Aksiomaatiline meetod on juba väljakujunenud teaduslike teooriate konstrueerimise viis. See põhineb argumentidel, faktidel, väidetel, mis ei nõua tõestamist ega ümberlükkamist. Tegelikult on see teadmiste versioon esitatud deduktiivse struktuuri kujul, mis sisaldab algselt sisu loogilist põhjendust põhialuste - aksioomide - põhjal.
See meetod ei saa olla avastus, vaid on ainult klassifitseerimiskontseptsioon. See sobib rohkem õpetamiseks. Alus sisaldab esialgseid sätteid ja ülejäänud teave järgneb loogilise tagajärjena. Kus on teooria koostamise aksiomaatiline meetod? See on kõige kaasaegsemate ja väljakujunenud teaduste keskmes.
Aksiomaatilise meetodi mõiste kujunemine ja arendamine, sõna definitsioon
Esiteks tekkis see mõiste Vana-Kreekas tänu Eukleidsele. Temast sai geomeetria aksiomaatilise meetodi rajaja. Tänapäeval on see levinud kõigis loodusteadustes, kuid kõige enam matemaatikas. See meetod moodustatakse väljakujunenud väidete põhjal ja järgnevad teooriad tuletatakse loogilise konstruktsiooni abil.
Seda seletatakse järgmiselt: on sõnu ja mõisteid, mismääratletud muude mõistetega. Selle tulemusena jõudsid teadlased järeldusele, et on olemas elementaarsed järeldused, mis on õigustatud ja püsivad - põhilised, see tähendab aksioomid. Näiteks toetuvad nad teoreemi tõestamisel tavaliselt juba väljakujunenud faktidele, mis ei vaja ümberlükkamist.
Samas enne seda oli vaja neid põhjendada. Selle käigus selgub, et põhjendamatut väidet võetakse aksioomina. Konstantsete mõistete hulga põhjal tõestatakse teisi teoreeme. Need moodustavad planimeetria aluse ja on geomeetria loogiline struktuur. Selles teaduses väljakujunenud aksioome määratletakse kui mis tahes laadi objekte. Neil on omakorda omadused, mis on määratletud konstantsetes mõistetes.
Aksioomide edasine uurimine
Meetodit peeti ideaalseks kuni üheksateistkümnenda sajandini. Põhimõistete otsimise loogilisi vahendeid tollal ei uuritud, kuid Eukleidese süsteemis võib jälgida aksiomaatilisest meetodist tähenduslike tagajärgede saamise struktuuri. Teadlase uuringud näitasid ideed, kuidas saada täielik geomeetriliste teadmiste süsteem, mis põhineb puht alt deduktiivsel teel. Neile pakuti suhteliselt väikest arvu väidetavaid aksioome, mis on tõestatav alt tõesed.
Vana-Kreeka vaimude teene
Euclid tõestas paljusid kontseptsioone ja mõned neist olid õigustatud. Enamus omistab need teened siiski Pythagorasele, Demokritusele ja Hippokratesele. Viimane koostas geomeetria tervikliku kursuse. Tõsi, hiljem Aleksandrias tuli väljakogumik "Algus", mille autor oli Euclid. Seejärel nimetati see ümber "Elementaarseks geomeetriaks". Mõne aja pärast hakkasid nad teda kritiseerima järgmistel põhjustel:
- kõik väärtused loodi ainult joonlaua ja kompassiga;
- geomeetria ja aritmeetika eraldati ning tõestati kehtivate arvude ja mõistetega;
- aksioomid, mõned neist, eriti viies postulaat, tehti ettepaneku üldloendist kustutada.
Selle tulemusena ilmub 19. sajandil mitteeukleidiline geomeetria, milles puudub objektiivselt tõene postulaat. See tegevus andis tõuke geomeetrilise süsteemi edasisele arengule. Nii jõudsid matemaatilised uurijad deduktiivsete ehitusmeetoditeni.
Aksioomidel põhinevate matemaatikateadmiste arendamine
Kui hakkas arenema uus geomeetriasüsteem, muutus ka aksiomaatiline meetod. Matemaatikas hakkasid nad sagedamini pöörduma puht alt deduktiivse teooriakonstruktsiooni poole. Selle tulemusena on moodsas arvloogikas, mis on kogu teaduse põhilõik, tekkinud terve tõestuste süsteem. Matemaatilises struktuuris hakkas mõistma õigustuse vajadust.
Nii kujunesid sajandi lõpuks selged ülesanded ja keeruliste mõistete konstrueerimine, mis keerulisest teoreemist taandusid lihtsaimaks loogiliseks väiteks. Seega stimuleeris mitteeukleidiline geomeetria tugeva aluse aksiomaatilise meetodi edasiseks eksisteerimiseks, aga ka üldist laadi probleemide lahendamiseks.matemaatilised konstruktsioonid:
- järjepidevus;
- täius;
- iseseisvus.
Protsessi käigus tekkis ja eduk alt välja töötatud tõlgendamismeetod. Seda meetodit kirjeldatakse järgmiselt: iga teooria väljundkontseptsiooni jaoks seatakse matemaatiline objekt, mille kogumit nimetatakse väljaks. Väide määratud elementide kohta võib olla vale või tõene. Selle tulemusena nimetatakse väiteid sõltuv alt järeldustest.
Tõlgendusteooria tunnused
Reeglina arvestatakse välja ja omadusi ka matemaatilises süsteemis ning see võib omakorda muutuda aksiomaatiliseks. Tõlgendus tõestab väiteid, milles on suhteline järjepidevus. Täiendav võimalus on hulk fakte, mille puhul teooria muutub vastuoluliseks.
Tegelikult on tingimus mõnel juhul täidetud. Selle tulemusena selgub, et kui ühe väite väidetes on kaks valet või tõest mõistet, siis loetakse see negatiivseks või positiivseks. Seda meetodit kasutati Eukleidese geomeetria järjepidevuse tõestamiseks. Tõlgendusmeetodi abil saab lahendada aksioomisüsteemide sõltumatuse küsimuse. Kui teil on vaja mõnda teooriat ümber lükata, siis piisab, kui tõestate, et üks mõistetest ei tulene teisest ja on ekslik.
Kuid lisaks edukatele väidetele on meetodil ka nõrkusi. Aksioomisüsteemide kooskõla ja sõltumatus lahendatakse küsimustena, mis annavad suhtelisi tulemusi. Tõlgenduse ainus oluline saavutus onaritmeetika kui struktuuri rolli avastamine, milles järjepidevuse küsimus taandub paljudele teistele teadustele.
Aksiomaatilise matemaatika kaasaegne areng
Aksiomaatiline meetod hakkas arenema Gilberti loomingus. Tema koolis sai selgeks teooria ja formaalse süsteemi mõiste. Selle tulemusena tekkis üldine süsteem ja matemaatilised objektid muutusid täpseks. Lisaks sai võimalikuks lahendada ka põhjendatuse küsimused. Seega on formaalne süsteem konstrueeritud täpse klassiga, mis sisaldab valemite ja teoreemide alamsüsteeme.
Selle struktuuri ehitamiseks peate juhinduma ainult tehnilisest mugavusest, kuna neil puudub semantiline koormus. Neid saab sisse kirjutada märkide, sümbolitega. See tähendab, et süsteem ise on üles ehitatud nii, et formaalset teooriat saab adekvaatselt ja täielikult rakendada.
Selle tulemusena valatakse konkreetne matemaatiline eesmärk või ülesanne teooriasse, mis põhineb faktilisel sisul või deduktiivsel arutluskäigul. Numbriteaduse keel kandub üle formaalsesse süsteemi, selle käigus määratakse iga konkreetne ja tähenduslik väljend valemiga.
Vormistamismeetod
Asjade loomulikus olekus suudab selline meetod lahendada nii globaalseid probleeme nagu järjepidevus, kui ka luua tuletatud valemite järgi matemaatiliste teooriate positiivse olemuse. Ja põhimõtteliselt kõik see lahendatakse ametliku süsteemiga, mis põhineb tõestatud väidetel. Matemaatilisi teooriaid tegid pidev alt keeruliseks põhjendused jaGilbert tegi ettepaneku uurida seda struktuuri piiratud meetoditega. Kuid see programm ebaõnnestus. Gödeli tulemused juba 20. sajandil viisid järgmistele järeldustele:
- loomulik kooskõla on võimatu, kuna formaliseeritud aritmeetika või muu sarnane teadus sellest süsteemist jääb puudulikuks;
- ilmusid lahendamatud valemid;
- väiteid ei saa tõestada.
Tõelised hinnangud ja mõistlik lõplik viimistlus loetakse vormistatavaks. Seda silmas pidades on aksiomaatilisel meetodil selles teoorias kindlad ja selged piirid ja võimalused.
Aksioomide väljatöötamise tulemused matemaatikute töödes
Hoolimata asjaolust, et mõned otsused on ümber lükatud ja neid ei ole korralikult välja töötatud, on konstantsete mõistete meetodil oluline roll matemaatika aluste kujundamisel. Lisaks on tõlgendus ja aksiomaatiline meetod teaduses paljastanud järjepidevuse, valikuväidete ja hüpoteeside sõltumatuse mitme teooria puhul.
Järjepidevuse küsimuse käsitlemisel on peamine mitte ainult väljakujunenud mõistete rakendamine. Samuti tuleb neid täiendada lõpliku viimistluse ideede, kontseptsioonide ja vahenditega. Sel juhul võetakse arvesse erinevaid seisukohti, meetodeid, teooriaid, mis peaksid arvestama loogilist tähendust ja põhjendust.
Formaalse süsteemi järjepidevus näitab aritmeetika sarnast viimistlust, mis põhineb induktsioonil, loendamisel, piiriülesel arvul. Teadusvaldkonnas on aksiomatiseerimine kõige olulisemtööriist, millel on ümberlükkamatud mõisted ja väited, mida võetakse aluseks.
Alguste väidete olemus ja nende roll teooriates
Aksiomaatilise meetodi hindamine näitab, et mingi struktuur peitub selle olemuses. See süsteem on üles ehitatud selle aluseks oleva kontseptsiooni tuvastamisest ja põhiväidetest, mis on määratlemata. Sama juhtub teoreemidega, mida peetakse originaaliks ja mida aktsepteeritakse ilma tõestuseta. Loodusteadustes toetavad selliseid väiteid reeglid, eeldused, seadused.
Seejärel toimub väljakujunenud arutlusaluste fikseerimise protsess. Reeglina antakse kohe märku, et ühest positsioonist tuletatakse teine ja selle käigus tulevad välja ülejäänud, mis sisuliselt langevad kokku deduktiivse meetodiga.
Süsteemi omadused tänapäeval
Aksiomaatiline süsteem sisaldab:
- loogilised järeldused;
- terminid ja määratlused;
- osaliselt valed väited ja mõisted.
Kaasaegses teaduses on see meetod kaotanud oma abstraktsuse. Eukleidiline geomeetriline aksiomatiseerimine põhines intuitiivsetel ja tõestel väidetel. Ja teooriat tõlgendati ainulaadsel, loomulikul viisil. Tänapäeval on aksioom säte, mis on iseenesest ilmne ning kokkulepe ja igasugune kokkulepe võib toimida esialgse mõistena, mis ei vaja põhjendust. Selle tulemusena ei pruugi algsed väärtused kirjeldada kaugeltki. See meetod nõuab loovust, teadmisi suhetest ja selle aluseks olevast teooriast.
Järelduste tegemise põhiprintsiibid
Deduktiivselt aksiomaatiline meetod on kindla skeemi järgi üles ehitatud teaduslik teadmine, mis põhineb õigesti realiseeritud hüpoteesidel, tuletades väiteid empiiriliste faktide kohta. Selline järeldus on üles ehitatud loogiliste struktuuride alusel, kõva tuletamise teel. Aksioomid on algselt ümberlükkamatud väited, mis ei vaja tõestust.
Mahaarvamise ajal rakendatakse esialgsetele mõistetele teatud nõudeid: järjepidevus, täielikkus, sõltumatus. Nagu praktika näitab, põhineb esimene tingimus formaalsetel loogilistel teadmistel. See tähendab, et teoorial ei tohiks olla tõe ja vale tähendusi, sest sellel ei ole enam tähendust ja väärtust.
Kui see tingimus ei ole täidetud, siis peetakse seda kokkusobimatuks ja selles kaob igasugune tähendus, sest kaob semantiline koormus tõe ja vale vahel. Deduktiivselt öeldes on aksiomaatiline meetod teaduslike teadmiste konstrueerimise ja põhjendamise viis.
Meetodi praktiline rakendamine
Teaduslike teadmiste konstrueerimise aksiomaatilisel meetodil on praktiline rakendus. Tegelikult mõjutab ja omab see matemaatikat globaalset tähtsust, kuigi need teadmised on juba saavutanud oma haripunkti. Aksiomaatilise meetodi näited on järgmised:
- afiinsetel tasapindadel on kolm väidet ja definitsioon;
- ekvivalentsusteoorial on kolm tõestust;
- binaarsuhted jagunevad definitsioonide, mõistete ja lisaharjutuste süsteemiks.
Kui soovite sõnastada algse tähenduse, peate teadma hulkade ja elementide olemust. Sisuliselt pani aksiomaatiline meetod aluse erinevatele teadusvaldkondadele.
