Mis on irratsionaalsed arvud? Miks neid nii kutsutakse? Kus neid kasutatakse ja mis need on? Vähesed suudavad neile küsimustele kõhklemata vastata. Kuid tegelikult on vastused neile üsna lihtsad, kuigi kõik ei vaja neid ja väga harvadel juhtudel
Essents ja nimetus
Iratsionaalarvud on lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Selle mõiste kasutuselevõtu vajadus tuleneb asjaolust, et varem eksisteerinud reaal- või reaal-, täis-, naturaal- ja ratsionaalarvude kontseptsioonidest ei piisanud enam uute esilekerkivate probleemide lahendamiseks. Näiteks selleks, et arvutada, mis on 2 ruut, peate kasutama ühekordseid lõpmatuid kümnendkohti. Lisaks pole paljudel lihtsamatel võrranditel ka lahendust ilma irratsionaalarvu kontseptsiooni juurutamata.
Seda komplekti tähistatakse kui I. Ja nagu juba selge, ei saa neid väärtusi esitada lihtmurruna, mille lugejas on täisarv ja nimetajas on naturaalarv.
Esimest korda üldsemuidu puutusid India matemaatikud selle nähtusega kokku 7. sajandil eKr, kui avastati, et mõne suuruse ruutjuuri ei saa selgesõnaliselt näidata. Ja esimene tõend selliste arvude olemasolu kohta omistatakse Pythagorase Hippasusele, kes tegi seda võrdhaarse täisnurkse kolmnurga uurimisel. Tõsise panuse selle komplekti uurimisse andsid mõned teised enne meie ajastut elanud teadlased. Irratsionaalarvude kontseptsiooni kasutuselevõtt tõi kaasa olemasoleva matemaatilise süsteemi revideerimise, mistõttu on need nii olulised.
Nime päritolu
Kui suhe tähendab ladina keeles "murd", "suhe", siis eesliide "ir"
andab sellele sõnale vastupidise tähenduse. Seega näitab nende arvude hulga nimi, et neid ei saa korreleerida täis- ega murdosaga, neil on eraldi koht. See tuleneb nende olemusest.
Koht üldarvestuses
Irratsionaalarvud kuuluvad koos ratsionaalarvudega reaal- või reaalarvude rühma, mis omakorda kuuluvad kompleksarvude hulka. Alamhulgasid ei ole, kuid on algebralisi ja transtsendentaalseid variante, mida käsitletakse allpool.
Atribuudid
Kuna irratsionaalarvud on osa reaalarvude hulgast, kehtivad nende suhtes kõik nende omadused, mida aritmeetikas uuritakse (neid nimetatakse ka algebralisteks põhiseadusteks).
a + b=b + a (kommutatiivsus);
(a + b) + c=a + (b + c)(assotsiatiivsus);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (vastupidise arvu olemasolu);
ab=ba (nihkeseadus);
(ab)c=a(bc) (jaotus);
a(b+c)=ab + ac (jaotusseadus);
a x 1=a
a x 1/a=1 (pöördarvu olemasolu);
Võrdlus viiakse läbi ka üldiste seaduste ja põhimõtete kohaselt:
Kui a > b ja b > c, siis a > c (suhte transitiivsus) ja. jne
Muidugi saab kõiki irratsionaalseid arve põhiaritmeetika abil teisendada. Selle jaoks pole erireegleid.
Lisaks kehtib Archimedese aksioom irratsionaalarvude kohta. See ütleb, et mis tahes kahe suuruse a ja b puhul kehtib väide, et kui võtta a liikmeks piisav alt korda, võite b-st ületada.
Kasuta
Vaatamata sellele, et tavaelus ei pea nendega sageli tegelema, ei saa irratsionaalseid numbreid üles lugeda. Neid on palju, kuid nad on peaaegu nähtamatud. Meid ümbritsevad kõikjal irratsionaalsed arvud. Kõigile tuttavad näited on arv pi, mis on võrdne 3, 1415926 … või e, mis on sisuliselt naturaallogaritmi alus, 2, 718281828 … Algebras, trigonomeetrias ja geomeetrias tuleb neid pidev alt kasutada. Muide, "kuldse lõigu" kuulus väärtus, st nii suurema ja väiksema osa suhe kui ka vastupidi, on samuti
kuulub sellesse komplekti. Vähetuntud "hõbe" – ka.
Need paiknevad arvureal väga tihed alt, nii et kahe ratsionaalse hulgaga seotud väärtuse vahel esineb kindlasti irratsionaalne väärtus.
Selle komplektiga on veel palju lahendamata probleeme. On selliseid kriteeriume nagu irratsionaalsuse mõõt ja arvu normaalsus. Matemaatikud jätkavad kõige olulisemate näidete uurimist nende kuulumise kohta ühte või teise rühma. Näiteks arvatakse, et e on tavaline arv, see tähendab, et erinevate numbrite esinemise tõenäosus selle kirjes on sama. Mis puutub pi-sse, siis selle kohta uuringud alles käivad. Irratsionaalsuse mõõdet nimetatakse ka väärtuseks, mis näitab, kui hästi saab seda või teist arvu ratsionaalarvude abil lähendada.
Algebraline ja transtsendentaalne
Nagu juba mainitud, jagunevad irratsionaalsed arvud tinglikult algebralisteks ja transtsendentaalseteks. Tinglikult, kuna rangelt võttes kasutatakse seda klassifikatsiooni hulga C jagamiseks.
See tähistus peidab kompleksarvud, mis sisaldavad reaal- või reaalarve.
Niisiis, algebraline väärtus on väärtus, mis on polünoomi juur, mis ei ole identselt võrdne nulliga. Näiteks ruutjuur arvust 2 oleks selles kategoorias, kuna see on võrrandi x2 - 2=0.
lahendus.
Kõiki teisi reaalarve, mis sellele tingimusele ei vasta, nimetatakse transtsendentaalseteks. Sellele sordilekaasa kõige kuulsamad ja juba mainitud näited - arv pi ja naturaallogaritmi alus e.
Huvitaval kombel ei tuletanud matemaatikud algselt ei üht ega teist, nende irratsionaalsus ja transtsendents tõestati palju aastaid pärast nende avastamist. Pi jaoks esitati tõestus 1882. aastal ja lihtsustati 1894. aastal, mis tegi lõpu 2500 aastat kestnud vaidlusele ringi ruudu ruudustamise probleemi üle. Sellest pole ikka veel täielikult aru saadud, nii et tänapäeva matemaatikutel on, mille kallal töötada. Muide, selle väärtuse esimese piisav alt täpse arvutuse tegi Archimedes. Enne teda olid kõik arvutused liiga ligikaudsed.
E (Euleri või Napieri numbrid) puhul leiti 1873. aastal tõend selle üleoleku kohta. Seda kasutatakse logaritmiliste võrrandite lahendamisel.
Teised näited hõlmavad siinus-, koosinus- ja puutujaväärtusi mis tahes algebraliste nullist erinevate väärtuste jaoks.
