Aritmeetiline ruutjuur ja selle omadused

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Me kõik õppisime koolis algebra tunnis aritmeetilist ruutjuurt. Juhtub, et kui teadmisi ei värskendata, siis ununevad need kiiresti, sama ka juurtega. See artikkel on kasulik kaheksanda klassi õpilastele, kes soovivad värskendada oma teadmisi selles valdkonnas, ja teistele koolilastele, sest me töötame juurtega 9., 10. ja 11. klassis.

Juurte ja astme ajalugu

Isegi iidsetel aegadel ja eriti Vana-Egiptuses vajasid inimesed numbritega tehtavate toimingute tegemiseks kraadi. Kui sellist mõistet polnud, kirjutasid egiptlased sama arvu korrutise kakskümmend korda üles. Kuid peagi leiutati probleemile lahendus – selle kohale hakati paremas ülanurgas kirjutama, mitu korda tuleb arv ise korrutada, ja see salvestusvorm on säilinud tänapäevani.

Ja ruutjuure ajalugu algas umbes 500 aastat tagasi. Seda tähistati erineval viisil ja alles XVII sajandil võttis Rene Descartes kasutusele sellise märgi, mida kasutame tänapäevani.

Mis on ruutjuur

Alustuseks selgitame, mis on ruutjuur. Mõne arvu c ruutjuur on mittenegatiivne arv, mis ruudus võrdub c-ga. Sel juhul on c suurem kui null või sellega võrdne.

Arvu toomiseks juure alla paneme selle ruutu ja paneme juuremärgi kohale:

32=9, 3=√9

Samuti ei saa me saada negatiivse arvu ruutjuure väärtust, kuna iga arv ruudus on positiivne, see tähendab:

c² ≧ 0, kui √c on negatiivne arv, siis c^{2 < 0 – vastupidiselt reeglile.}

Ruutjuurte kiireks arvutamiseks peate teadma arvude ruutude tabelit.

Atribuudid

Võtleme ruutjuure algebralisi omadusi.

1) Korrutise ruutjuure eraldamiseks peate võtma iga teguri juure. See tähendab, et selle saab kirjutada tegurite juurte korrutisena:

√ac=√a × √c, näiteks:

√36=√4 × √9

2) Murru juure eraldamisel on vaja juur eraldada lugejast ja nimetajast eraldi, st kirjutada see nende juurte jagatisena.

3) Arvu ruutjuure võtmisel saadud väärtus on alati võrdne selle arvu mooduliga, kuna moodul saab olla ainult positiivne:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Mis tahes võimsuse juure tõstmiseks tõstame me selleleradikaalne väljend:

(√с)⁴=√с^{4, näiteks:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) C aritmeetilise juure ruut võrdub selle arvuga:

(√s)2=s.

Iraratsionaalsete arvude juured

Oletame, et kuueteistkümne juur on lihtne, aga kuidas võtta juur sellistest arvudest nagu 7, 10, 11?

Arvu, mille juur on lõpmatu mitteperioodiline murd, nimetatakse irratsionaalseks. Me ei saa sellest üksi juurt välja tõmmata. Saame seda võrrelda ainult teiste numbritega. Näiteks võtke 5 juur ja võrrelge seda √4 ja √9-ga. Selge on see, et √4 < √5 < √9, siis 2 < √5 < 3. See tähendab, et viie juure väärtus on kuskil kahe ja kolme vahel, kuid nende vahel on palju kümnendmurde ja igaühe valimine on juure leidmiseks kahtlane viis.

Seda toimingut saate teha kalkulaatoriga – see on lihtsaim ja kiireim viis, kuid 8. klassis ei pea te kunagi aritmeetilisest ruutjuurest irratsionaalarvude välja tõmbama. Peate meeles pidama ainult kahe juure ja kolme juure ligikaudsed väärtused:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Näited

Nüüd lahendame ruutjuure omaduste põhjal mitu näidet:

1) √17² - 8²

Pidage meeles ruutude erinevuse valem:

√(17–8) (17+8)=√9 ×25

Me teame aritmeetilise ruutjuure omadust – korrutisest juure eraldamiseks peate selle eraldama igast tegurist:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Rakendage juure teist omadust – arvu aritmeetilise juure ruut võrdub selle arvuga:

2 × 3 + 6=12

Tähtis! Sageli teevad õpilased tööd alustades ja aritmeetiliste ruutjuurtega näiteid lahendades järgmise vea:

√12 + 3=√12 + √3 – te ei saa seda teha!

Me ei saa võtta iga termini juurt. Sellist reeglit pole, kuid see on segaduses iga teguri juure leidmisega. Kui meil oleks see kirje:

√12 × 3, siis oleks õiglane kirjutada √12 × 3=√12 × √3.

Ja nii saame kirjutada ainult:

√12 + 3=√15