Isegi koolis tutvuvad kõik õpilased mõistega "Eukleidiline geomeetria", mille põhisätted on keskendunud mitmetele aksioomidele, mis põhinevad sellistel geomeetrilistel elementidel nagu punkt, tasapind, joon, liikumine. Kõik need kokku moodustavad selle, mida on pikka aega tuntud "eukleidilise ruumi" all.
Eukleidiline ruum, mille definitsioon põhineb vektorite skalaarkorrutise kontseptsioonil, on lineaarse (afiinse) ruumi erijuhtum, mis rahuldab mitmeid nõudeid. Esiteks on vektorite skalaarkorrutis absoluutselt sümmeetriline, see tähendab, et vektor koordinaatidega (x;y) on kvantitatiivselt identne koordinaatidega (y;x) vektoriga, kuid vastupidine.
Teiseks, kui sooritada vektori skalaarkorrutis iseendaga, on selle toimingu tulemus positiivne. Ainus erand on juhtum, kui selle vektori alg- ja lõppkoordinaadid on võrdsed nulliga: sel juhul on tema korrutis iseendaga samuti võrdne nulliga.
Kolmandaks, skalaarkorrutis on distributiivne, st ühe selle koordinaatidest on võimalik lagundada kahe väärtuse summaks, mis ei too kaasa muudatusi vektorite skalaarkorrutise lõpptulemuses. Lõpuks, neljandaks, kui vektoreid korrutada sama reaalarvuga, suureneb ka nende skalaarkorrutis sama teguri võrra.
Kui kõik need neli tingimust on täidetud, võime kindl alt öelda, et meil on eukleidiline ruum.
Eukleidilist ruumi praktilisest vaatenurgast saab iseloomustada järgmiste konkreetsete näidetega:
- Lihtsaim juhtum on vektorite komplekti olemasolu skalaarkorrutisega, mis on defineeritud vastav alt geomeetria põhiseadustele.
- Eukleidiline ruum saadakse ka siis, kui vektorite all mõeldakse teatud lõplikku reaalarvude hulka, mille valem kirjeldab nende skalaarsummat või korrutist.
- Eukleidilise ruumi erijuhtum on nn nullruum, mis saadakse, kui mõlema vektori skalaarpikkus on võrdne nulliga.
Eukleidilisel ruumil on mitmeid spetsiifilisi omadusi. Esiteks saab skalaarkorrutise esimesest ja teisest tegurist sulgudest välja võtta skalaarteguri, sellest tulenev tulemus ei muutu kuidagi. Teiseks koos skalaari esimese elemendi jaotuvusegatoode, toimib ka teise elemendi jaotus. Lisaks toimub vektorite lahutamise korral lisaks vektorite skalaarsummale ka distributiivsus. Lõpuks, kolmandaks, kui vektor skalaarselt korrutatakse nulliga, on tulemus samuti null.
Seega on eukleidiline ruum kõige olulisem geomeetriline mõiste, mida kasutatakse vektorite vastastikuse paigutuse probleemide lahendamisel ja mida iseloomustab selline kontseptsioon nagu skalaarkorrutis.
