Inimkonna edenemine on suuresti tingitud geeniuste tehtud avastustest. Üks neist on Blaise Pascal. Tema loominguline elulugu kinnitab veel kord Lion Feuchtwangeri väljendi "Andekas inimene, andekas kõiges" paikapidavust. Selle suure teadlase kõiki teadussaavutusi on raske üles lugeda. Nende hulgas on üks matemaatikamaailma elegantsemaid leiutisi – Pascali kolmnurk.
Paar sõna geniaalsusest
Blaise Pascal suri tänapäevaste standardite järgi varakult, 39-aastaselt. Oma lühikese elu jooksul paistis ta aga silma silmapaistva füüsiku, matemaatiku, filosoofi ja kirjanikuna. Tänulikud järeltulijad nimetasid tema auks rõhuühiku ja populaarse programmeerimiskeele Pascal. Seda on kasutatud peaaegu 60 aastat erinevate koodide kirjutamise õpetamiseks. Näiteks saab iga õpilane selle abil kirjutada programmi Pascali kolmnurga pindala arvutamiseks, samuti uurida vooluringi omadusi, umbesmida arutatakse allpool.
Selle erakordse mõtlemisega teadlase tegevus hõlmab väga erinevaid teadusvaldkondi. Eelkõige on Blaise Pascal üks hüdrostaatika, matemaatilise analüüsi, mõne geomeetria ja tõenäosusteooria valdkonna rajajaid. Samuti ta:
- lõi mehaanilise kalkulaatori, mida tuntakse Pascali rattana;
- esitanud eksperimentaalseid tõendeid selle kohta, et õhul on elastsus ja kaal;
- selgitas, et baromeetri abil saab ennustada ilma;
- leiutas käru;
- leiutas omnibussi - fikseeritud marsruutidega hobuvankrid, millest sai hiljem esimene ühistranspordi liik jne.
Pascali aritmeetiline kolmnurk
Nagu juba mainitud, andis see suur prantsuse teadlane tohutu panuse matemaatikasse. Üks tema absoluutseid teaduslikke meistriteoseid on "Traktaat aritmeetilisest kolmnurgast", mis koosneb kindlasse järjekorda paigutatud binoomkoefitsientidest. Selle skeemi omadused on silmatorkavad oma mitmekesisuses ja see ise kinnitab vanasõna "Kõik geniaalne on lihtne!".
Natuke ajalugu
Aus alt öeldes peab ütlema, et tegelikult tunti Pascali kolmnurka Euroopas juba 16. sajandi alguses. Eelkõige võib tema kujutist näha Ingolstadti ülikooli kuulsa astronoomi Peter Apiani aritmeetikaõpiku kaanel. Sarnane kolmnurk on näidatud ka illustratsioonina. Hiina matemaatiku Yang Hui raamatus, mis ilmus 1303. aastal. 12. sajandi alguses oli selle omadustest teadlik ka tähelepanuväärne Pärsia luuletaja ja filosoof Omar Khayyam. Veelgi enam, arvatakse, et ta kohtas teda Araabia ja India teadlaste varem kirjutatud traktaatide põhjal.
Kirjeldus
Enne oma täiuslikkuse ja lihtsuse poolest kauni Pascali kolmnurga kõige huvitavamate omadustega tutvumist tasub teada, mis see on.
Teaduslikult öeldes on see arvuline skeem lõputu kolmnurkne tabel, mis on moodustatud kindlas järjekorras paigutatud binoomkoefitsientidest. Selle ülaosas ja külgedel on numbrid 1. Ülejäänud positsioonid on hõivatud numbritega, mis on võrdsed nende kohal kõrvuti asuva kahe numbri summaga. Pealegi on kõik Pascali kolmnurga sirged selle vertika altelje suhtes sümmeetrilised.
Põhifunktsioonid
Pascali kolmnurk rabab oma täiuslikkusega. Iga rea puhul, mille numbrid on n (n=0, 1, 2…) on tõene:
- esimene ja viimane number on 1;
- teine ja eelviimane - n;
- kolmas arv võrdub kolmnurkarvuga (ringide arv, mida saab paigutada võrdkülgsesse kolmnurka, st 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Neljas arv on tetraeedriline, st see on püramiid, mille põhjas on kolmnurk.
Lisaks, suhteliselt hiljuti, aastal 1972, kehtestati Pascali kolmnurga teine omadus. Selleks, et temaselle väljaselgitamiseks peate kirjutama selle skeemi elemendid tabeli kujul koos rea nihkega 2 positsiooni võrra. Seejärel märkige üles rea numbriga jaguvad numbrid. Selgub, et selle veeru number, milles kõik numbrid on esile tõstetud, on algarv.
Sama trikki saab teha ka muul viisil. Selleks asendatakse Pascali kolmnurgas arvud nende jagamise jääkidega tabelis oleva rea numbriga. Seejärel järjestatakse jooned tekkinud kolmnurgas nii, et järgmine algab eelmise esimesest elemendist 2 veergu paremale. Siis koosnevad algarvude arvudega veerud ainult nullidest ja liitarvudega veerud sisaldavad vähem alt ühte nulli.
Ühendus Newtoni binoomiga
Nagu teate, on see valemi nimi kahe muutuja summa mittenegatiivseks täisarvuks laiendamiseks, mis näeb välja järgmine:
Nendes esinevad koefitsiendid on võrdsed C m =n! / (m! (n - m)!), kus m on Pascali kolmnurga järjekorraarv reas n. Teisisõnu, kui teil on see tabel käepärast, saate mis tahes arvu hõlps alt astmeni tõsta, kui olete need eelnev alt kaheks liikmeks jaotanud.
Seega on Pascali kolmnurk ja Newtoni binoom omavahel tihed alt seotud.
Math Wonders
Pascali kolmnurga põhjalikul uurimisel selgub, et:
- kõigi numbrite summa realseerianumber n (loendades 0-st) on 2;
- kui jooned on joondatud vasakule, siis on Pascali kolmnurga diagonaalidel, alt üles ja vasakult paremale liikuvate arvude summad võrdsed Fibonacci arvudega;
- esimene "diagonaal" koosneb naturaalarvudest järjekorras;
- üksiga vähendatud Pascali kolmnurga mis tahes element võrdub kõigi rööpküliku sees asuvate arvude summaga, mis on piiratud sellel arvul ristuvate vasak- ja parempoolsete diagonaalidega;
- diagrammi igal real on paariskohtade arvude summa võrdne paaritutes kohtades olevate elementide summaga.
Sierpinski kolmnurk
Selline huvitav matemaatiline skeem, mis on keerukate ülesannete lahendamise seisukoh alt üsna paljutõotav, saadakse Pascali kujutise paarisarvude värvimisel ühte värvi ja paaritute numbritega teise värviga.
Sierpinski kolmnurka saab ehitada ka muul viisil:
- varjutatud Pascali skeemis värvitakse keskmine kolmnurk teist värvi ümber, mis moodustub algse külgede keskpunktide ühendamisel;
- tee täpselt sama kolme värvimata värviga, mis asuvad nurkades;
- kui protseduuri jätkata lõputult, siis peaks tulemuseks olema kahevärviline kujund.
Sierpinski kolmnurga kõige huvitavam omadus on selle enesesarnasus, kuna see koosneb kolmest selle koopiast, mida vähendatakse 2 korda. See võimaldab meil omistada selle skeemi fraktaalikõveratele ja neile, nagu näitab viimaneuuringud sobivad kõige paremini pilvede, taimede, jõgede deltade ja universumi enda matemaatiliseks modelleerimiseks.
Mitu huvitavat ülesannet
Kus kasutatakse Pascali kolmnurka? Selle abiga lahendatavate ülesannete näited on üsna mitmekesised ja kuuluvad erinevatesse teadusvaldkondadesse. Vaatame mõningaid huvitavamaid.
Probleem 1. Mõnes kindlusmüüriga ümbritsetud suures linnas on ainult üks sissepääsuvärav. Esimesel ristmikul läheb peatee kaheks. Sama juhtub iga teisega. Linna siseneb 210 inimest. Igal ristmikul, millega nad kohtuvad, jagatakse nad pooleks. Kui palju inimesi igal ristmikul leitakse, kui enam jagada ei saa. Tema vastus on Pascali kolmnurga rida 10 (koefitsiendi valem on toodud ülal), kus numbrid 210 asuvad mõlemal pool vertika altelge.
Ülesanne 2. Värve on 7 nimetust. Peate tegema 3 lille kimbu. Tuleb välja selgitada, kui mitmel erineval viisil saab seda teha. See probleem pärineb kombinatoorika valdkonnast. Selle lahendamiseks kasutame taas Pascali kolmnurka ja saame 7. reale kolmandale positsioonile (nummerdades mõlemal juhul nullist) numbri 35.
Nüüd teate, mille leiutas suur prantsuse filosoof ja teadlane Blaise Pascal. Selle kuulsast kolmnurgast võib õigel kasutamisel saada tõeline pääste paljude probleemide lahendamisel, eriti põllul.kombinatoorika. Lisaks saab seda kasutada paljude fraktalidega seotud mõistatuste lahendamiseks.
