Maht on tunnusjoon igale figuurile, mille kõigis kolmes ruumimõõtmes on nullist erinevad mõõtmed. Selles artiklis käsitleme stereomeetria (ruumikujude geomeetria) seisukoh alt prismat ja näitame, kuidas leida erinevat tüüpi prismade mahtu.
Mis on prisma?
Stereomeetrial on sellele küsimusele täpne vastus. Selles oleva prisma all mõistetakse kujundit, mis on moodustatud kahest identsest hulknurksest tahust ja mitmest rööpkülikust. Alloleval pildil on neli erinevat prismat.
Iga neist saab saada järgmiselt: peate võtma hulknurga (kolmnurk, nelinurk ja nii edasi) ja teatud pikkusega lõigu. Seejärel tuleks hulknurga iga tipp paralleelsete segmentide abil üle kanda teisele tasapinnale. Uuel tasapinnal, mis on algse tasapinnaga paralleelne, saadakse uus hulknurk, mis on sarnane algselt valitud tasandiga.
Prismad võivad olla erinevat tüüpi. Seega võivad need olla sirged, kaldus ja õiged. Kui prisma külgserv (segment,aluste tippe ühendav) joonise alustega risti, siis viimane on sirge. Seega, kui see tingimus ei ole täidetud, räägime kaldprismast. Tavaline kujund on täisnurkne prisma, millel on võrdnurkne ja võrdkülgne alus.
Hiljem artiklis näitame, kuidas arvutada igat tüüpi prismade ruumala.
Tavaliste prismade maht
Alustame kõige lihtsamast juhtumist. Anname n-nurkse alusega tavalise prisma ruumala valemi. Vaadeldava klassi mis tahes arvu mahuvalem V on järgmine:
V=Soh.
See tähendab, et helitugevuse määramiseks piisab, kui arvutada ühe aluse pindala So ja korrutada see joonise kõrgusega h.
Tavaprisma puhul tähistame selle aluse külje pikkust tähega a ja kõrgust, mis võrdub külgserva pikkusega, tähega h. Kui n-nurga alus on õige, on selle pindala arvutamiseks kõige lihtsam kasutada järgmist universaalset valemit:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Asendades külgede arvu n ja ühe külje a pikkuse võrdsusega, saate arvutada n-nurga aluse pindala. Pange tähele, et siinne kotangensfunktsioon arvutatakse nurga pi/n jaoks, mis on väljendatud radiaanides.
Arvestades S jaoks kirjutatud võrdsust, saame tavalise prisma ruumala lõpliku valemi:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Igal konkreetsel juhul võite kirjutada V jaoks vastavad valemid, kuid need kõiküheselt järelduvad kirjalikust üldväljendist. Näiteks tavalise nelinurkse prisma jaoks, mis üldiselt on ristkülikukujuline rööptahukas, saame:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Kui võtame selles avaldises h=a, saame kuubi ruumala valemi.
Otseprismade maht
Märgime kohe, et sirgete arvude jaoks puudub üldine ruumala arvutamise valem, mis on toodud ülal tavaliste prismade jaoks. Kõnealuse väärtuse leidmisel tuleks kasutada algset avaldist:
V=Soh.
Siin h on külgserva pikkus, nagu ka eelmisel juhul. Mis puutub baasalasse So, siis sellel võib olla mitmesuguseid väärtusi. Mahu sirge prisma arvutamise ülesanne on taandatud selle aluse pindala leidmisele.
Soväärtuse arvutamisel tuleks lähtuda aluse enda omadustest. Näiteks kui see on kolmnurk, saab pindala arvutada järgmiselt:
So3=1/2aha.
Siin ha on kolmnurga apoteem, see tähendab, et selle kõrgus on langetatud alusele a.
Kui alus on nelinurk, siis võib see olla trapets, rööpkülik, ristkülik või täiesti suvaline tüüp. Kõigil neil juhtudel peaksite pindala määramiseks kasutama sobivat planimeetria valemit. Näiteks trapetsi puhul näeb see valem välja järgmine:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Kus ha on trapetsi kõrgus, a1 ja a2 on pikkused selle paralleelsetest külgedest.
Kõrgemat järku hulknurkade pindala määramiseks tuleks need jagada lihtsateks kujunditeks (kolmnurgad, nelinurgad) ja arvutada viimaste pindalade summa.
kallutatud prisma helitugevus
See on prisma ruumala arvutamise kõige keerulisem juhtum. Kehtib ka selliste arvude üldvalem:
V=Soh.
Suvalist tüüpi hulknurka esindava aluse pindala leidmise keerukusele lisandub aga joonise kõrguse määramise probleem. See on alati väiksem kui kaldprisma külgserva pikkus.
Lihtsaim viis selle kõrguse leidmiseks on, kui teate figuuri mis tahes nurka (tasane või kahetahuline). Kui selline nurk on antud, siis tuleks selle abil konstrueerida prisma sees täisnurkne kolmnurk, mille ühe küljena oleks kõrgus h ning trigonomeetriliste funktsioonide ja Pythagorase teoreemi abil leida väärtus h.
Geomeetrilise helitugevuse probleem
Arvestades kolmnurkse põhjaga tavaprisma kõrgusega 14 cm ja külje pikkusega 5 cm. Mis on kolmnurkse prisma ruumala?
Kuna me räägime õigest figuurist, on meil õigus kasutada üldtuntud valemit. Meil on:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
Kolmnurkne prisma on üsna sümmeetriline kujund, mille kujul valmistatakse sageli erinevaid arhitektuurseid struktuure. Seda klaasprismat kasutatakse optikas.
