Kooli geomeetria kursuses pühendatakse tohutult aega kolmnurkade uurimisele. Õpilased arvutavad nurki, ehitavad poolitajaid ja kõrgusi, saavad teada, kuidas kujundid üksteisest erinevad ning kuidas on kõige lihtsam leida nende pindala ja ümbermõõt. Tundub, et sellest pole elus kuidagi kasu, aga vahel on siiski kasulik teada näiteks, kuidas teha kindlaks, et kolmnurk on võrdkülgne või nürinurkne. Kuidas seda teha?
Kolmnurkade tüübid
Kolm punkti, mis ei asu samal sirgel, ja neid ühendavad lõigud. Tundub, et see näitaja on kõige lihtsam. Millised võivad kolmnurgad välja näha, kui neil on ainult kolm külge? Tegelikult on valikuvõimalusi üsna palju ja mõnele neist pööratakse kooli geomeetriakursuse raames erilist tähelepanu. Võrdkülgne kolmnurk on võrdkülgne, see tähendab, et selle kõik nurgad ja küljed on võrdsed. Sellel on mitmeid tähelepanuväärseid omadusi, mida arutatakse hiljem.
Võrdhaarsel on ainult kaks võrdset külge ja see on ka üsna huvitav. Täis- ja nürinurksetes kolmnurkades, nagu võite arvata, on üks nurkadest täis- või nürinurkne. Kellsee võib olla ka võrdhaarne.
On olemas ka eriline kolmnurk, mida nimetatakse egiptuseks. Selle küljed on 3, 4 ja 5 ühikut. Siiski on see ristkülikukujuline. Arvatakse, et Egiptuse maamõõtjad ja arhitektid kasutasid sellist kolmnurka aktiivselt täisnurkade ehitamiseks. Arvatakse, et kuulsad püramiidid ehitati selle abiga.
Ja ometi võivad kõik kolmnurga tipud asuda ühel sirgel. Sel juhul nimetatakse seda degeneratiivseks, samas kui kõiki teisi nimetatakse mitte-mandunud. Need on üks geomeetria õppeaineid.
Võrdkülgne kolmnurk
Muidugi on õiged arvud alati kõige huvitavamad. Nad tunduvad täiuslikumad, graatsilisemad. Nende karakteristikute arvutamise valemid on sageli lihtsamad ja lühemad kui tavaliste arvude puhul. See kehtib ka kolmnurkade kohta. Pole üllatav, et geomeetria õppimisel pööratakse neile palju tähelepanu: kooliõpilasi õpetatakse eristama tavalisi figuure teistest ja rääkima ka nende huvitavatest omadustest.
Sildid ja omadused
Nagu nimest arvata võis, on võrdkülgse kolmnurga kumbki külg võrdne kahe teise küljega. Lisaks on sellel mitmeid funktsioone, tänu millele on võimalik kindlaks teha, kas joonis on õige või mitte.
- kõik selle nurgad on võrdsed, nende väärtus on 60 kraadi;
- igast tipust tõmmatud poolitajad, kõrgused ja mediaanid on samad;
- tavalisel kolmnurgal on 3 sümmeetriatelgeei muutu 120 kraadi pööramisel.
- sissekirjutatud ringi keskpunkt on ühtlasi ka piiritletud ringi keskpunkt ning mediaanide, poolitajate, kõrguste ja risti poolitajate lõikepunkt.
Kui täheldatakse vähem alt ühte ül altoodud märkidest, on kolmnurk võrdkülgne. Tavalise arvu puhul on kõik ül altoodud väited tõesed.
Kõigil kolmnurkadel on mitmeid tähelepanuväärseid omadusi. Esiteks, keskmine joon, st segment, mis jagab kahte külge pooleks ja paralleelselt kolmandaga, on võrdne poolega alusest. Teiseks on selle joonise kõigi nurkade summa alati 180 kraadi. Lisaks on kolmnurkades veel üks huvitav suhe. Seega on suurema külje vastas suurem nurk ja vastupidi. Kuid sellel pole muidugi midagi pistmist võrdkülgse kolmnurgaga, sest kõik selle nurgad on võrdsed.
Sissekirjutatud ja piiritletud ringid
Ei ole harvad juhud, kui geomeetriakursuse õpilased õpivad ka seda, kuidas kujundid võivad üksteisega suhelda. Eelkõige uuritakse hulknurkadesse kirjutatud või nende ümber kirjeldatud ringe. Millest see räägib?
Sissekirjutatud ringjoon on ringjoon, mille hulknurga kõik küljed on puutujad. Kirjeldatud - see, millel on kokkupuutepunktid kõigi nurkadega. Iga kolmnurga jaoks on alati võimalik konstrueerida nii esimene kui ka teine ring, kuid igast tüübist ainult üks. Tõendid nende kahe kohta
teoreemid on antudkooli geomeetria kursus.
Lisaks kolmnurkade endi parameetrite arvutamisele hõlmavad mõned ülesanded ka nende ringide raadiuste arvutamist. Ja võrdkülgse kolmnurga valemid näevad välja järgmised:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
kus r on sisse kirjutatud ringi raadius, R on piiritletud ringi raadius, a on kolmnurga külje pikkus.
Kõrguse, perimeetri ja pindala arvutamine
Peamised parameetrid, mida kooliõpilased geomeetriat õppides arvutavad, jäävad muutumatuks peaaegu kõigi jooniste puhul. Need on ümbermõõt, pindala ja kõrgus. Arvutamise hõlbustamiseks on olemas erinevad valemid.
Seega arvutatakse ümbermõõt, see tähendab kõigi külgede pikkus, järgmiselt:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, kus a on korrapärase kolmnurga külg, R on ümberringjoone raadius, r on sisse kirjutatud ringjoon.
Kõrgus:
h=(√ ̅3/2)a, kus a on külje pikkus.
Lõpuks tuletatakse võrdkülgse kolmnurga pindala valem standardvalemist, st poole aluse ja selle kõrguse korrutisest.
S=(√ ̅3/4)a2, kus a on külje pikkus.
Samuti saab selle väärtuse arvutada piiritletud või sisse kirjutatud ringi parameetrite kaudu. Selle jaoks on olemas ka spetsiaalsed valemid:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, kus r ja R on vastav alt raadiused sissekirjutatud ja piiritletud ringid.
Ehitis
Veel üksHuvitavat tüüpi ülesanded, sealhulgas kolmnurgad, on seotud vajadusega joonistada üks või teine kujund, kasutades minimaalset komplekti
tööriistad: kompass ja jaotusteta joonlaud.
Ainult nende tööriistadega õige kolmnurga loomiseks kulub paar sammu.
- Peate joonistama mis tahes raadiusega ringi, mille keskpunkt on suvaline punkt A. See tuleb märkida.
- Järgmiseks peate tõmbama läbi selle punkti sirgjoone.
- Ringjoone ja sirge ristumiskohad tuleb tähistada kui B ja C. Kõik konstruktsioonid tuleb teostada võimalikult suure täpsusega.
- Järgmiseks peate punktis C ehitama teise sama raadiuse ja keskpunktiga ringi või sobivate parameetritega kaare. Ristmikud on tähistatud kui D ja F.
- Punktid B, F, D peavad olema segmentidega ühendatud. Ehitatakse võrdkülgne kolmnurk.
Selliste probleemide lahendamine on tavaliselt kooliõpilaste probleem, kuid see oskus võib igapäevaelus kasuks tulla.
