Oluline geomeetriline objekt, mida lamedas ruumis uuritakse, on sirgjoon. Kolmemõõtmelises ruumis on lisaks sirgele ka tasapind. Mõlemad objektid on mugav alt määratletud suunavektorite abil. Mis see on, kuidas neid vektoreid kasutatakse sirge ja tasandi võrrandite määramiseks? Neid ja muid küsimusi käsitletakse artiklis.
Otseliin ja selle defineerimine
Igal õpilasel on hea ettekujutus sellest, millisest geomeetrilisest objektist ta räägib. Matemaatika seisukoh alt on sirge punktide kogum, mis nende suvalise paarilise ühendamise korral viivad paralleelvektorite hulka. Seda rea definitsiooni kasutatakse nii kahe- kui ka kolmemõõtmelise võrrandi kirjutamiseks.
Vaatatava ühemõõtmelise objekti kirjeldamiseks kasutatakse erinevat tüüpi võrrandeid, mis on loetletud allolevas loendis:
- üldvaade;
- parameetriline;
- vektor;
- kanooniline või sümmeetriline;
- lõikudes.
Igal neil liikidel on teiste ees mõned eelised. Näiteks lõikude võrrandit on mugav kasutada sirge käitumise uurimisel koordinaattelgede suhtes, üldvõrrand on mugav antud sirgega risti oleva suuna leidmisel, samuti selle sirge nurga arvutamisel. ristumiskoht x-teljega (tasase korpuse puhul).
Kuna selle artikli teema on seotud sirgjoone suunava vektoriga, käsitleme edaspidi ainult võrrandit, kus see vektor on põhiline ja sisaldub eksplitsiitselt, st vektoravaldis.
Vektori kaudu sirgjoone määramine
Oletame, et meil on teadaolevate koordinaatidega vektor v¯ (a; b; c). Kuna koordinaate on kolm, on vektor antud ruumis. Kuidas seda ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kujutada? Seda tehakse väga lihts alt: igale kolmele teljele joonistatakse segment, mille pikkus on võrdne vektori vastava koordinaadiga. Kolme xy-, yz- ja xz-tasandile taastatud risti ristumispunkt on vektori lõpp. Selle algus on punkt (0; 0; 0).
Sellegipoolest pole vektori antud asukoht ainuke. Samamoodi saab joonistada v¯, asetades selle alguspunkti suvalisesse ruumipunkti. Need argumendid ütlevad, et vektori abil on võimatu konkreetset joont määrata. See määratleb lõpmatu arvu paralleelsete joonte perekonna.
Nüüdfikseerige mõni punkt P(x0; y0; z0) ruumist. Ja seadsime tingimuse: sirge peab läbima P. Sel juhul peab vektor v¯ sisaldama ka seda punkti. Viimane asjaolu tähendab, et P ja v¯ abil saab määratleda ühe rea. See kirjutatakse järgmise võrrandina:
Q=P + λ × v¯
Siin on Q suvaline joonele kuuluv punkt. Selle punkti saab, valides sobiva parameetri λ. Kirjutatud võrrandit nimetatakse vektorvõrrandiks ja v¯ nimetatakse sirge suunavektoriks. Paigaldades selle nii, et see läbiks P ja muutes selle pikkust parameetriga λ, saame Q iga punkti sirgjoonena.
Koordinaatide kujul kirjutatakse võrrand järgmiselt:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Ja selgesõnalisel (parameetrilisel) kujul võite kirjutada:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Kui jätame ül altoodud avaldistes kolmanda koordinaadi välja, siis saame tasapinna sirge vektorvõrrandid.
Milliste ülesannete jaoks on kasulik teada suunavektorit ?
Reeglina on need ülesanded sirgete paralleelsuse ja perpendikulaarsuse määramiseks. Samuti kasutatakse suuna määravat otsevektorit sirgete ja punkti ja sirge vahelise kauguse arvutamisel, et kirjeldada sirge käitumist tasapinna suhtes.
Kakssirged on paralleelsed, kui nende suunavektorid on. Järelikult tõestatakse sirgete perpendikulaarsus nende vektorite perpendikulaarsuse abil. Seda tüüpi ülesannete puhul piisab vastuse saamiseks vaadeldavate vektorite skalaarkorrutise arvutamisest.
Sirgete ja punktide vahekauguste arvutamise ülesannete puhul on suunavektor sõnaselgelt kaasatud vastavasse valemisse. Paneme selle kirja:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Siin P1P2¯ – ehitatud punktidele P1 ja P 2 suunatud segment. Punkt P2 on suvaline, mis asub sirgel vektoriga v¯, samas kui punkt P1 on see, milleni peaks kaugus olema olla kindlaks määratud. See võib olla iseseisev või kuuluda teisele joonele või tasapinnale.
Pange tähele, et sirgete vahekaugust on mõttekas arvutada ainult siis, kui need on paralleelsed või ristuvad. Kui need ristuvad, on d null.
Eelpool toodud valem d jaoks kehtib ka tasapinna ja sellega paralleelse sirge vahelise kauguse arvutamisel, ainult sel juhul peaks P1 kuuluma tasapinnale.
Lahendame mitu ülesannet, et paremini näidata, kuidas vaadeldavat vektorit kasutada.
Vektorvõrrandi probleem
On teada, et sirgjoont kirjeldab järgmine võrrand:
y=3 × x - 4
Sisestage sobiv avaldisvektorvorm.
See on tüüpiline sirgjoone võrrand, mis on teada igale koolilapsele ja mis on kirjutatud üldkujul. Näitame, kuidas seda vektorkujul ümber kirjutada.
Avaldist saab esitada järgmiselt:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
On näha, et kui avate selle, saate algse võrdsuse. Nüüd jagame selle parema külje kaheks vektoriks, nii et ainult üks neist sisaldab x-i, saame:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Jääb üle võtta x sulgudest, tähistada see kreeka sümboliga ja vahetada parema külje vektorid:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Saime algse avaldise vektorkuju. Sirge suunavektori koordinaadid on (1; 3).
Jongede suhtelise asukoha määramise ülesanne
Ruumis on antud kaks rida:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Kas need on paralleelsed, ristuvad või ristuvad?
Nullist erinevad vektorid (-1; 3; 1) ja (1; 2; 0) on nende ridade juhisteks. Avaldame need võrrandid parameetrilisel kujul ja asendame esimese koordinaadid teisega. Saame:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3/2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Asendage leitud parameeter λ kahes ül altoodud võrrandis, saame:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3/2 × λ-1=5
Parameeter γ ei saa võtta korraga kahte erinevat väärtust. See tähendab, et joontel ei ole ühte ühist punkti, see tähendab, et nad ristuvad. Need ei ole paralleelsed, kuna nullist erinevad vektorid ei ole üksteisega paralleelsed (nende paralleelsuse jaoks peab olema arv, mis ühe vektori korrutamisel viiks teise koordinaatideni).
Tasapinna matemaatiline kirjeldus
Tasapinna määramiseks ruumis anname üldvõrrandi:
A × x + B × y + C × z + D=0
Siin tähistavad ladina suurtähed konkreetseid numbreid. Esimesed kolm neist määravad tasandi normaalvektori koordinaadid. Kui see on tähistatud n¯, siis:
n¯=(A; B; C)
See vektor on tasapinnaga risti, seega nimetatakse seda suunajaks. Selle teadmised, aga ka iga tasapinnale kuuluva punkti teadaolevad koordinaadid määravad viimase üheselt kindlaks.
Kui punkt P(x1; y1; z1) kuulub tasapind, siis lõikepunkt D arvutatakse järgmiselt:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Lahendame paar ülesannet, kasutades tasapinna üldvõrrandit.
Ülesannetasapinna normaalvektori leidmine
Lennuk on määratletud järgmiselt:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Kuidas leida tema jaoks suunavektorit?
Ül altoodud teooriast järeldub, et normaalvektori n¯ koordinaadid on koefitsiendid muutujate ees. Sellega seoses tuleks n¯ leidmiseks võrrand kirjutada üldkujul. Meil on:
1 / 3 × x + 1/2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Siis on tasapinna normaalvektor:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Tasapinna võrrandi koostamise probleem
Kolme punkti koordinaadid on antud:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Kuidas näeb välja kõiki neid punkte sisaldava tasandi võrrand.
Läbi kolme punkti, mis ei kuulu samale sirgele, saab tõmmata ainult ühe tasapinna. Selle võrrandi leidmiseks arvutame esm alt tasapinna n¯ suunavektori. Selleks toimime järgmiselt: leiame suvalised kaks tasapinnale kuuluvat vektorit ja arvutame nende vektorkorrutise. See annab vektori, mis on selle tasapinnaga risti, st n¯. Meil on:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Võtke joonistamiseks punkt M1tasapinnalised väljendid. Saame:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Saime ruumitasandi jaoks üldtüüpi avaldise, määrates sellele esm alt suunavektori.
Tasapinnaga seotud ülesannete lahendamisel tuleks meeles pidada ristkorrutise omadust, kuna see võimaldab lihtsal viisil määrata normaalvektori koordinaate.
