Mis on aritmeetika? Millal hakkas inimkond numbreid kasutama ja nendega töötama? Kust lähevad selliste igapäevaste mõistete juured nagu arvud, murrud, lahutamine, liitmine ja korrutamine, millest inimene on saanud oma elu ja maailmapildi lahutamatuks osaks? Vana-Kreeka vaimud imetlesid selliseid teadusi nagu matemaatika, aritmeetika ja geomeetria kui inimloogika kauneimaid sümfooniaid.
Võib-olla pole aritmeetika nii sügav kui teised teadused, aga mis juhtuks nendega, kui inimene unustaks elementaarkorrutustabeli? Meile harjumuspärane loogiline mõtlemine, kasutades numbreid, murde ja muid vahendeid, ei olnud inimestele lihtne ja oli pikka aega kättesaamatu meie esivanematele. Tegelikult ei olnud enne aritmeetika arengut ükski inimteadmiste valdkond tõeliselt teaduslik.
Aritmeetika on matemaatika ABC
Aritmeetika on numbrite teadus, mille abil iga inimene hakkab tutvuma matemaatika põneva maailmaga. Nagu ütles M. V. Lomonosov, on aritmeetika õppimise värav, mis avab meile tee maailmateadmistele. Aga tal on õigusKas teadmisi maailmast saab eraldada numbrite ja tähtede, matemaatika ja kõne tundmisest? Võib-olla vanasti, kuid mitte tänapäeva maailmas, kus teaduse ja tehnoloogia kiire areng dikteerib oma seadused.
Kreeka päritolu sõna "aritmeetika" (kreeka keeles "aritmos") tähendab "arvu". Ta uurib numbreid ja kõike, mida nendega seostada saab. See on arvude maailm: mitmesugused toimingud arvudega, arvureeglid, korrutamise, lahutamise jms probleemide lahendamine.
Üldiselt aktsepteeritakse, et aritmeetika on matemaatika esimene samm ja kindel alus selle keerukamatele osadele, nagu algebra, matemaatiline analüüs, kõrgem matemaatika jne.
Aritmeetika põhiobjekt
Aritmeetika aluseks on täisarv, mille omadusi ja mustreid käsitletakse kõrgemas aritmeetikas või arvuteoorias. Tegelikult oleneb kogu hoone tugevus – matemaatika – sellest, kui õigesti suhtutakse sellise väikese ploki naturaalarvuna käsitamisse.
Seetõttu saab küsimusele, mis on aritmeetika, vastata lihts alt: see on arvude teadus. Jah, umbes tavalise seitsme, üheksa ja kogu selle mitmekesise kogukonna kohta. Ja nagu te ei saa kirjutada head või isegi kõige keskpärasemat luulet ilma elementaarse tähestikuta, ei saa te isegi elementaarset ülesannet lahendada ilma aritmeetikata. Seetõttu arenesid kõik teadused alles pärast aritmeetika ja matemaatika arengut, mis enne seda olid vaid oletuste kogum.
Aritmeetika on fantoomteadus
Mis on aritmeetika – loodusteadus või fantoom? Tegelikult, nagu väitsid Vana-Kreeka filosoofid, ei eksisteeri tegelikkuses ei numbreid ega arve. See on lihts alt fantoom, mis tekib inimese mõtlemises, kui arvestada keskkonda ja selle protsesse. Tõepoolest, mis on arv? Me ei näe kusagil midagi sellist, mida võiks nimetada numbriks, pigem on arv inimmõistuse viis maailma uurida. Või äkki on see iseenda uurimine seestpoolt? Filosoofid on selle üle vaielnud juba mitu sajandit järjest, nii et me ei võta ammendavat vastust ette. Ühel või teisel viisil on aritmeetika suutnud oma koha nii kindl alt sisse võtta, et tänapäeva maailmas ei saa kedagi pidada sotsiaalselt kohantunuks, teadmata selle põhitõdesid.
Kuidas naturaalarv ilmus
Muidugi on põhiobjekt, millega aritmeetika opereerib, naturaalarv, näiteks 1, 2, 3, 4, …, 152… jne. Naturaalarvude aritmeetika on tavaliste objektide, näiteks heinamaal olevate lehmade loendamise tulemus. Siiski ei sobinud mõiste "palju" või "vähe" kunagi inimestele ja nad pidid leiutama täiustatud loendustehnikaid.
Kuid tõeline läbimurre toimus siis, kui inimmõistus jõudis selleni, et on võimalik määrata 2 kilogrammi ja 2 tellist ning 2 osa sama numbriga "kaks". Fakt on see, et peate abstraheerima objektide vormidest, omadustest ja tähendusest, siis saate nende objektidega naturaalarvude kujul mõningaid toiminguid teha. Nii sündis arvude aritmeetika, misedasi arendatud ja laienenud, hõivates ühiskonnaelus üha suuremaid positsioone.
Sellistel arvukatel süvendatud mõistetel nagu null ja negatiivne arv, murrud, arvude tähistamine arvude järgi ja muul viisil, on rikkalik ja huvitav arengulugu.
Aritmeetilised ja praktilised egiptlased
Kaks vanimat inimkaaslast ümbritseva maailma avastamisel ja igapäevaste probleemide lahendamisel on aritmeetika ja geomeetria.
Arvatakse, et aritmeetika ajalugu pärineb Vana-Idast: Indiast, Egiptusest, Babülonist ja Hiinast. Seega Egiptuse päritolu Rinda papüürus (nii sai nime, kuna see kuulus samanimelisele omanikule), mis pärineb 20. sajandist. BC sisaldab lisaks muudele väärtuslikele andmetele ühe murru laiendamist erinevate nimetajate ja ühega võrdse lugejaga murdude summaks.
Näiteks: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Aga mis mõte on sellisel keerulisel lagunemisel? Fakt on see, et Egiptuse lähenemine ei sallinud abstraktseid mõtteid arvude kohta, vastupidi, arvutusi tehti ainult praktilistel eesmärkidel. See tähendab, et egiptlane hakkab tegelema sellise asjaga nagu arvutused, näiteks ainult haua ehitamiseks. Oli vaja arvutada konstruktsiooni serva pikkus ja see sundis inimest papüüruse taha istuma. Nagu näete, põhjustas Egiptuse edusammud arvutustes pigem massiehitus kui armastus teaduse vastu.
Sel põhjusel ei saa papüürustest leitud arvutusi nimetada mõtisklusteks murdude teemal. Tõenäoliselt on see praktiline ettevalmistus, mis aitas tulevikus.lahendada ülesandeid murdudega. Vanad egiptlased, kes korrutustabeleid ei tundnud, tegid üsna pikki arvutusi, lagunedes paljudeks alamülesanneteks. Võib-olla on see üks neist alamülesannetest. On lihtne näha, et selliste detailidega arvutused on väga töömahukad ja vähetõotavad. Võib-olla sel põhjusel ei näe me Vana-Egiptuse suurt panust matemaatika arengusse.
Vana-Kreeka ja filosoofiline aritmeetika
Muidsed kreeklased, kuulsad abstraktsete, abstraktsete ja filosoofiliste mõtiskluste armastajad, omandasid palju teadmisi Vana-Ida kohta. Neid ei huvitanud vähem ka praktika, kuid parimaid teoreetikuid ja mõtlejaid on raske leida. See on teadusele kasuks tulnud, kuna aritmeetikasse on võimatu süveneda ilma seda tegelikkusest lahti murdmata. Muidugi võite korrutada 10 lehma ja 100 liitrit piima, kuid te ei jõua kaugele.
Sügava mõtlemisega kreeklased jätsid ajalukku olulise jälje ja nende kirjutised on jõudnud meieni:
- Euclid ja elemendid.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Ja muidugi kreeklased, kes muutsid kõik filosoofiaks, ja eriti Pythagorase loomingu jätkajad, olid arvudest nii lummatud, et pidasid neid maailma harmoonia müsteeriumiks. Arvu on uuritud ja uuritud sedavõrd, et mõnele neist ja nende paaridest on omistatud eriomadused. Näiteks:
- Täiuslikud arvud on need, mis on võrdsed kõigi nende jagajate summaga, välja arvatud arv ise (6=1+2+3).
- Sõbralikud numbrid on need numbrid, millest ükson võrdne teise kõigi jagajate summaga ja vastupidi (pythagoraslased teadsid ainult ühte sellist paari: 220 ja 284).
Kreeklased, kes uskusid, et teadust tuleb armastada, mitte olla sellega kasumi nimel, saavutasid suure edu uurides, mängides ja numbreid lisades. Tuleb märkida, et mitte kõiki nende uuringuid ei kasutatud laialdaselt, mõned neist jäid ainult "ilu jaoks".
Ida keskaja mõtlejad
Samamoodi võlgneb aritmeetika keskajal oma arengu Ida kaasaegsetele. Indiaanlased andsid meile numbrid, mida me aktiivselt kasutame, näiteks "null" ja kaasaegsele tajule tuttava arvutuse positsioonilise versiooni. 15. sajandil Samarkandis töötanud Al-Kashilt pärisime kümnendmurrud, ilma milleta on tänapäevast aritmeetikat raske ette kujutada.
Ida saavutustega tutvumine Euroopas sai paljuski võimalikuks tänu Itaalia teadlase Leonardo Fibonacci tööle, kes kirjutas Ida uuendusi tutvustava teose "Abakuse raamat". Sellest sai algebra ja aritmeetika, uurimis- ja teadustegevuse arengu nurgakivi Euroopas.
Vene aritmeetika
Ja lõpuks hakkas aritmeetika, mis leidis oma koha ja juurdus Euroopas, levima Venemaa maadele. Esimene vene aritmeetika ilmus 1703. aastal – see oli Leonti Magnitski raamat aritmeetikast. Pikka aega jäi see ainsaks matemaatika õpikuks. See sisaldab algebra ja geomeetria algmomente. Venemaa esimese aritmeetikaõpiku näidetes kasutatud numbrid on araabiakeelsed. Kuigi araabia numbreid on 17. sajandist pärit gravüüridel varemgi nähtud.
Raamat ise on kaunistatud Archimedese ja Pythagorase kujutistega ning esimesel lehel - aritmeetika kujutis naise kujul. Ta istub troonil, tema alla on kirjutatud heebrea keeles Jumala nime tähistav sõna ja troonile viivatele astmetele on kirjutatud sõnad "jagamine", "korrutamine", "liitmine" jne. Tõed mida nüüd peetakse tavaliseks.
600-leheküljeline õpik hõlmab nii põhitõdesid nagu liitmis- ja korrutustabelid ning navigatsiooniteaduste rakendused.
Pole üllatav, et autor valis oma raamatusse kreeka mõtlejate kujutised, sest ta ise oli aritmeetika ilust vaimustuses, öeldes: "Aritmeetika on lugeja, seal on kunst aus, kadestusväärne …". Selline lähenemine aritmeetikale on igati õigustatud, sest just selle laialdast kasutuselevõttu võib pidada Venemaa teadusliku mõtte ja üldhariduse kiire arengu alguseks.
Tühista algarvud
Algusarv on naturaalarv, millel on ainult 2 positiivset jagajat: 1 ja ise. Kõiki teisi numbreid, välja arvatud 1, nimetatakse liitarvudeks. Algarvude näited: 2, 3, 5, 7, 11 ja kõik teised, millel pole peale 1 ja enda jagajaid.
Mis puudutab numbrit 1, siis see on erikontol – on kokkulepe, et seda ei tohiks pidada lihtsaks ega liiteks. Esmapilgul lihtne, lihtne number peidab endas palju lahendamata saladusi.
Eukleidese teoreem ütleb, et algarve on lõpmatu arv ja Eratosthenes leiutas spetsiaalse aritmeetilise "sõela", mis kõrvaldab mittealgaararvud, jättes alles vaid lihtarvud.
Selle põhiolemus on alla joonida esimene läbikriipsutamata number ja seejärel maha kriipsutada need, mis on selle kordsed. Kordame seda protseduuri mitu korda – ja saame algarvude tabeli.
Aritmeetika alusteoreem
Algarvude tähelepanekute hulgas tuleks erilisel moel mainida aritmeetika põhiteoreemi.
Aritmeetika põhiteoreem ütleb, et iga täisarv, mis on suurem kui 1, on kas algarv või selle saab lagundada algarvude korrutiseks kuni tegurite järjekorrani ja seda ainulaadsel viisil.
Aritmeetika põhiteoreem on osutunud üsna tülikaks ja selle mõistmine ei tundu enam kõige lihtsamate põhitõdedena.
Esmapilgul on algarvud elementaarne mõiste, kuid see pole nii. Ka füüsika pidas aatomit kunagi elementaarseks, kuni leidis enda seest kogu universumi. Matemaatik Don Tzagiri imeline lugu "Esimesed viiskümmend miljonit algarvu" on pühendatud algarvudele.
„Kolmest õunast” deduktiivsete seadusteni
Mida võib tõesti nimetada kogu teaduse tugevdatud vundamendiks, on aritmeetika seadused. Isegi lapsepõlves seisavad kõik silmitsi aritmeetikaga, uurides nukkude jalgade ja käte arvu,kuubikute, õunte jne arv. Nii uurime aritmeetikat, mis läheb siis keerulisematesse reeglitesse.
Kogu meie elu tutvustab meile aritmeetikareegleid, millest on saanud tavainimese jaoks kõige kasulikum kõigest, mida teadus annab. Arvude uurimine on "aritmeetika-beebi", mis tutvustab inimesele juba varases lapsepõlves numbrite maailma numbrite kujul.
Kõrgem aritmeetika on deduktiivne teadus, mis uurib aritmeetikaseadusi. Me teame enamikku neist, kuigi me ei pruugi teada nende täpset sõnastust.
Lidamise ja korrutamise seadus
Kaks naturaalarvu a ja b saab väljendada summana a+b, mis on ühtlasi naturaalarv. Lisamisele kehtivad järgmised seadused:
- Komutatiivne, mis ütleb, et summa ei muutu terminite ümberpaigutamisest või a+b=b+a.
- Associative, mis ütleb, et summa ei sõltu sellest, kuidas terminid on rühmitatud, või a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Aritmeetikareeglid, nagu liitmine, on ühed elementaarsemad, kuid neid kasutavad kõik teadused, igapäevaelust rääkimata.
Kaks naturaalarvu a ja b saab väljendada korrutisena ab või ab, mis on samuti naturaalarv. Tootele kehtivad samad kommutatiivsed ja assotsiatiivsed seadused, mis lisamisel:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Ma imestanet on olemas seadus, mis ühendab liitmist ja korrutamist, mida nimetatakse ka distributsiooni- või jaotusseaduseks:
a(b+c)=ab+ac
See seadus õpetab meid tegelikult töötama sulgudega, neid laiendades, seega saame töötada keerukamate valemitega. Need on seadused, mis juhatavad meid läbi algebra veidra ja keerulise maailma.
Aritmeetilise järjekorra seadus
Korraseadust kasutab inimloogika iga päev, võrreldes kellasid ja lugedes rahatähti. Ja sellest hoolimata tuleb see vormistada konkreetsete formulatsioonide kujul.
Kui meil on kaks naturaalarvu a ja b, siis on võimalikud järgmised valikud:
- a võrdub b või a=b;
- a on väiksem kui b või a < b;
- a on suurem kui b või a > b.
Kolmest võimalusest võib ainult üks olla õiglane. Järjekorda reguleeriv põhiseadus ütleb: kui a < b ja b < c, siis a< c.
Samuti kehtivad korrutamise ja liitmise järjekorra seadused: kui a< on b, siis a + c < b+c ja ac< eKr.
Aritmeetika seadused õpetavad meid töötama arvude, märkide ja sulgudega, muutes kõik harmooniliseks arvude sümfooniaks.
Positsiooniline ja mittepositsiooniline arvutus
Võib öelda, et arvud on matemaatiline keel, mille kasutusmugavusest sõltub palju. Arvusüsteeme on palju, mis, nagu ka erinevate keelte tähestikud, erinevad üksteisest.
Vaatleme arvusüsteeme positsiooni mõju kvantitatiivsele väärtusele seisukoh altnumbrid selles asendis. Näiteks Rooma süsteem on mittepositsiooniline, kus iga number on kodeeritud teatud erimärkide komplektiga: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Need on vastav alt võrdsed arvudega 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Sellises süsteemis ei muuda arv oma kvantitatiivset määratlust olenev alt sellest, millises positsioonis see asub: esimene, teine jne. Teiste arvude saamiseks tuleb lisada baasarvud. Näiteks:
- DCC=700.
- CCM=800.
Meile araabia numbreid kasutades tuttavam numbrisüsteem on positsiooniline. Sellises süsteemis määrab numbri number numbrite arvu, näiteks kolmekohalised numbrid: 333, 567 jne. Mis tahes numbri kaal sõltub positsioonist, kus see või teine number asub, näiteks teisel positsioonil oleva numbri 8 väärtus on 80. See on tüüpiline kümnendsüsteemile, on ka teisi asukohasüsteeme, näiteks, binaarne.
Binaararitmeetika
Oleme tuttav kümnendsüsteemiga, mis koosneb ühe- ja mitmekohalistest numbritest. Mitmekohalisest numbrist vasakul olev number on kümme korda olulisem kui parempoolne number. Niisiis, oleme harjunud lugema 2, 17, 467 jne. Sektsioonil nimega "Kaksosaaritmeetika" on täiesti erinev loogika ja lähenemine. See pole üllatav, sest binaararitmeetika ei loodud mitte inimloogika, vaid arvutiloogika jaoks. Kui arvude aritmeetika sai alguse objektide loendamisest, mis abstraheeriti edasi objekti omadustest "paljaks" aritmeetikaks, siis arvutiga see ei tööta. Et saaks jagadaoma arvutiteadmistega pidi inimene leiutama sellise arvutusmudeli.
Binaararitmeetika töötab kahendtähestikuga, mis koosneb ainult 0-st ja 1-st. Ja selle tähestiku kasutamist nimetatakse kahendsüsteemiks.
Binaararitmeetika ja kümnendaritmeetika erinevus seisneb selles, et vasakpoolse positsiooni olulisus ei ole enam 10, vaid 2 korda. Kahendarvud on kujul 111, 1001 jne. Kuidas selliseid numbreid mõista? Niisiis, kaaluge arvu 1100:
- Esimene number vasakul on 18=8, pidades meeles, et neljas number, mis tähendab, et see tuleb korrutada 2-ga, saame positsiooni 8.
- Teine koht 14=4 (positsioon 4).
- Kolmas koht 02=0 (positsioon 2).
- Neljas koht 01=0 (positsioon 1).
- Nii et meie number on 1100=8+4+0+0=12.
See tähendab, et kui liigute vasakul asuvale uuele numbrile, korrutatakse selle olulisus kahendsüsteemis 2-ga ja kümnendsüsteemis - 10-ga. Sellisel süsteemil on üks miinus: see on liiga suur numbrid, mida on vaja numbrite kirjutamiseks. Näiteid kümnendarvude esitamise kohta kahendarvudena leiate järgmisest tabelist.
Allpool on näidatud kahendarvulised kümnendarvud.
Kasutatakse ka nii kaheksand- kui ka kuueteistkümnendsüsteemi.
See salapärane aritmeetika
Mis on aritmeetika, "kaks korda kaks" või avastamata arvude saladused? Nagu näete, võib aritmeetika esmapilgul tunduda lihtne, kuid selle ilmselge lihtsus on petlik. Seda saavad õppida ka lapsed koos öökullitädiga alatesmultikas "Aritmeetika-beebi" ja saate sukelduda peaaegu filosoofilise järjekorra sügavteaduslikku uurimisse. Ajaloos on ta jõudnud objektide loendamise juurest numbrite ilu kummardamiseni. Kindl alt on teada ainult üks: aritmeetika põhipostulaatide kehtestamisega saab kogu teadus oma tugevale õlale toetuda.
