Et lugejal oleks lihtsam ette kujutada, mis on hüperboloid – kolmemõõtmeline objekt –, peate esm alt arvestama samanimelise kõverdatud hüperbooliga, mis sobib kahemõõtmelisse ruumi.
Hüperboolil on kaks telge: tegelik, mis sellel joonisel langeb kokku abstsissteljega, ja kujuteldav telg y-teljega. Kui hakkate mõttes pöörama hüperbooli võrrandit ümber selle kujuteldava telje, siis on kõvera järgi "nähtav" pind üheleheline hüperboloid.
Kui aga hakkame hüperbooli ümber oma tegeliku telje sel viisil pöörama, siis moodustavad kumbki kõvera kaks "poolt" omaette pinna ja koos nimetatakse seda kaheks- lehtedega hüperboloid.
Saadud vastava tasapinnakõvera pööramisel, nimetatakse neid vastav alt pöörlemise hüperboloidideks. Neil on parameetrid kõigis suundades, mis on pöördeteljega risti,mis kuuluvad pööratud kõverale. Üldiselt see nii ei ole.
Hüperboloidi võrrand
Üldiselt saab pinda määratleda järgmiste võrranditega ristkoordinaatides (x, y, z):
Pöördehüperboloidi korral väljendub selle sümmeetria telje suhtes, mille ümber ta pöörles, koefitsientide võrdsuses a=b.
Hüperboloidi omadused
Tal on nipp. Teame, et tasapinnal olevatel kõveratel on fookused – näiteks hüperbooli puhul on hüperbooli suvalise punkti ja ühe fookuse ja teise punkti kauguste erinevuse moodul definitsiooni järgi konstantne, tegelikult fookus. punktid.
Kolmemõõtmelisse ruumi liikudes definitsioon praktiliselt ei muutu: fookused on jällegi kaks punkti ning kauguste vahe nendest suvalise hüperboloidpinnale kuuluva punktini on konstantne. Nagu näete, ilmnes kõigi võimalike punktide muudatustest ainult kolmas koordinaat, sest nüüd on need ruumis seatud. Üldiselt on fookuse määratlemine samaväärne kõvera või pinna tüübi tuvastamisega: rääkides sellest, kuidas pinna punktid paiknevad fookuste suhtes, vastame tegelikult küsimusele, mis on hüperboloid ja kuidas see välja näeb.
Tasub meeles pidada, et hüperboolil on asümptoote – sirgjooned, milleni tema harud lõpmatuseni kalduvad. Kui revolutsiooni hüperboloidi konstrueerimisel pööratakse mõtteliselt asümptoote koos hüperbooliga, siis saadakse lisaks hüperboloidile ka koonus, mida nimetatakse asümptootiliseks. Asümptootiline koonus onühe- ja kaheleheliste hüperboloidide jaoks.
Teine oluline omadus, mis ainult ühelehelisel hüperboloidil on, on sirgjoonelised generaatorid. Nagu nimigi ütleb, on need jooned ja asuvad täielikult antud pinnal. Kaks sirgjoonelist generaatorit läbivad ühelehelise hüperboloidi iga punkti. Need kuuluvad vastav alt kahte ridade perekonda, mida kirjeldavad järgmised võrrandisüsteemid:
Seega, üheleheline hüperboloid võib täielikult koosneda kahe perekonna lõpmatust arvust sirgjoontest ja nende ühe sirge lõikub teise kõigi joontega. Sellistele omadustele vastavaid pindu nimetatakse joonitud; neid saab ehitada ühe sirge pöörlemise abil. Definitsioon joonte (sirgjooneliste generaatorite) vastastikuse paigutuse kaudu ruumis võib olla ka ühemõtteline tähistus selle kohta, mis on hüperboloid.
Hüperboloidi huvitavad omadused
Teist järku kõveratel ja nende vastavatel pöördepindadel on fookustega seotud huvitavad optilised omadused. Hüperboloidi puhul on see sõnastatud järgmiselt: kui kiir tulistada ühest fookusest, siis lähimast "seinast" peegeldununa võtab see sellise suuna, nagu oleks pärit teisest fookusest.
Hüperboloidid elus
Tõenäoliselt alustas enamik lugejaid analüütilise geomeetria ja teist järku pindadega tutvumist Aleksei Tolstoi ulmeromaanist."Hüperboloidi insener Garin". Kirjanik ise aga kas ei teadnud hästi, mis on hüperboloid, või ohverdas täpsuse kunstilisuse nimel: kirjeldatud leiutis on füüsikaliste omaduste poolest pigem paraboloid, mis kogub kõik kiired ühte fookusesse (samas kui hüperboloidi optilised omadused on seotud kiirte hajumisega).
Nn hüperboloidsed struktuurid on arhitektuuris väga populaarsed: need on struktuurid, mis on ühelehelise hüperboloidi või hüperboolse paraboloidi kujuga. Fakt on see, et ainult neil teist järku pöördepindadel on sirgjoonelised generaatorid: seega saab kõverat konstruktsiooni ehitada ainult sirgetest taladest. Selliste konstruktsioonide eelised on võime taluda suuri koormusi, näiteks tuulest: hüperboloidset kuju kasutatakse kõrgete konstruktsioonide, näiteks teletornide ehitamisel.
