Tõenäoliselt on tuletise mõiste meile kõigile tuttav juba kooliajast. Tavaliselt on õpilastel raske mõista seda kahtlemata väga olulist asja. Seda kasutatakse aktiivselt inimeste elu erinevates valdkondades ja paljud inseneriarendused põhinesid just tuletise abil saadud matemaatilistel arvutustel. Kuid enne kui asume analüüsima, mis on arvude tuletised, kuidas neid arvutada ja kus need meile kasulikud on, sukeldugem ajalukku.
Ajalugu
Tuletise mõiste, mis on matemaatilise analüüsi aluseks, avastas (õigem oleks öelda "leiutatud", sest seda looduses kui sellist ei eksisteerinud) Isaac Newton, keda me kõik teame. universaalse gravitatsiooniseaduse avastamisest. Tema oli see, kes esimest korda rakendas seda kontseptsiooni füüsikas, et seostada kehade kiiruse ja kiirenduse olemust. Ja paljud teadlased kiidavad endiselt Newtonit selle suurepärase leiutise eest, sest tegelikult leiutas ta diferentsiaal- ja integraalarvutuse aluse, tegelikult terve matemaatika valdkonna, mida nimetatakse "arvutuseks", aluse. Kui sel ajal Nobeli preemia, oleks Newton selle suure tõenäosusega mitu korda saanud.
Mitte ilma teiste suurte mõistusteta. Välja arvatud NewtonSellised silmapaistvad matemaatikageeniused nagu Leonhard Euler, Louis Lagrange ja Gottfried Leibniz töötasid tuletise ja integraali väljatöötamisega. Just tänu neile oleme saanud diferentsiaalarvutuse teooria sellisel kujul, nagu see eksisteerib tänaseni. Muide, just Leibniz avastas tuletise geomeetrilise tähenduse, mis osutus ei midagi muud kui funktsiooni graafiku puutuja kalde puutuja.
Mis on arvude tuletised? Kordame veidi, mida me koolis läbi elasime.
Mis on tuletis?
Seda mõistet saab defineerida mitmel erineval viisil. Lihtsaim seletus on see, et tuletis on funktsiooni muutumise kiirus. Kujutage ette mingi x-i funktsiooni y graafikut. Kui see pole sirge, siis on sellel graafikul mõned kõverad, tõusu- ja langusperioodid. Kui võtame selle graafiku lõpmatult väikese intervalli, on see sirge segment. Seega on selle y-koordinaadil oleva lõpmatult väikese lõigu suuruse ja x-koordinaadil oleva lõigu suuruse suhe selle funktsiooni tuletis antud punktis. Kui vaadelda funktsiooni tervikuna, mitte konkreetses punktis, siis saame tuletisfunktsiooni, st y teatud sõltuvuse x-st.
Pealegi on tuletise kui funktsiooni muutumiskiiruse füüsikalise tähenduse kõrval ka geomeetriline tähendus. Me räägime temast nüüd.
Geomeetriline tunnetus
Arvude tuletised ise esindavad teatud arvu, mis ilma korraliku mõistmiseta ei kannapole mõtet. Selgub, et tuletis ei näita mitte ainult funktsiooni kasvu või vähenemise kiirust, vaid ka funktsiooni graafiku puutuja kalde puutujat antud punktis. Mitte väga selge määratlus. Analüüsime seda üksikasjalikum alt. Oletame, et meil on funktsiooni graafik (huvi huvides võtame kõvera). Sellel on lõpmatu arv punkte, kuid on piirkondi, kus ainult ühel punktil on maksimum või miinimum. Iga sellise punkti kaudu on võimalik tõmmata joon, mis oleks selles punktis funktsiooni graafikuga risti. Sellist joont nimetatakse puutujaks. Oletame, et kulutasime selle OX-teljega ristumiseni. Niisiis, puutuja ja OX-telje vaheline nurk määratakse tuletisega. Täpsem alt on selle nurga puutuja sellega võrdne.
Räägime veidi erijuhtudest ja analüüsime arvude tuletisi.
Erijuhtumid
Nagu me juba ütlesime, on arvude tuletised tuletise väärtused konkreetses punktis. Näiteks võtame funktsiooni y=x2. Tuletis x on arv ja üldjuhul funktsioon, mis võrdub 2x. Kui peame arvutama tuletise näiteks punktis x0=1, siis saame y'(1)=21=2. Kõik on väga lihtne. Huvitav juhtum on kompleksarvu tuletis. Me ei hakka üksikasjalikult selgitama, mis on kompleksarv. Ütleme nii, et see on arv, mis sisaldab nn imaginaarset ühikut – arvu, mille ruut on –1. Sellise tuletise arvutamine on võimalik ainult järgmistel juhtudeltingimused:
1) Reaal- ja mõtteliste osade Y ja X suhtes peavad olema esimest järku osatuletised.
2) Esimeses lõigus kirjeldatud osatuletiste võrdsusega seotud Cauchy-Riemanni tingimused on täidetud.
Veel üks huvitav juhtum, kuigi mitte nii keeruline kui eelmine, on negatiivse arvu tuletis. Tegelikult saab iga negatiivse arvu esitada positiivse arvuna, mis on korrutatud -1-ga. Noh, konstandi ja funktsiooni tuletis on võrdne konstandiga, mis on korrutatud funktsiooni tuletisega.
Tuleb huvitav teada saada tuletise rollist igapäevaelus ja seda me nüüd arutame.
Rakendus
Tõenäoliselt tabab igaüks meist vähem alt korra elus end mõttelt, et matemaatika pole talle tõenäoliselt kasulik. Ja sellisel keerulisel asjal nagu tuletis, pole ilmselt üldse rakendust. Tegelikult on matemaatika fundamenta alteadus ja kõik selle viljad on välja töötatud peamiselt füüsika, keemia, astronoomia ja isegi majanduse poolt. Tuletis oli matemaatilise analüüsi algus, mis andis meile võimaluse teha järeldusi funktsioonide graafikutest ning õppisime loodusseadusi tõlgendama ja tänu sellele enda kasuks pöörama.
Järeldus
Muidugi ei pruugi igaüks päriselus tuletist vajada. Kuid matemaatika arendab loogikat, mida kindlasti läheb vaja. Matemaatikat ei nimetata asjata teaduste kuningannaks: see on aluseks teiste teadmiste valdkondade mõistmisele.
