Matemaatikas on pöördfunktsioonid üksteisele vastavad avaldised, mis muutuvad üksteiseks. Et mõista, mida see tähendab, tasub kaaluda konkreetset näidet. Oletame, et meil on y=cos(x). Kui võtta argumendist koosinus, siis leiame y väärtuse. Ilmselgelt on selleks vaja x. Aga mis siis, kui mängijale esialgu antakse? Siin jõuabki asja tuumani. Probleemi lahendamiseks on vaja kasutada pöördfunktsiooni. Meie puhul on see kaarekoosinus.
Pärast kõiki teisendusi saame: x=arccos(y).
See tähendab, et antud funktsiooniga pöördfunktsiooni leidmiseks piisab vaid selle argumendi väljendamisest. Kuid see toimib ainult siis, kui tulemusel on üks väärtus (sellest lähem alt hiljem).
Üldiselt võib selle fakti kirjutada järgmiselt: f(x)=y, g(y)=x.
Definitsioon
Olgu f funktsioon, mille domeeniks on hulk X javäärtuste vahemik on hulk Y. Kui on olemas g, mille domeenid täidavad vastupidiseid ülesandeid, on f pööratav.
Pealegi on sel juhul g ainulaadne, mis tähendab, et seda omadust rahuldab täpselt üks funktsioon (ei rohkem ega vähem). Siis nimetatakse seda pöördfunktsiooniks ja kirjalikult tähistatakse seda järgmiselt: g(x)=f -1(x).
Teisisõnu võib neid vaadelda binaarseosena. Pööratavus toimub ainult siis, kui üks komplekti element vastab ühele teise väärtusele.
Alati ei ole pöördfunktsiooni. Selleks peab iga element y є Y vastama maksimaalselt ühele x є X. Siis nimetatakse f-i üks-ühele või süstimiseks. Kui f -1 kuulub Y-le, siis peab selle hulga iga element vastama mingile x ∈ X-le. Selle omadusega funktsioone nimetatakse sürjektideks. See kehtib definitsiooni järgi, kui Y on kujutis f, kuid see ei ole alati nii. Pöördvõrdeliseks muutmiseks peab funktsioon olema nii süstimine kui ka väljaütlemine. Selliseid väljendeid nimetatakse bijektideks.
Näide: ruut- ja juurfunktsioonid
Funktsioon on defineeritud [0, ∞) ja antud valemiga f (x)=x2.
Siis ei ole see süstiv, sest iga võimalik tulemus Y (välja arvatud 0) vastab kahele erinevale X-le – ühele positiivsele ja teisele negatiivsele, seega ei ole see pöörduv. Sel juhul on vastuvõetavatelt algandmeid võimatu hankida, mis on vastuolusteooriad. See ei ole süstiv.
Kui määratluspiirkond on tinglikult piiratud mittenegatiivsete väärtustega, siis toimib kõik nagu varem. Siis on see bijektiivne ja seega ümberpööratav. Pöördfunktsiooni nimetatakse siin positiivseks.
Märkus sisenemise kohta
Las tähistus f -1 (x) võib inimese segadusse ajada, kuid mitte mingil juhul ei tohi seda kasutada järgmiselt: (f (x)) - 1 . See viitab täiesti erinevale matemaatilisele kontseptsioonile ja sellel pole midagi pistmist pöördfunktsiooniga.
Üldiselt kasutavad mõned autorid selliseid väljendeid nagu sin-1 (x).
Teised matemaatikud usuvad aga, et see võib tekitada segadust. Selliste raskuste vältimiseks tähistatakse trigonomeetrilisi pöördfunktsioone sageli eesliitega "kaar" (ladina kaarest). Meie puhul räägime arcsiinist. Mõne muu funktsiooni puhul võite aeg-aj alt näha ka eesliidet "ar" või "inv".
