused on samad, seega võib rääkida neist ühest). Kui see hulknurk on rööpkülik, siis saame nelinurkse prisma. Seega on seda tüüpi prisma kõik küljed rööpkülikukujulised. Nelinurksel prismal on oma nimi – rööptahukas.
Rööptahuka külgede arv on kuus ja mõlemal küljel on sellega sarnane paralleel. Kuna kasti põhjad on kahepoolsed, siis ülejäänud neli on külgmised.
Rööptahuka tippude arv on kaheksa, mida on hästi näha, kui meeles pidada, et prisma tipud moodustuvad ainult põhihulknurkade tippudes (4x2=8). Rakendades Euleri teoreemi, saame servade arvu:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 ribist ainult 4 on külgede poolt iseseisv alt moodustatud. Ülejäänud 8 asuvad joonise aluste tasanditel.
Edaspidi räägime artiklis ainult nelinurksetest prismadest.
Rööptahuka tüübid
Esimene liigituse tüüp on aluseks oleva rööpküliku tunnused. See võib välja näha selline:
- regulaarne, mille nurgad ei ole võrdsed 90o;
- ristkülik;
- ruut on korrapärane nelinurk.
Teist tüüpi liigitus on nurk, mille all külg ristub alusega. Siin on võimalikud kaks erinevat juhtumit:
- see nurk ei ole sirge, siis nimetatakse prismat kaldus või kaldus;
- nurk on 90o, siis on selline prisma ristkülikukujuline või lihts alt sirge.
Kolmas liigitustüüp on seotud prisma kõrgusega. Kui prisma on ristkülikukujuline ja alus on kas ruut või ristkülik, nimetatakse seda risttahukaks. Kui põhjas on ruut, prisma on ristkülikukujuline ja selle kõrgus on võrdne ruudu külje pikkusega, siis saame tuntud kuubikuju.
Prisma pind ja pindala
Kõigi punktide kogum, mis asuvad prisma kahel alusel(parallelogrammid) ja selle külgedel (neli rööpkülikut) moodustavad joonise pinna. Selle pinna pindala saab arvutada, arvutades aluse pindala ja selle külgpinna väärtuse. Siis annab nende summa soovitud väärtuse. Matemaatiliselt on see kirjutatud järgmiselt:
S=2So+ Sb
Siin So ja Sb on vastav alt aluse ja külgpinna pindala. Arv 2 enne So ilmub, kuna seal on kaks alust.
Pange tähele, et kirjutatud valem kehtib iga prisma, mitte ainult nelinurkse prisma pindala kohta.
Kasulik on meeles pidada, et rööpküliku pindala Sp arvutatakse järgmise valemiga:
Sp=ah
Kus sümbolid a ja h tähistavad vastav alt selle ühe külje pikkust ja selle külje kõrgust.
Ristkülikukujulise ruudukujulise alusega prisma pindala
Tavalise nelinurkse prisma puhul on alus ruut. Kindluse mõttes tähistame selle külge tähega a. Tavalise nelinurkse prisma pindala arvutamiseks peaksite teadma selle kõrgust. Selle suuruse määratluse kohaselt on see võrdne ühest alusest teise langenud risti pikkusega, st võrdne nendevahelise kaugusega. Tähistame seda tähega h. Kuna kõik külgpinnad on vaadeldava prisma tüübi korral risti alustega, võrdub tavalise nelinurkse prisma kõrgus selle külgserva pikkusega.
BPrisma pindala üldvalem on kaks liiget. Aluse pindala on sel juhul lihtne arvutada, see on võrdne:
So=a2
Külgpinna pindala arvutamiseks vaidleme järgmiselt: selle pinna moodustavad 4 identset ristkülikut. Pealegi on nende kõigi küljed võrdsed a ja h-ga. See tähendab, et Sb pindala on võrdne:
Sb=4ah
Pange tähele, et korrutis 4a on ruudukujulise aluse ümbermõõt. Kui üldistada see avaldis suvalise aluse korral, siis ristkülikukujulise prisma puhul saab külgpinna arvutada järgmiselt:
Sb=Poh
Kus Po on aluse ümbermõõt.
Pöördudes tagasi tavalise nelinurkse prisma pindala arvutamise ülesande juurde, võime kirjutada lõpliku valemi:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Kalduse rööptahuka ala
Selle arvutamine on mõnevõrra keerulisem kui ristkülikukujulise puhul. Sel juhul arvutatakse nelinurkse prisma põhipind sama valemiga nagu rööpküliku puhul. Muudatused puudutavad külgpinna määramise viisi.
Selleks kasutage sama valemit läbi perimeetri, nagu on kirjeldatud ül altoodud lõigus. Alles nüüd on sellel veidi erinevad kordajad. Sb üldvalem kaldprisma korral on:
Sb=Psrc
Siin c on joonise külgserva pikkus. Väärtus Psr on ristkülikukujulise lõigu ümbermõõt. See keskkond on üles ehitatud järgmiselt: kõik külgpinnad on vaja ristuda tasapinnaga nii, et see oleks nende kõigiga risti. Saadud ristkülik on soovitud lõige.
Ül altoodud joonisel on näide kaldus kastist. Selle ristviirutatud osa moodustab külgedega täisnurga. Lõigu ümbermõõt on Psr. See on moodustatud nelja kõrgusega külgmiste rööpkülikutega. Selle nelinurkse prisma puhul arvutatakse külgpindala ül altoodud valemi abil.
Kuboidi diagonaali pikkus
Rööptahuka diagonaal on lõik, mis ühendab kahte tippu, millel ei ole neid moodustavaid ühiseid külgi. Igas nelinurkses prismas on ainult neli diagonaali. Ristküliku põhjaga ristküliku korral on kõigi diagonaalide pikkused üksteisega võrdsed.
Allpool olev joonis näitab vastavat joonist. Punane segment on selle diagonaal.
Selle pikkuse arvutamine on väga lihtne, kui mäletate Pythagorase teoreemi. Iga õpilane saab soovitud valemi. Sellel on järgmine vorm:
D=√(A2+ B2 + C2)
Siin D on diagonaali pikkus. Ülejäänud märgid vastavad kasti külgede pikkusele.
Paljud inimesed ajavad rööptahuka diagonaali segamini selle külgede diagonaalidega. Allpool on pilt, kus värvilinesegmendid tähistavad joonise külgede diagonaale.
Iga nende pikkus määratakse samuti Pythagorase teoreemiga ja võrdub ruutjuurega vastavate külgede pikkuste ruutude summast.
Prisma helitugevus
Lisaks tavalise nelinurkse prisma või muud tüüpi prisma pindalale peaksite mõne geomeetrilise ülesande lahendamiseks teadma ka nende ruumala. See väärtus absoluutselt iga prisma jaoks arvutatakse järgmise valemiga:
V=Soh
Kui prisma on ristkülikukujuline, siis piisab, kui arvutada selle aluse pindala ja korrutada see külje serva pikkusega, et saada joonise ruumala.
Kui prisma on tavaline nelinurkne prisma, siis on selle ruumala:
V=a2h.
On lihtne näha, et see valem teisendatakse kuubi ruumala avaldisesse, kui külgserva h pikkus võrdub aluse a küljega.
Probleem risttahukaga
Uuritud materjali koondamiseks lahendame järgmise ülesande: on ristkülikukujuline rööptahukas, mille küljed on 3 cm, 4 cm ja 5 cm. On vaja arvutada selle pindala, diagonaali pikkus ja ruumala.
Kindluse huvides eeldame, et joonise aluseks on ristkülik külgedega 3 cm ja 4 cm. Siis on selle pindala 12 cm2 ja punkt on 14 cm. Kasutades prisma pindala valemit, saame:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Diagonaali pikkuse ja joonise ruumala määramiseks võite kasutada otse ül altoodud väljendeid:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60 cm3.
Probleem kaldus rööptahuga
Altoodud joonisel on kujutatud kaldus prismat. Selle küljed on võrdsed: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Peate leidma selle joonise pindala.
Esm alt määrame kindlaks aluse pindala. Joonisel on näha, et teravnurk on 50o. Siis on selle pindala:
So=ha=sin(50o)ba
Külgpinna pindala määramiseks peaksite leidma varjutatud ristküliku ümbermõõdu. Selle ristküliku küljed on asin(45o) ja bsin(60o). Siis on selle ristküliku ümbermõõt:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Selle kasti kogupindala on:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Asendame ülesande tingimuse andmed joonise külgede pikkused, saame vastuse:
S=458, 5496 cm3
Selle ülesande lahendusest on näha, et kaldus kujundite pindala määramiseks kasutatakse trigonomeetrilisi funktsioone.
