Numbrisüsteemid – mis see on? Isegi teadmata sellele küsimusele vastust, kasutab igaüks meist tahes-tahtmata oma elus numbrisüsteeme ega kahtlusta seda. Täpselt nii, mitmuses! See tähendab, et mitte üks, vaid mitu. Enne mittepositsiooniliste arvusüsteemide näidete toomist mõistkem seda probleemi, rääkigem ka asukohasüsteemidest.
Vajalik arve
Iidsetest aegadest on inimestel olnud vajadus loendamise järele, see tähendab, et nad mõistsid intuitiivselt, et neil on vaja kuidagi väljendada kvantitatiivset nägemust asjadest ja sündmustest. Aju andis mõista, et loendamiseks on vaja kasutada objekte. Sõrmed on alati olnud kõige mugavamad ja see on arusaadav, sest need on alati saadaval (harvade eranditega).
Seega pidid inimkonna iidsed esindajad sõrmi kõverdama otseses mõttes – et näidata näiteks hukkunud mammutite arvu. Sellistel konto elementidel polnud veel nimesid, vaid ainult visuaalne pilt, võrdlus.
Kaasaegsed positsiooninumbrisüsteemid
Arvusüsteem on meetod (viis) kvantitatiivsete väärtuste ja suuruste esitamiseks teatud märkide (sümbolite või tähtede) abil.
Enne mittepositsiooniliste arvusüsteemide näidete toomist on vaja aru saada, mis on loendamisel positsiooniline ja mittepositsiooniline. Positsiooniliste numbrite süsteeme on palju. Nüüd kasutatakse erinevates teadmiste valdkondades järgmist: binaarne (sisaldab ainult kahte olulist elementi: 0 ja 1), kuueteistkümnend (märkide arv - 6), kaheksand (märki - 8), kaksteistkümnend (kaksteist märki), kuueteistkümnend (sisaldab kuusteist tegelased). Pealegi algab iga märkide rida süsteemides nullist. Kaasaegsed arvutitehnoloogiad põhinevad kahendkoodide kasutamisel – binaarsel positsiooninumbrisüsteemil.
Kümnendarvude süsteem
Positsionaalsus on erineval määral oluliste positsioonide olemasolu, millel paiknevad numbrimärgid. Seda saab kõige paremini näidata kümnendarvude süsteemi näitel. Oleme ju lapsepõlvest peale harjunud seda kasutama. Selles süsteemis on kümme märki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Võtke number 327. Sellel on kolm märki: 3, 2, 7. Igaüks neist asub oma asukoht (koht). Seitse võtab positsiooni, mis on reserveeritud üksikute väärtuste (ühikute) jaoks, kaks on kümned ja kolm - sada. Kuna arv on kolmekohaline, on selles ainult kolm positsiooni.
Eeltoodu põhjal on seekolmekohalist kümnendarvu saab kirjeldada järgmiselt: kolmsada, kaks kümmet ja seitse ühikut. Veelgi enam, positsioonide olulisust (olulisust) loetakse vasakult paremale, nõrgast positsioonist (üks) tugevamini (sadadesse).
Tunneme end kümnendkohanumbrisüsteemis väga mugav alt. Meil on kümme sõrme kätel ja sama palju ka jalgadel. Viis pluss viis - nii et tänu sõrmedele kujutame lapsepõlvest hõlps alt ette kümmekonda. Seetõttu on lastel viie ja kümne korrutustabeleid lihtne õppida. Samuti on nii lihtne õppida lugema pangatähti, mis on enamasti mitmekordsed (st jagatud ilma jäägita) viie ja kümnega.
Muud positsiooninumbrisüsteemid
Paljude üllatuseks tuleb öelda, et mitte ainult kümnendloendussüsteemis on meie aju harjunud mõningaid arvutusi tegema. Siiani on inimkond kasutanud kuue- ja kaksteistkümnendsüsteemi numbrisüsteeme. See tähendab, et sellises süsteemis on ainult kuus märki (kuueteistkümnendsüsteemis): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Kaksteistkümnendsüsteemis on neid kaksteist: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, kus A - tähistab arvu 10, B - arvu 11 (kuna märk peab olema üks).
Kohtumõistke ise. Me loeme aega kuutega, kas pole? Üks tund on kuuskümmend minutit (kuus kümmet), üks päev on kakskümmend neli tundi (kaks korda kaksteist), aasta on kaksteist kuud ja nii edasi… Kõik ajaintervallid mahuvad hõlpsasti kuue- ja kaksteistkümnendkoha jadadesse. Kuid me oleme sellega nii harjunud, et me isegi ei mõtle sellele aega lugedes.
Mittepositsioonilised arvusüsteemid. Unary
Tuleb defineerida, mis see on – mittepositsiooniline arvusüsteem. See on selline märgisüsteem, milles arvu märkide jaoks ei ole positsioone või numbri "lugemise" põhimõte ei sõltu asukohast. Sellel on ka oma kirjutamise või arvutamise reeglid.
Toome näiteid mittepositsiooniliste arvusüsteemide kohta. Tuleme tagasi antiikajasse. Inimesed vajasid kontot ja tulid välja kõige lihtsama leiutisega – sõlmed. Mittepositsiooniline arvusüsteem on sõlmeline. Üks ese (kott riisiga, pull, heinakuhjas jne) loeti näiteks ostmisel või müümisel kokku ja sõlmiti nöörile.
Selle tulemusel tehti nöörile nii palju sõlme, kui palju osteti riisikotte (näidisena). Aga see võib olla ka sälgud puupulgal, kiviplaadil vms. Sellist numbrisüsteemi hakati nimetama nodulaarseks. Tal on teine nimi – unary ehk vallaline ("uno" ladina keeles tähendab "üks").
Saab ilmselgeks, et see numbrisüsteem on mittepositsiooniline. Lõppude lõpuks, millistest positsioonidest saame rääkida, kui see (positsioon) on ainult üks! Kummalisel kombel on mõnel pool maakeral endiselt kasutusel unaarne mittepositsiooniline arvusüsteem.
Samuti hõlmavad mittepositsioonilised numbrisüsteemid:
- Rooma (numbrite kirjutamiseks kasutatakse tähti – ladina tähed);
- Vana-Egiptuse (sarnaselt rooma keelele, kasutati ka sümboleid);
- tähestikuline (kasutati tähestiku tähti);
- Babüloonia (kiilkiri – kasutatakse otse jatagurpidi "kiil");
- Kreeka (nimetatakse ka tähestikuks).
Rooma numbrite süsteem
Vana-Rooma impeerium ja ka selle teadus olid väga progressiivsed. Roomlased andsid maailmale palju kasulikke teaduse ja kunsti leiutisi, sealhulgas nende loendussüsteemi. Kakssada aastat tagasi kasutati äridokumentides summade tähistamiseks rooma numbreid (seega välditi võltsimist).
Rooma numbrid on näide mittepositsioonilisest numbrisüsteemist, me teame seda praegu. Samuti kasutatakse aktiivselt Rooma süsteemi, kuid mitte matemaatilisteks arvutusteks, vaid kits alt suunatud tegevusteks. Näiteks on rooma numbrite abil tavaks tähistada raamatuväljaannetes ajaloolisi daatumiid, sajandeid, köidete numbreid, jaotisi ja peatükke. Rooma märke kasutatakse sageli kellade sihverplaadi kaunistamiseks. Ja ka rooma numeratsioon on näide mittepositsioonilisest arvusüsteemist.
Roomlased tähistasid numbreid ladina tähtedega. Pealegi kirjutasid nad teatud reeglite järgi numbrid üles. Rooma numbrisüsteemis on olemas võtmesümbolite loend, mille abil kirjutati eranditult kõik numbrid.
| Arv (kümnendkoht) | Rooma number (ladina tähestiku täht) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Numbrite koostamise reeglid
Vajalik arv saadi märkide (ladina tähed) liitmisel ja nende summa arvutamisel. Mõelgem, kuidas märgid on Rooma süsteemis sümboolselt kirjutatud ja kuidas neid tuleks "lugeda". Loetleme peamised arvumoodustuse seadused Rooma mittepositsioonilises arvusüsteemis.
- Arv neli – IV, koosneb kahest märgist (I, V – üks ja viis). See saadakse, kui lahutada väiksem märk suuremast, kui see on vasakul. Kui väiksem silt asub paremal, peate lisama, siis saate numbri kuus - VI.
- Vaja on lisada kaks identset märki kõrvuti. Näiteks: SS on 200 (C on 100) või XX on 20.
- Kui numbri esimene märk on teisest väiksem, võib selle rea kolmas märk olla märk, mille väärtus on isegi väiksem kui esimene. Segaduse vältimiseks on siin näide: CDX - 410 (kümnendkohana).
- Mõnda suurt arvu saab esitada erineval viisil, mis on Rooma loendussüsteemi üks puudusi. Siin on mõned näited: MVM (rooma)=1000 + (1000–5)=1995 (kümnend) või MDVD=1000 + 500 + (500–5)=1995. Ja see pole veel kõik.
Aritmeetilised nipid
Mittepositsionaalne arvusüsteem on mõnikord keeruline reeglite kogum arvude moodustamiseks, nende töötlemiseks (nendega toimimiseks). Aritmeetilised tehted mittepositsioonilistes arvusüsteemides ei ole lihtsadkaasaegsetele inimestele. Me ei kadesta Vana-Rooma matemaatikuid!
Liimise näide. Proovime lisada kaks numbrit: XIX + XXVI=XXXV, see ülesanne tehakse kahes etapis:
- Esiteks – võtke ja lisage väiksemad arvumurrud: IX + VI=XV (I pärast V ja I enne X "hävitavad" üksteist).
- Teiseks – lisage kahest arvust suured murrud: X + XX=XXX.
Lahutamine on mõnevõrra keerulisem. Vähendatav arv tuleb jagada selle moodustavateks elementideks ning seejärel dubleeritud märgid vähendada vähendatavas ja lahutatavas arvus. Lahutage 500-st 263:
D – CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIIII – CCCLXIII=CCXXXVII.
Rooma numbrite korrutamine. Muide, tuleb mainida, et roomlastel ei olnud aritmeetiliste tehete märke, nad lihts alt tähistasid neid sõnadega.
Mitmekordne arv tuli korrutada iga kordistaja sümboliga, mille tulemuseks oli mitu toodet, mida tuli lisada. Nii korrutatakse polünoomid.
Mis puudutab jagamist, siis see protsess rooma numbrite süsteemis oli ja jääb kõige raskemaks. Siin kasutati Vana-Rooma aabitsat. Temaga töötamiseks koolitati inimesi spetsiaalselt (ja mitte kõigil ei õnnestunud sellist teadust omandada).
Mittepositsiooniliste süsteemide puuduste kohta
Nagu eespool mainitud, on mittepositsioonilistel numbrisüsteemidel omad puudused, kasutamise ebamugavused. Unaarne on lihtsaks loendamiseks piisav alt lihtne, kuid aritmeetiliste ja keeruliste arvutuste jaoks mittepiisav alt hea.
Rooma keeles pole suurte arvude moodustamiseks ühtseid reegleid ja tekib segadus, samuti on selles väga raske arvutusi teha. Samuti oli suurim arv, mida vanad roomlased said oma meetodiga üles kirjutada, 100 000.
