Algebralised võrratused või nende ratsionaalsete kordajatega süsteemid, mille lahendusi otsitakse integraal- või täisarvudes. Diofantiini võrrandites on tundmatute arv reeglina suurem. Seega tuntakse neid ka kui määramatut ebavõrdsust. Kaasaegses matemaatikas rakendatakse ül altoodud kontseptsiooni algebralistele võrranditele, mille lahendusi otsitakse Q-ratsionaalmuutujate välja mõne laienduse algebralistes täisarvudes, p-adic muutujate väljas jne.
Selle ebavõrdsuse päritolu
Diofantiini võrrandite uurimine on arvuteooria ja algebralise geomeetria piiril. Täisarvuliste muutujate lahenduste leidmine on üks vanimaid matemaatilisi probleeme. Juba II aastatuhande alguses eKr. muistsed babüloonlased suutsid lahendada kahe tundmatuga võrrandisüsteeme. See matemaatika haru õitses kõige enam Vana-Kreekas. Diophantose (umbes 3. sajand pKr) aritmeetika on oluline ja peamine allikas, mis sisaldab erinevat tüüpi ja võrrandisüsteeme.
Selles raamatus nägi Diophantus ette mitmeid meetodeid teise ja kolmanda ebavõrdsuse uurimisekskraadid, mis kujunesid täielikult välja 19. sajandil. Selle Vana-Kreeka uurija poolt ratsionaalsete arvude teooria loomine viis määramata süsteemide loogiliste lahenduste analüüsimiseni, mida tema raamatus süstemaatiliselt järgitakse. Kuigi tema töö sisaldab konkreetsete diofantiini võrrandite lahendusi, on põhjust arvata, et ta oli tuttav ka mitmete üldmeetoditega.
Selle ebavõrdsuse uurimine on tavaliselt seotud tõsiste raskustega. Tulenev alt asjaolust, et need sisaldavad polünoome täisarvu koefitsientidega F (x, y1, …, y). Selle põhjal tehti järeldused, et pole olemas ühte algoritmi, mille abil saaks määrata iga antud x puhul, kas võrrand F (x, y1, …., y ). Olukord on lahendatav y1, …, y puhul. Selliste polünoomide näiteid saab kirjutada.
Kõige lihtsam ebavõrdsus
ax + by=1, kus a ja b on suhteliselt täisarvud ja algarvud, on sellel tohutul hulgal täitmisi (kui x0, y0 moodustatakse tulemus, siis muutujate paar x=x0 + b ja y=y0 -an, kus n on suvaline, loetakse samuti ebavõrdsuseks). Teine näide diofantiini võrranditest on x2 + y2 =z2. Selle võrratuse positiivseteks integraallahenditeks on väikeste külgede x, y ja täisnurksete kolmnurkade pikkused, samuti täisarvuliste külgede mõõtmetega hüpotenuus z. Neid numbreid tuntakse Pythagorase arvudena. Kõik kolmikud algarvu suhtes näidatudül altoodud muutujad on antud x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, kus m ja n on täisarvud ja algarvud (m>n>0).
Diophantus otsib oma aritmeetikas oma ebavõrdsuse eritüüpide ratsionaalseid (mitte tingimata terviklikke) lahendusi. Üldise teooria esimese astme diofantiini võrrandite lahendamiseks töötas välja C. G. Baschet 17. sajandil. Teised teadlased 19. sajandi alguses uurisid peamiselt sarnaseid ebavõrdsusi nagu ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, kus a, b, c, d, e ja f on üldised, heterogeensed, kahe teise astme tundmatuga. Lagrange kasutas oma uuringus jätkuvaid fraktsioone. Gauss töötas ruutvormide jaoks välja üldise teooria, mis on teatud tüüpi lahenduste aluseks.
Nende teise astme ebavõrdsuse uurimisel tehti olulisi edusamme alles 20. sajandil. A. Thue leidis, et diofantiini võrrand a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, kus n≧3, a0, …, a , c on täisarvud ja a0tn + …+ a ei saa sisaldada lõpmatut arvu täisarvlahendusi. Thu meetodit polnud aga korralikult välja töötatud. A. Baker lõi tõhusad teoreemid, mis annavad hinnanguid mõnede seda tüüpi võrrandite toimivuse kohta. BN Delaunay pakkus välja teise uurimismeetodi, mida saab kasutada nende ebavõrdsuste kitsama klassi jaoks. Eelkõige on vorm ax3 + y3 =1 sel viisil täielikult lahendatav.
Diofantiini võrrandid: lahendusmeetodid
Diophantuse teoorial on palju suundi. Seega on selle süsteemi üldtuntud probleem hüpotees, et diofantiini võrrandite xn + y =z mittetriviaalne lahendus puudub n if n ≧ 3 (Fermat' küsimus). Ebavõrdsuse täisarvude täitmiste uurimine on Pythagorase kolmikute probleemi loomulik üldistus. Euler sai Fermat' ülesande positiivse lahenduse, kui n=4. Selle tulemuse põhjal viitab see võrrandi puuduva täisarvu tõestusele, kui n on paaritu algarv.
Otsust puudutav uuring ei ole lõpetatud. Selle rakendamise raskused on seotud asjaoluga, et algebraliste täisarvude ringi lihtne faktoriseerimine ei ole ainulaadne. Selles süsteemis paljude algastendajate n klasside jagajate teooria võimaldab kinnitada Fermat' teoreemi paikapidavust. Seega on lineaarne diofantiini võrrand kahe tundmatuga täidetud olemasolevate meetodite ja viisidega.
Kirjeldatud ülesannete tüübid ja tüübid
Algebraliste täisarvude rõngaste aritmeetikat kasutatakse ka paljudes teistes diofantiini võrrandite ülesannetes ja lahendustes. Näiteks rakendati selliseid meetodeid ebavõrdsuse täitmisel kujul N(a1 x1 +…+ a x)=m, kus N(a) on a norm ja x1, …, xn leitakse integraalsed ratsionaalsed muutujad. See klass sisaldab Pelli võrrandit x2–dy2=1.
Väärtused a1, …, a , on need võrrandid jagatud kahte tüüpi. Esimene tüüp - nn täielikud vormid - sisaldab võrrandeid, milles a hulgas on m lineaarselt sõltumatut arvu ratsionaalsete muutujate Q väljal, kus m=[Q(a1, …, a):Q], milles on algebraliste eksponentide aste Q (a1, …, a ) üle Q. Mittetäielikud liigid on mille maksimaalne arv a i on väiksem kui m.
Täisvormid on lihtsamad, nende uurimine on täielik ja kõiki lahendusi saab kirjeldada. Teine tüüp, mittetäielikud liigid, on keerulisem ja sellise teooria väljatöötamine pole veel lõppenud. Selliseid võrrandeid uuritakse diofantiinsete lähenduste abil, mis sisaldavad võrratust F(x, y)=C, kus F (x, y) on taandamatu, homogeenne polünoom astmega n≧3. Seega võime eeldada, et yi→∞. Seega, kui yi on piisav alt suur, siis on ebavõrdsus vastuolus Thue, Siegeli ja Rothi teoreemiga, millest järeldub, et F(x, y)=C, kus F on kolmanda või kõrgema astme vorm, taandamatul ei saa olla lõpmatu arvu lahendusi.
Kuidas lahendada diofantiini võrrandit?
See näide on üsna kitsas klass kõigi seas. Näiteks hoolimata nende lihtsusest on x3 + y3 + z3=N ja x2 +y 2 +z2 +u2 =N ei kuulu sellesse klassi. Lahenduste uurimine on küll altki hoolik alt uuritud diofantiliste võrrandite haru, kus aluseks on arvude esitamine ruutkujuliste vormidega. Lagrangelõi teoreemi, mis ütleb, et täitus on olemas kogu naturaalarvu jaoks. Iga naturaalarvu saab esitada kolme ruudu summana (Gaussi teoreem), kuid see ei tohiks olla kujul 4a (8K-1), kus a ja k on mittenegatiivsed täisarvu eksponendid.
F-tüüpi diofantiini võrrandisüsteemi ratsionaalsed või integraallahendused (x1, …, x)=a, kus F (x 1, …, x) on täisarvu koefitsientidega ruutvorm. Seega on Minkowski-Hasse teoreemi kohaselt ebavõrdsus ∑aijxixj=b ijja b on ratsionaalne, omab iga algarvu p jaoks reaal- ja p-adic arvude integraallahendust ainult siis, kui see on selles struktuuris lahendatav.
Iseloomulike raskuste tõttu on kolmanda ja kõrgema astme suvaliste vormidega arvude uurimist vähem uuritud. Peamine täitmismeetod on trigonomeetriliste summade meetod. Sel juhul on võrrandi lahendite arv selgelt kirjas Fourier' integraali kaudu. Pärast seda kasutatakse keskkonnameetodit vastavate kongruentside ebavõrdsuse täitumise arvu väljendamiseks. Trigonomeetriliste summade meetod sõltub võrratuste algebralistest tunnustest. Lineaarsete diofantiinsete võrrandite lahendamiseks on palju elementaarseid meetodeid.
Diofantiini analüüs
Matemaatika osakond, mille õppeaineks on algebra võrrandisüsteemide integraalsete ja ratsionaalsete lahenduste uurimine geomeetria meetoditega, samastsfäärid. 19. sajandi teisel poolel viis selle arvuteooria esilekerkimine Diofantiini võrrandite uurimiseni suvalisest koefitsientväljast ja lahendusi vaadeldi kas selles või selle rõngastes. Paralleelselt arvudega arenes välja algebraliste funktsioonide süsteem. Põhiline analoogia nende kahe vahel, mida rõhutasid D. Hilbert ja eriti L. Kronecker, viis erinevate aritmeetiliste mõistete ühtse konstrueerimiseni, mida tavaliselt nimetatakse globaalseks.
See on eriti märgatav, kui uuritavad algebralised funktsioonid konstantide lõplikul väljal on üks muutuja. Sellised mõisted nagu klassiväljateooria, jagaja ja hargnemine ning tulemused illustreerivad ül altoodut hästi. See seisukoht võeti diofantiliste ebavõrdsuste süsteemis kasutusele alles hiljem ja süstemaatiline uurimine mitte ainult numbriliste, vaid ka funktsioonideks olevate koefitsientide kohta algas alles 1950. aastatel. Selle lähenemisviisi üheks otsustavaks teguriks oli algebralise geomeetria areng. Arvude ja funktsioonide valdkondade, mis tekivad sama teema kahe võrdselt olulise aspektina, samaaegne uurimine ei andnud mitte ainult elegantseid ja veenvaid tulemusi, vaid viis ka kahe teema vastastikuse rikastamiseni.
Algebralises geomeetrias asendatakse sordi mõiste antud välja K mitteinvariantse võrratuste hulgaga ja nende lahendused asendatakse ratsionaalsete punktidega, mille väärtused on K-s või selle lõplikus laiendis. Sellest lähtuv alt võib öelda, et diofantilise geomeetria põhiprobleem on ratsionaalsete punktide uuriminealgebralise hulga X(K), samas kui X on teatud arvud väljal K. Täisarvu täitmisel on lineaarsetes diofantiinsetes võrrandites geomeetriline tähendus.
Ebavõrdsuse uuringud ja teostamise võimalused
Algebraliste variatsioonide ratsionaalseid (või integraalpunkte) uurides kerkib esile esimene probleem, milleks on nende olemasolu. Hilberti kümnes ülesanne on sõnastatud selle ülesande lahendamiseks üldise meetodi leidmise probleemina. Algoritmi täpse definitsiooni loomise protsessis ja pärast seda, kui oli tõestatud, et paljude ülesannete jaoks selliseid täitmisi pole, sai probleem ilmselge negatiivse tulemuse ja kõige huvitavam küsimus on diofantiini võrrandite klasside määratlemine. mille jaoks on olemas ül altoodud süsteem. Kõige loomulikum lähenemine algebralisest vaatepunktist on nn Hasse printsiip: algvälja K uuritakse koos selle täiendustega Kv üle kõigi võimalike hinnangute. Kuna X(K)=X(Kv) on olemasolu vajalik tingimus ja punkt K arvestab, et hulk X(Kv) pole kõigi v. jaoks tühi
Olulisus seisneb selles, et see ühendab kaks probleemi. Teine on palju lihtsam, see on lahendatav tuntud algoritmi abil. Konkreetsel juhul, kui variatsioon X on projektiivne, võimaldab Hanseli lemma ja selle üldistused edasist redutseerimist: probleemi saab taandada ratsionaalsete punktide uurimisele piiratud väljal. Seejärel otsustab ta luua kontseptsiooni kas järjepideva uurimistöö või tõhusamate meetodite abil.
Viimaneoluline on see, et hulgad X(Kv) ei ole tühjad kõigi v jaoks, välja arvatud piiratud arv v, seega on tingimuste arv alati lõplik ja neid saab tõhus alt testida. Hasse põhimõte aga kraadikõverate puhul ei kehti. Näiteks 3x3 + 4y3=5 sisaldab punkte kõigil p-adic numbriväljadel ja reaalarvude süsteemis, kuid sellel pole ratsionaalseid punkte.
See meetod oli lähtepunktiks kontseptsiooni koostamisel, mis kirjeldab Abeli sortide peamiste homogeensete ruumide klasse, et teha "hälbe" Hasse põhimõttest. Seda kirjeldatakse erilise struktuuriga, mida saab seostada iga kollektoriga (Tate-Shafarevitši rühm). Teooria peamine raskus seisneb selles, et rühmade arvutamise meetodeid on raske hankida. Seda mõistet on laiendatud ka teistele algebraliste variatsioonide klassidele.
Otsige ebavõrdsuse täitmise algoritmi
Teine heuristiline idee, mida Diofantiuse võrrandite uurimisel kasutatakse, on see, et kui ebavõrdsuste kogumiga seotud muutujate arv on suur, on süsteemil tavaliselt lahendus olemas. Seda on aga igal konkreetsel juhul väga raske tõestada. Üldine lähenemine seda tüüpi probleemidele kasutab analüütilist arvuteooriat ja põhineb trigonomeetriliste summade hinnangutel. Seda meetodit rakendati algselt erilist tüüpi võrrandite jaoks.
Hiljem aga tõestati selle abil, et kui paaritu astme kuju on F, siis d-sja n muutujat ning ratsionaalsete koefitsientidega, siis n on d-ga võrreldes piisav alt suur, seega on projektiivsel hüperpinnal F=0 ratsionaalne punkt. Artini oletuse järgi on see tulemus tõene ka siis, kui n > d2. Seda on tõestatud ainult ruutvormide puhul. Sarnaseid probleeme võib küsida ka teiste valdkondade kohta. Diofantilise geomeetria keskne probleem on täisarvude ehk ratsionaalsete punktide hulga struktuur ja nende uurimine ning esimene küsimus, mida tuleb selgitada, on, kas see hulk on lõplik. Selles ülesandes on olukorras tavaliselt lõplik arv täitmisi, kui süsteemi aste on palju suurem muutujate arvust. See on põhieeldus.
Ebavõrdsused sirgel ja kõveral
Rühma X(K) saab esitada r-järgu vaba struktuuri ja järgu n lõpliku rühma otsese summana. Alates 1930. aastatest on uuritud küsimust, kas need arvud on piiratud kõigi elliptiliste kõverate hulgaga antud väljal K. Väände n piiritust demonstreeriti seitsmekümnendatel. Funktsionaalsel juhul on suvalise kõrge astme kõverad. Numbrilisel juhul pole sellele küsimusele ikka veel vastust.
Lõpuks väidab Mordelli oletus, et integraalpunktide arv on perekonna g>1 kõvera korral lõplik. Funktsionaalsel juhul demonstreeris seda kontseptsiooni Yu. I. Manin 1963. aastal. Peamine tööriist, mida kasutatakse lõplikkuse teoreemide tõestamisel Diofantiini geomeetrias, on kõrgus. Algebralistest sortidest on mõõtmed üle ühe Abelikollektoreid, mis on elliptiliste kõverate mitmemõõtmelised analoogid, on kõige põhjalikum alt uuritud.
A. Weil üldistas teoreemi ratsionaalsete punktide rühma generaatorite arvu lõplikkuse kohta mis tahes dimensiooniga Abeli variatsioonidele (Mordell-Weili kontseptsioon), laiendades seda. 1960. aastatel ilmusid Birchi ja Swinnerton-Dyeri oletused, mis parandasid seda ning kollektori rühma ja zeta funktsioone. Arvulised tõendid toetavad seda hüpoteesi.
Lahendatavusprobleem
Algoritmi leidmise probleem, mille abil saab määrata, kas mõnel Diofantiini võrrandil on lahendus. Esitatud probleemi oluliseks tunnuseks on universaalse meetodi otsimine, mis sobiks igasuguse ebavõrdsuse korral. Selline meetod võimaldaks lahendada ka ül altoodud süsteeme, kuna see on ekvivalentne P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 või p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Probleemi sellise universaalse viisi leidmiseks täisarvude lineaarsele ebavõrdsusele lahenduste leidmiseks esitas D. Gilbert.
1950. aastate alguses ilmusid esimesed uuringud, mille eesmärk oli tõestada, et diofantiini võrrandite lahendamiseks mõeldud algoritmi ei eksisteeri. Sel ajal ilmus Davise oletus, mis ütles, et iga loendatav hulk kuulub ka Kreeka teadlasele. Sest näiteid algoritmiliselt otsustamatute hulkade kohta on teada, kuid need on rekursiivselt loendatavad. Sellest järeldub, et Davise oletus on tõsi ja nende võrrandite lahendatavuse probleemon negatiivse täitmisega.
Pärast seda jääb Davise oletuste jaoks tõestada, et on olemas meetod ebavõrdsuse teisendamiseks, millel on (või ei olnud) samal ajal lahendus. Näidati, et selline diofantiini võrrandi muutmine on võimalik, kui sellel on kaks ül altoodud omadust: 1) igas seda tüüpi lahendis v ≦ uu; 2) iga k korral on täitmine eksponentsiaalse kasvuga.
Selle klassi lineaarse diofantiini võrrandi näide lõpetas tõestuse. Nende ratsionaalsete arvude ebavõrdsuse lahendatavuse ja äratundmise algoritmi olemasolu peetakse endiselt oluliseks ja lahtiseks küsimuseks, mida pole piisav alt uuritud.
